1、一、正弦電流激勵的一、正弦電流激勵的RC電路分析電路分析圖圖 10-9 我們現(xiàn)在討論圖我們現(xiàn)在討論圖10-9所示所示RC電路，電路原來已經(jīng)達到電路，電路原來已經(jīng)達到穩(wěn)定狀態(tài)，在穩(wěn)定狀態(tài)，在t=0時刻斷開開關，正弦電流時刻斷開開關，正弦電流iS(t)=ISmcos( t+i)作用于作用于RC電路，求電容電壓電路，求電容電壓uC(t)的響應。的響應。 首先建立首先建立t0電路的微分方程如下電路的微分方程如下: )710(0)cos(1ddiSmCCttIuRtuC 對應齊次微分方程的通解對應齊次微分方程的通解uCh(t)為為 RCtstKKtu Chee)( 微分方程特解微分方程特解uCp(t)的

2、形式與電流源相同，為同一頻率的形式與電流源相同，為同一頻率的正弦時間函數(shù)，即的正弦時間函數(shù)，即 )cos()(uCmCptUtu 為了確定為了確定UCm和和u，可以將上式代入微分方程中，可以將上式代入微分方程中 求解得到求解得到 )910( )(arctan)810()/1 (iu222SmCmCRRCIU)710(0)cos(1ddiSmCCttIuRtuC)(cos)cos(1)sin(iSmuCmuCmtItURtCU)cos()(uCmCptUtu 微分方程的完全解為微分方程的完全解為 )1010( ) 0( ) cos(e)(uCm CttUKtuRCt 可以求得可以求得 uCmCc

3、os)0(UuK 最后得到電容電壓最后得到電容電壓uC(t)的全響應為的全響應為 )1110( )0( )cos(ecos)0()(uCm uCmCCttUUutuRCt正弦穩(wěn)態(tài)響應暫態(tài)響應 本電路的初始條件為零，屬于零狀態(tài)響應，所畫出的本電路的初始條件為零，屬于零狀態(tài)響應，所畫出的波形如圖所示。曲線波形如圖所示。曲線1表示通解，它是電路的自由響應，當表示通解，它是電路的自由響應，當RC0的條件下，它將隨著時間的增加而按指數(shù)規(guī)律衰減到的條件下，它將隨著時間的增加而按指數(shù)規(guī)律衰減到零，稱為暫態(tài)響應。曲線零，稱為暫態(tài)響應。曲線2表示特解，它按照正弦規(guī)律變化，表示特解，它按照正弦規(guī)律變化，其角頻率與

4、激勵電源的角頻率相同，當暫態(tài)響應衰減完后，其角頻率與激勵電源的角頻率相同，當暫態(tài)響應衰減完后，它就是電路的全部響應，稱為正弦穩(wěn)態(tài)響應。它就是電路的全部響應，稱為正弦穩(wěn)態(tài)響應。圖圖 10-10二、二、 用相量法求微分方程的特解用相量法求微分方程的特解)eRe()cos()()eRe()cos()(jCmuCmCpjSmiSmSttUtUtuItIti 求解正弦電流激勵電路全響應的關鍵是求微分方程的求解正弦電流激勵電路全響應的關鍵是求微分方程的特解特解。假如能用相量來表示正弦電壓電流，就可以將常系。假如能用相量來表示正弦電壓電流，就可以將常系數(shù)微分方程轉變?yōu)閺拖禂?shù)的代數(shù)方程，便于使用各種計算數(shù)微分

5、方程轉變?yōu)閺拖禂?shù)的代數(shù)方程，便于使用各種計算工具。現(xiàn)將這種相量法介紹如下：工具。現(xiàn)將這種相量法介紹如下： 代入微分方程代入微分方程 )eRe()eRe(R1)eRe(ddjSmjCmjCmtttIUUtC 取實部與微分運算的次序交換取實部與微分運算的次序交換)eRe(e)1(jRe)eRe()eRe(1)e(jRejSmjCmjSmjCmjCmtttttIURCIURUC 由于方程在任何時刻相等，其方程的復數(shù)部分應該相由于方程在任何時刻相等，其方程的復數(shù)部分應該相等，由此得到一個復系數(shù)的代數(shù)方程等，由此得到一個復系數(shù)的代數(shù)方程 )1210()1(jSmCmIURC 求解此代數(shù)方程得到電容電壓相

6、量為求解此代數(shù)方程得到電容電壓相量為 uCmSmCm/1jURCIU 電容電壓的振幅和初相分別為電容電壓的振幅和初相分別為 222SmCm)/1 (RCIU)tan(arciuCR 這與式這與式(108)和和(109)完全相同。計算出電容電壓的完全相同。計算出電容電壓的振幅和初相，就能夠寫出穩(wěn)態(tài)響應振幅和初相，就能夠寫出穩(wěn)態(tài)響應 )cos()(uCmCptUtu 從以上敘述可知，從以上敘述可知，用相量表示正弦電壓電流后，可將用相量表示正弦電壓電流后，可將微分方程轉換為復系數(shù)代數(shù)方程微分方程轉換為復系數(shù)代數(shù)方程，求解此方程得到特解的，求解此方程得到特解的相量后，易于寫出正弦穩(wěn)態(tài)響應的瞬時值表達式

7、。相量后，易于寫出正弦穩(wěn)態(tài)響應的瞬時值表達式。 我們可以將以上求特解的方法推廣到一般情況，對于我們可以將以上求特解的方法推廣到一般情況，對于由正弦信號激勵的任意線性時不變動態(tài)電路，由正弦信號激勵的任意線性時不變動態(tài)電路，先寫出先寫出n階階常系數(shù)微分電路，再用相量表示同頻率的各正弦電壓電流，常系數(shù)微分電路，再用相量表示同頻率的各正弦電壓電流，將微分方程轉變?yōu)閺拖禂?shù)代數(shù)方程，再求解代數(shù)方程得到將微分方程轉變?yōu)閺拖禂?shù)代數(shù)方程，再求解代數(shù)方程得到電壓電流相量，就能寫出特解的瞬時值表達式電壓電流相量，就能寫出特解的瞬時值表達式。 例例10-4 圖圖10-9所示電路中，已知所示電路中，已知R=1 , C=

8、2F, iS(t)=2cos(3t+45 )A, 試用相量法求解電容電壓試用相量法求解電容電壓uC(t) 的特解。的特解。 解：寫出電路的微分方程解：寫出電路的微分方程 )453cos(2dd2CCtutu圖圖 10-9 將正弦電流用相量表示將正弦電流用相量表示 )eRe()3cos()()eRe(2e)453cos(2)(j3CmuCmCpj3j45SttUtUtutti)eRe(2ee) 12(j3Rej345jj3CmttU 452) 1(j6Cm U 可以得到復系數(shù)代數(shù)方程可以得到復系數(shù)代數(shù)方程 代入微分方程中代入微分方程中)453cos(2dd2CCtutu 求解此代數(shù)方程得到電容電

9、壓相量求解此代數(shù)方程得到電容電壓相量 V5 .35329. 054.8008. 6452)j6(1452CmU 由此得到電容電壓的瞬時值表達式由此得到電容電壓的瞬時值表達式 )V5 .353cos(329. 0)(Cpttu 這是圖這是圖109所示電路中電容電壓所示電路中電容電壓uC(t)的特解，也是電的特解，也是電容電壓的正弦穩(wěn)態(tài)響應。容電壓的正弦穩(wěn)態(tài)響應。 452) 1(j6Cm U例例10-5 圖圖1011所示所示RLC串聯(lián)電路中，已知串聯(lián)電路中，已知 uS(t)=2cos(2t+30 )V, R=1 , L=1H, C=0.5F。 試用相量法求電容電壓試用相量法求電容電壓uC(t)和電

10、感電流和電感電流iL(t)的特解。的特解。 解：以電容電壓為變量列出電路的微分方程解：以電容電壓為變量列出電路的微分方程 SCC2C2dddduutuRCtuLC圖圖 10-11 將方程中的將方程中的uS(t)=2cos(2t+30 )V和和uC(t)用相量表示用相量表示 )eRe( )eRe()eRe(dd)eRe(ddjSmjCmjCmjCm22ttttUUUtRCUtLC 對方程先求導，再取實部對方程先求導，再取實部 )eRe( )eRe()e)jRe()e)jRe(jSmjCmjCmjCm2ttttUUURCULC 得到復系數(shù)代數(shù)方程為得到復系數(shù)代數(shù)方程為 SmCmCmCm2)j ()

11、j (UUURCULC 求解代數(shù)方程，注意到求解代數(shù)方程，注意到 =2rad/s和和j2=-1，得到電容電，得到電容電壓相量壓相量 V1052j11302 1)j ( 5 . 0)j ( 5 . 03022CmU 根據(jù)根據(jù) =2rad/s得到電容電壓的瞬時值表達式得到電容電壓的瞬時值表達式 V)1052cos(2)(Cttu 代入代入R=1 , L=1H, C=0.5F得到得到 V302 1)j ( 5 . 0)j ( 5 . 0Cm2U 求得電容電流和電感電流的瞬時值表達式求得電容電流和電感電流的瞬時值表達式 A)152cos(2)1052cos(2dd5 . 0)()(CLttttiti

12、由于此二階電路的兩個固有頻率都具有負實部，暫態(tài)由于此二階電路的兩個固有頻率都具有負實部，暫態(tài)響應將隨著時間的增加而衰減到零，以上計算的電容電壓響應將隨著時間的增加而衰減到零，以上計算的電容電壓和電感電流的特解，也就是電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應。和電感電流的特解，也就是電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應。 V)1052cos(2)(Cttu圖圖 10-11三、正弦穩(wěn)態(tài)響應三、正弦穩(wěn)態(tài)響應)1310() cos(eee )()()(m21ph21 tXKKKtxtxtxtsntstsn s1、s2、sn是是n階動態(tài)電路的固有頻率。階動態(tài)電路的固有頻率。如果全部如果全部固有頻率具有負實部固有頻率具有負實部 (即處于左半開復

13、平面上即處于左半開復平面上)，則對于任，則對于任何初始條件，在具有相同頻率何初始條件，在具有相同頻率的正弦電壓源和電流源激的正弦電壓源和電流源激勵下，電路中全部電壓和全部電流隨著勵下，電路中全部電壓和全部電流隨著t將按指數(shù)規(guī)律將按指數(shù)規(guī)律趨于相同頻率趨于相同頻率的正弦波形。當這種情況發(fā)生時，稱電路的正弦波形。當這種情況發(fā)生時，稱電路處于正弦穩(wěn)態(tài)。處于正弦穩(wěn)態(tài)。 現(xiàn)在將上面的討論推廣到一般動態(tài)電路。具有相同頻現(xiàn)在將上面的討論推廣到一般動態(tài)電路。具有相同頻率率的一個或幾個正弦信號激勵的線性時不變動態(tài)電路，的一個或幾個正弦信號激勵的線性時不變動態(tài)電路，我們感興趣的響應為我們感興趣的響應為x(t)，則

14、，則x(t)可表為如下形式：可表為如下形式： 相量法求微分方程特解的方法與步驟如下：相量法求微分方程特解的方法與步驟如下： 1. 用用KCL，KVL和和VCR寫出電路方程寫出電路方程(例如例如2b方程，方程，網(wǎng)孔方程，結點方程等網(wǎng)孔方程，結點方程等)，以感興趣的電壓電流為變量，寫，以感興趣的電壓電流為變量，寫出出n階微分方程。階微分方程。 2. 用相量表示同一頻率的各正弦電壓電流，將用相量表示同一頻率的各正弦電壓電流，將n階微分階微分方程轉換為復系數(shù)代數(shù)方程。方程轉換為復系數(shù)代數(shù)方程。 3. 求解復系數(shù)代數(shù)方程得到所感興趣電壓或電流的相求解復系數(shù)代數(shù)方程得到所感興趣電壓或電流的相量表達式。量表

15、達式。 4. 根據(jù)所得到的相量，寫出正弦電壓或電流的瞬時值根據(jù)所得到的相量，寫出正弦電壓或電流的瞬時值表達式。表達式。 以上步驟中，列出以某個電壓或電流為變量的以上步驟中，列出以某個電壓或電流為變量的n階微階微分方程，并將它轉換為復系數(shù)代數(shù)方程是最困難工作，電分方程，并將它轉換為復系數(shù)代數(shù)方程是最困難工作，電路越復雜，工作量越大。路越復雜，工作量越大。 為此，我們可以先畫出電路的相量模型，用相量形式為此，我們可以先畫出電路的相量模型，用相量形式的的KCL、KVL和元件和元件VCR直接列出復數(shù)的電路方程。直接列出復數(shù)的電路方程。 用相量法求解電路正弦穩(wěn)態(tài)響應的方法和步驟如下：用相量法求解電路正弦穩(wěn)態(tài)響應的方法和步驟如下： 1. 畫出電路的相量模型，用相量形式的畫出電路的相量模型，用相量形式的KCL，KVL和和VCR直接列出電路的復系數(shù)代數(shù)方程直接列出電路的復系數(shù)代數(shù)方程。 2. 求解復系數(shù)代數(shù)方程得到所感興趣的各個電壓和電求解復系數(shù)代數(shù)方程得到所感興趣的各個電壓和電流的相量表達式。流的相量表達式。 3. 根據(jù)所得到的各個相量，寫出相應的電壓和電流的根據(jù)所得到的各個相量，寫出相應的電壓和電流的瞬時值表達式。瞬時值表達式。 用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)響應的優(yōu)點有：用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)響應的優(yōu)點有： 1. 不需要列出并求解電路的不需要列出并求解電路的n階微分方程。階微分方程。