1、工程數學作業（第二次）（滿分100分）一）單項選擇題（每小題2分，共16分)X12x24X31X11用消兀法得X2X30的解X2為(C ).X32X3A. 1,0, 2B.7,2,2C.11,2,2D. 11,2, 2X12X23X322.線性方程組X1X36 (B).3x23X34A.有無窮多解B.有唯一解C.無解D.只有零解100133.向量組0 ,1 ,0 ,2 , 0的秩為(A).00114A. 3B.2C. 4D. 5101110014設向量組為1J2,3J4則（B ）是極大無關組.01110101A. 1 , 2B.1 , 2:,3C.1 ,2 ,4D.15. A與A分別代表一個線

2、性方程組的系數矩陣和增廣矩陣，若這個方程組無解，則（D ） AA.秩（A）秩（A） B.秩（A）秩（A） C.秩（A）秩（A） D.秩（A）秩（A）16若某個線性方程組相應的齊次線性方程組只有零解，則該線性方程組（A ）A. 可能無解 B.有唯一解C.有無窮多解D.無解7以下結論正確的是（D ）A. 方程個數小于未知量個數的線性方程組一定有解B. 方程個數等于未知量個數的線性方程組一定有唯一解C. 方程個數大于未知量個數的線性方程組一定有無窮多解D. 齊次線性方程組一定有解8若向量組 2, , S線性相關，則向量組內（A ）可被該向量組內其余向量線性表出.A.至少有一個向量B.沒有一個向量C.

3、至多有一個向量D.任何一個向量9設A ,£為n階矩陣，既是A又是E的特征值，X既是A又是E的屬于的特征向量，則結論（D）成立.A. 是AB的特征值E. 是A+B的特征值C.是A B的特征值D. x是A+B的屬于 的特征向量10.設A,B,P為 n階矩陣，若等式（C）成立，則稱A和B相似.A. ABBAB.(AB) ABC. PAP 1BD. PAP B二）填空題（每小題2 分、，共16分）X1x20當時,齊次線性方程組有非零解.X1x202向量組 !0,0,0,21,1,1 線性3向量組 1,2, 3 , 1,2,0 , 1,0, 0 , 0,0, 0 的秩是34設齊次線性方程組1X

4、12X23X3 0的系數行列式| 1 2 30，則這個方程組有一無窮多解，且系數列向量1 , 2 , 3是線性相關 的.5.向量組11,06.向量組1 ,2 ,7設線性方程組AX8設線性方程組AX0 k1 X1 k2 X2 s的秩與矩陣1 , 2, , s0中有5個未知量，且秩（A）b有解，X0是它的一個特解，且20, 1，30,0的極大線性無關組是的秩相同1， 2 則AX2_個.b的通解為9 若10若是A的特征值，則 矩陣A滿足 A 1 A是方程1A0的根L，則稱A為正交矩陣.C三）解答題(第1小題9分，其余每小題11分)x1 3x22x3X463x1 8x2X35x401用消兀法解線性方程

5、組2x1x24X3X412x1 4x2X33x42解:13216Q 1321632 口101923483r1 $A381502r1 r30r1r4178185r2 r3r1 r4017818214112058100027399014132013480010122610 1923481 019234819r3 兒100421241羅401 7818330 178187r3 $5r3 q010154600 33120 01140011400 56130 0561300011331 004212442r4 片15r4 r21 00021r 40 1015460 1001方程組解為X1211r4 r3

6、X210 01140 0101X310 00130 0013X430的基礎解系為X1, X2 ,X111x2 設有線性方程組為何值時,方程組有唯一解?或有無窮多解？3,則其基礎解系中線性無關的解向量有AX解:r1(2)(12時,R(A)1且1 時，R(A) R(A)> (1 r(a)(1)(1)23，方程組有唯一解1，方程組有無窮多解3 .判斷向量能否由向量組1 ,2 ,3線性表出，若能，寫出一種表出方式其中8 23537567,11,20 , 3310321解：向量能否由向量組1,2, 3線性表出，當且僅當方程組1 X1 2X23X3有解23581037756301341這里 A1，2

7、，3，1037001011732110000571R(A) R(A)方程組無解不能由向量1，2，3線性表出4 計算下列向量組的秩，并且(解：1 3172 83 94 131)判斷該向量組是否線性相關1311173912，28，30，46393341336111311390112060001833000036000011105110121421314313401301142000300000000511315100142214313232010142140100010000005X1X314方程組的一般解為X23x314 3令X31，得基礎解系X4051431406求下列線性方程組的全部解.X1

8、5x22x33x4113x1X24X32x45X19x24x4175x13x26X3X41該向量組線性相關X13x2X32x405X1X22X33x40的一個基礎【解系.5.求齊:次線性方程組X111X22X35x403x15x24x40解：A153112235巾2133口 41031413273r2 11423S41001451431112501437000350401431000017.試證:任一4維向量a1, a2,a3,a4都可由向量組1111011110, 20， 31，4 1線性表示，且表示方式唯一一,寫出這種表示方式.000110000100證明:1 "2 132“43

9、-00100001任一4維向量可唯一表示為a11000a20100a1門a2門a3 da4門a1 1 a2( 21 )a3 (32)a4 (43)a30010a40001佝a2)1 (a2a3)23a4)3 a4 48試證：線性方程組有解時，它有唯一解的充分必要條件是：相應的齊次線性方程組只有零解. 證明：設AX B為含n個未知量的線性方程組該方程組有解，即 R(A) R(A) n從而AX B有唯一解當且僅當 R(A) n而相應齊次線性方程組 AX 0只有零解的充分必要條件是 R(A) n152311-3A1425A19041753611911017221114017200000000令X3k

10、1 ,X4k2 ,這里X19k1A21X21k1丄k22X372k1X4k2k13ri $ ri r35 214 201427280 281X12方程組一般解為0 X20k1 , k2為任意常數，得方程組通解1200510911r2 r114r2r372r4014272800000000003117284 145671x3x419211cX3X4272AX B有唯一解的充分必要條件是：相應的齊次線性方程組AX 0只有零解19 設 是可逆矩陣A的特征值，且0，試證：一是矩陣A 1的特征值.證明：是可逆矩陣A的特征值存在向量，使AI(A 1A) A 1(A ) A 1() A 1即丄是矩陣A 1的特征值2x3x4化為標準型.2x2X410 .用配方法將二次型 f xj x； xf xj 2x1x2 2x2 x4