1、概率論4事件的獨立性顯然顯然 P(A|B)=P(A)這就是說這就是說,已知事件已知事件B發生發生,并不影響事件并不影響事件A發發生的概率生的概率,這時稱事件這時稱事件A、B獨立獨立.兩事件的獨立性兩事件的獨立性A=第二次擲出第二次擲出6點點， B=第一次擲出第一次擲出6點點，先看一個例子：先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，將一顆均勻骰子連擲兩次，設設概率論4事件的獨立性 由乘法公式知，由乘法公式知，當事件當事件A、B獨立時，獨立時，有有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨立性刻劃獨立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(

2、B) 更好更好,它不受它不受P(B)0或或P(A)0的制約的制約.P(AB)=P(B)P(A|B)概率論4事件的獨立性若兩事件若兩事件A、B滿足滿足 P(AB)= P(A) P(B) (1)則稱則稱A、B獨立，或稱獨立，或稱A、B相互獨立相互獨立.一一、兩事件獨立的定義兩事件獨立的定義概率論4事件的獨立性例例1 從一副不含大小王的撲克牌中任取一從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記張，記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可見可見, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 說明事件說明事件A、B獨立獨立.問事件問事件A、B是否獨立？是否獨立？

3、P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2解：解： 概率論4事件的獨立性 前面我們是根據兩事件獨立的定義作前面我們是根據兩事件獨立的定義作出結論的，也可以通過計算條件概率去做出結論的，也可以通過計算條件概率去做: 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的 在實際應用中在實際應用中, 往往往往根據問題的實際意根據問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立義去判斷兩事件是否獨立. 則則 由于由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 P(A)= P(A|B), 說明事件說明事件A、B

4、獨立獨立.概率論4事件的獨立性 在實際應用中在實際應用中,往往根據問題的實際意義往往根據問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立去判斷兩事件是否獨立. 由于由于“甲命中甲命中”并不影響并不影響“乙命中乙命中”的的概率，故認為概率，故認為A、B獨立獨立 .甲、乙兩人向同一目標射擊，記甲、乙兩人向同一目標射擊，記 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A與與B是否獨立？是否獨立？例如例如（即一事件發生與否并不影響另一事件發生（即一事件發生與否并不影響另一事件發生 的概率）的概率） 概率論4事件的獨立性一批產品共一批產品共n件，從中抽取件，從中抽取2件，設件，設 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,

5、2若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 則則A1與與A2獨立獨立. 因為第二次抽取的結果受到因為第二次抽取的結果受到 第一次抽取的影響第一次抽取的影響.又如：又如：因為第二次抽取的結果因為第二次抽取的結果不受第一次抽取的影響不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則若抽取是無放回的，則A1與與A2不獨立不獨立.概率論4事件的獨立性請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？ AB即即: 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,則則A與與B不獨立不獨立.反之，若反之，若A與與B獨立，且獨立，且P(A)0,P(B)0, 則則A 、B不互斥不互斥.而而P(A) 0, P

6、(B) 0故故 A、B不獨立不獨立我們來計算：我們來計算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即概率論4事件的獨立性S 問：能否在樣本空間問：能否在樣本空間S中找兩個事件中找兩個事件,它們它們既相互獨立又互斥既相互獨立又互斥?這兩個事件就是這兩個事件就是 S和和P( S) =P( )P(S)=0 與與S獨立且互斥獨立且互斥s不難發現，不難發現， 與任何事件都獨立與任何事件都獨立.概率論4事件的獨立性設設A、B為互斥事件，且為互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個結論中，正確的是：下面四個結論中，正確的是： 前面我們看到獨立與互斥的區別和聯系，前面我們看到獨立與互斥的區別和聯系，1

7、. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)設設A、B為獨立事件，且為獨立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個結論中，正確的是：下面四個結論中，正確的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再請你做個小練習再請你做個小練習.概率論4事件的獨立性定理定理1：若若P（B）=0則則B與任一事件獨立，進而與任一事件獨立，進而 不可能事件與任一事件獨立。不可能事件與任一事件獨立。證明：證明： BAB 0P（AB）P（B）=0。 P（AB）=P（A）P（B）=0。定理定

8、理2：若若P（B）=1則則B與任一事件獨立，進而與任一事件獨立，進而 必然事件與任一事件獨立。必然事件與任一事件獨立。證明：證明： )()()()()()(,)(BPAPABPBAPABPAPBAABASAABP0)()()().(ABPBPAPABP 概率論4事件的獨立性定理定理3：A A與與B B獨立獨立 P P ( (B B) ) =0或或P P (A(A B) B) P P(A)(A). .定理定理4：若若A A與與B B 獨立，則獨立，則A A與與 ， 與與B B， 與與 也分別獨立。也分別獨立。BAAB證明：證明： )()()()()()()()()(BPAPBPAPAPABPAP

9、BAPBAP 得得A A與與 獨立。獨立。B同理可證：同理可證： 與與B B， 與與 也分別獨立。也分別獨立。AAB概率論4事件的獨立性二、多個事件的獨立性二、多個事件的獨立性將兩事件獨立的定義推廣到三個事件：將兩事件獨立的定義推廣到三個事件： 對于三個事件對于三個事件A、B、C，若，若 P(AB)= P(A)P(B) (1) 四個等式同時四個等式同時 P(AC)= P(A)P(C) (2) 成立成立,則稱事件則稱事件 P(BC)= P(B)P(C) (3) A、B、C相互相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 獨立獨立. 若若(1)、 (2)、 (3)同時成立，則稱事件同時成立，則稱

10、事件A A、B B、 C兩兩獨立兩兩獨立概率論4事件的獨立性請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立的區別與聯系的區別與聯系兩兩獨立兩兩獨立相互獨立相互獨立對對n(n2)個事件個事件?概率論4事件的獨立性 推廣到推廣到n個事件的獨立性定義個事件的獨立性定義,可類似寫出：可類似寫出：包含等式總數為：包含等式總數為：1201) 11 (32nnnnnnnnn設設A1,A2, ,An是是 n個事件，如果對任意個事件，如果對任意k(1k n),任意任意1 i1i2 ik n,具有等式具有等式則稱則稱A1,A2, ,An為相互獨立的事件為相互獨立的事件.)()()()(2121k

11、kiiiiiiAPAPAPAAAP概率論4事件的獨立性定理定理: 若事件若事件 相互獨立，則將其相互獨立，則將其 中任意個事件換成對立事件仍然相互獨中任意個事件換成對立事件仍然相互獨 立，即事件立，即事件 也相互獨立，也相互獨立， 其中其中 nAAA,21nAAA,21iiiAAA或或取取 (i=1,2,，n).證明：證明： 只需證只需證 相互獨立，反復相互獨立，反復用此結論，即可得證。用此結論，即可得證。 nAAA,21對任意對任意 有：有：niiim121).()()()()()()()()()()()()()(imiimiimiimiimiimiimiAPAPAPAPAPAPAPAPAP

12、APAPAAAPAAPAAAP1111111111111=概率論4事件的獨立性注釋注釋 1. n個事件獨立，則其中任意個事件獨立，則其中任意k（2kn） 個事件也獨立，反之未必成立，個事件也獨立，反之未必成立， 2. 在實際應用中，獨立性往往通過實際在實際應用中，獨立性往往通過實際 意義判斷，而不用定義證明；在理論證意義判斷，而不用定義證明；在理論證 明中，獨立性用定義或定理證明。明中，獨立性用定義或定理證明。 3. 事件的獨立與互斥是兩個截然不同的概事件的獨立與互斥是兩個截然不同的概 念，互斥是指念，互斥是指兩個事件之間兩個事件之間的關系，獨的關系，獨 立是指立是指兩個事件概率之間兩個事件概

13、率之間的關系。的關系。 4. 互斥可用圖形表示，而獨立不能用圖形互斥可用圖形表示，而獨立不能用圖形 表示。表示。概率論4事件的獨立性對獨立事件，許多概率計算可得到簡化：對獨立事件，許多概率計算可得到簡化：例例2 三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 將三人編號為將三人編號為1，2，3，三、獨立性的概念在計算概率中的應用三、獨立性的概念在計算概率中的應用所求為所求為 P(A1A2A3)記記 Ai=第第i個人破譯出密碼

14、個人破譯出密碼 i=1,2,3解：解： 概率論4事件的獨立性記記 Ai=第第i個人破譯出密碼個人破譯出密碼 i=1,2,312所求為所求為 P(A1A2A3)已知已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1A2A3)(121nAAAP)(1321AAAP)()()(1321APAPAP =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 6 . 05343325413概率論4事件的獨立性請看演示請看演示“諸葛亮和臭皮匠諸葛亮和臭皮匠”概率論4事件的獨立性若若n個事件個事件 相互獨立，則：相互獨立，則：nAAA,21（1）事件至少有一個發生的）事件至少有一個發生的

15、概率為概率為nAAA,21);()()()(nnAPAPAPAAAP21211 );()()()(nnAPAPAPAAAP21211 （2）事件）事件 至少有一個不發生的至少有一個不發生的 概率為概率為nAAA,21概率論4事件的獨立性例例3. 某種型號的高射炮發一發擊中目標的概率某種型號的高射炮發一發擊中目標的概率 是是0.6，現若干門高射炮同時發射，（每門，現若干門高射炮同時發射，（每門 發一發），問欲以發一發），問欲以99%以上把握擊中飛機，以上把握擊中飛機， 至少要配置幾門高射炮？至少要配置幾門高射炮？設設A=飛機被擊中，飛機被擊中，Ai=第第i門炮擊中飛機，門炮擊中飛機， .,niA

16、AAAn2121.lg.lg,.).( ,.).()()()(026540010010409904011121nAAAPAPAPnnn 至少至少6門炮。門炮。解：解： 概率論4事件的獨立性例例4. 下面是一個串并聯電路示意圖下面是一個串并聯電路示意圖. A、B、 C、D、E、F、G、H都是電路中的元件都是電路中的元件. 它們下方的數是它們各自正常工作的概它們下方的數是它們各自正常工作的概 率率. 求電路正常工作的概率求電路正常工作的概率.ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0概率論4事件的獨立性P(W)=P(A)P(B)P(CDE)P(

17、FG)P(H)將電路正常工作記為將電路正常工作記為W，由于各元件獨立，由于各元件獨立 工作，有工作，有其中其中973. 0)()()(EPDPCPP(CDE)=1- -9375. 0)()(GPFPP(FG)=1- -P(W) 0.782代入得代入得ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0解：解： 概率論4事件的獨立性 這一講，我們介紹這一講，我們介紹了事件獨立性的概了事件獨立性的概念念. 不難發現，不難發現，當事件相互獨立時，乘法當事件相互獨立時，乘法公式公式變得十分簡單，變得十分簡單，因而也就特別重要和因而也就特別重要和有用有用. .

18、 如果事件是獨立的，則許多概率的如果事件是獨立的，則許多概率的計算就可大為簡化計算就可大為簡化. .概率論4事件的獨立性 n次重復獨立試驗：次重復獨立試驗： 將一個試驗重復進行將一個試驗重復進行n次，如果在每次試驗中，次，如果在每次試驗中，任一事件出現的概率與其他各次試驗的結果無任一事件出現的概率與其他各次試驗的結果無關，則稱這關，則稱這n次試驗是次試驗是n次重復獨立試驗。次重復獨立試驗。 注釋注釋： “重復重復”指每次試驗條件相同，每次事件指每次試驗條件相同，每次事件 發生的概率在各次試驗中都相同。發生的概率在各次試驗中都相同。2. “獨立獨立”指各次試驗結果相互獨立。指各次試驗結果相互獨立

19、。 概率論4事件的獨立性 若一個試驗只有兩個結果：若一個試驗只有兩個結果：A A成功成功和和 失敗失敗；則稱這個試驗為；則稱這個試驗為伯努利試驗伯努利試驗(Bernoulli試驗試驗)。它的它的n次重復獨立試驗，次重復獨立試驗，稱為稱為n重伯努利試驗重伯努利試驗。設成功設成功A A的概率為的概率為P P（A A）=p=p，P P（ ）=q=q， p+q=1p+q=1.AA在在n重伯努利試驗中，成功的次數可能為重伯努利試驗中，成功的次數可能為0，1，2，n次。次。關于成功恰好發生關于成功恰好發生k次次（0kn）的概率）的概率Pn(k)Pn(k)，有下面的定理：有下面的定理：概率論4事件的獨立性定

20、理：定理：設在每次試驗中成功的概率為設在每次試驗中成功的概率為p(0p1), 則在則在n重伯努利試驗中成功恰好發生重伯努利試驗中成功恰好發生k次的次的 概率為概率為 ,)(knkknnqpCkP二項概率公式二項概率公式 其中其中p+q=1, k=0,1,2, ,n。證明：證明： 設設Bk 成功成功A恰好發生恰好發生k次次, Ai 第第i次試次試驗成功，驗成功， 第第i次試驗失敗，則次試驗失敗，則 iA概率論4事件的獨立性knkknknknkknknkknkkqpCBPkPqpqpAPAPAPAPAPAAAAAP )()(,.)()()()()()(得得：利利用用概概率率的的有有限限可可加加性性

21、也也是是同同理理可可得得其其它它項項的的概概率率 121121nknknnkkkknkkkAAAAAAAAAAAAAAAAAB12121121121 概率論4事件的獨立性推論：推論： 10nknkP)(.)()(100nnkknkknnknqpqpCkP證明：證明： 概率論4事件的獨立性例例2. 設有設有N件產品，其中有件產品，其中有M件次品，今進行件次品，今進行 n次有放回抽樣（每次抽取一件），求這次有放回抽樣（每次抽取一件），求這 n次中共抽取到次中共抽取到k件次品的概率？件次品的概率？nkNMNMCkPknkknn, ,)()()(2101 解：解： 例例1. 連續投連續投n次均勻骰子，

22、求次均勻骰子，求6點恰好出現點恰好出現k次次 的概率？（的概率？（kn）設設A=每次出現每次出現6點，點， =每次不出現每次不出現6點，點， A解：解： P(A)=1/6=p， .)()()(knkknnCkP 6561qAP 65)(概率論4事件的獨立性例例3. 某人進行射擊，每次擊中目標的概率均為某人進行射擊，每次擊中目標的概率均為 0.01,令他獨立地射擊令他獨立地射擊300次，求恰好有次，求恰好有4次次 擊中目標的概率？擊中目標的概率？?)99. 0()01. 0()4()(29644300300CPkPn解：解： 二項概率的泊松逼近定理：二項概率的泊松逼近定理：如果如果n,p0 使得

23、使得np=保持為正常數，則保持為正常數，則 ekppCkknkkn!)(1對對k=0,1,2, 一致地成立。（證明見書上）一致地成立。（證明見書上）概率論4事件的獨立性由定理條件由定理條件np=(常數常數)知，當知，當n很大，很大，p很小時，很小時，有下面的近似公式：有下面的近似公式： ekppCkPkknkknn!)1 ()(其中其中=np, k=0,1, n 在實際應用中在實際應用中, 當當n10, p0.1時有近似公式為：時有近似公式為： ekppCkPkknkknn!)1 ()(其中其中=np, k=0,1, n 概率論4事件的獨立性當當n10, p0.9(即即q0.1) 時有近似公式為：時有近似公式為：.)!()()()()(pnknknkknneknpnppCkP 111 當當0.1p0.9時，可考慮用正態近似，將時，可考慮用正