1、1 / 18 教學資料參考范本 【2019-2020】中考數學試題分類匯編考點 22 勾股定理含解 析 2 / 18 一.選擇題（共 7 小題） 1. （ 2018?賓州）在直角三角形中，若勾為 3,股為 4,則弦為（ ） A. 5 B . 6 C . 7 D . 8 【分析】直接根據勾股定理求解即可. 【解答】解：T在直角三角形中，勾為 3,股為 4, 二弦為=5. :;- 故選：A. 2. （2018?棗莊）如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , CDLAB 垂足 為D, AF 平分/ CAB 交 CD 于點 E,交 CB 于點 F.若 AC=3 AB=5 則 3 時間： _ 3

2、 / 18 CE 的長為（ ） 【分析】根據三角形的內角和定理得出/ CAF+/ CFA=90 , / FAD 丄 AED=90，根據角平分線和對頂角相等得出/ CEF2 CFE 即 可得出EC=FC 再利用相似三角形的判定與性質得出答案. 【解答】解：過點 F 作 FGL AB 于點 G, vZ ACB=90 , CDL AB, / CDA=90 , Z CAFZ CFA=90 , Z FADZ AED=90 , v AF 平分/ CAB / CAFW FAD / CFAW AEDM CEF CE=CF v AF 平分/ CAB / ACF2 AGF=90 , FC=FG vZ B=Z B,

3、/ FGBW ACB=90 , BFGA BAC v AC=3 AB=5 Z ACB=90 , A. B. C. D. 4 / 18 BC=4 v FC=FG =, 因回 解得：FC= 即 CE 的長為. 故選：A. 1 3. （ 2018?瀘州）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理, 是我國古代數學的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直 角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設直角三角形較長直 角邊長為 a,較短直角邊長為 b.若 ab=8,大正方形的面積為 25,則 小正方形的邊長為（ ） 【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為： a-b,根據勾股定理 以及題目給出的

4、已知數據即可求出小正方形的邊長. 【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為： a- b, T每一個直角三角形的面積為： ab= x 8=4, 二 4xab+ （a- b） 2=25, (a- b) 2=25- 16=9, 4 D . 5 / 18 a - b=3, 故選：D. 4. （ 2018?溫州）我國古代偉大的數學家劉徽將勾股形（古人稱直角 三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到 一個恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如 圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若 a=3, b=4,貝卩該矩形的面積 為（ ）6 / 18 【分析】欲求矩形的面積，貝

5、 S 求出小正方形的邊長即可，由此可設小 正方形的邊長為 X,在直角三角形 ACB 中，利用勾股定理可建立關于 x 的方程，解方程求出 x 的值，進而可求出該矩形的面積. 【解答】解：設小正方形的邊長為 X, T a=3, b=4, AB=3+4=7 在 Rt ABC 中，AC2+BC2二二AB2 即（3+X）2+ （x+4） 2=72, 整理得，x2+7x - 12=0, 該矩形的面積二二（+3） 解得 x二二或 x= （舍去） ， （+4） =24,7 / 18 8 / 18 5. （ 2018?婁底）如圖，由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的 面積是 169,小正方形的面積為 49,則

6、 sin a - cos a =（ ） 【分析】分別求出大正方形和小正方形的邊長，再利用勾股定理列式 求出AC 然后根據正弦和余弦的定義即可求 sin a和 cos a的值，進 而可求出 sin a - cos a的值. 【解答】解：小正方形面積為 49,大正方形面積為 169, 二小正方形的邊長是 7,大正方形的邊長是 13, 在 Rt ABC 中，AC2+BC2二二AB2 即 AC2+（ 7+AC 2=132, 整理得，AC2+7AG 60=0, 解得 AC=5 AC二二-12 （舍去）， BC=12 因 D 9 / 18 Sin a - cos a =-=-, 二 sin a =, co

7、s a =, 10 / 18 6. （ 2018?長沙）我國南宋著名數學家秦九韶的著作數書九章里 記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜 十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角 形沙田，三條邊長分別為 5 里，12 里，13 里，問這塊沙田面積有多大? 題中“里”是我國市制長度單位，1 里=500 米，則該沙田的面積為 （ ） A. 7.5 平方千米 B . 15 平方千米 C. 75 平方千米 D. 750 平方千米 【分析】直接利用勾股定理的逆定理進而結合直角三角形面積求法得 出答案. 【解答】解：T 52+122=132 三條邊長分別為 5 里

8、，12 里，13 里，構成了直角三角形， 二這塊沙田面積為：X 5X 500X 12X 500=7500000 （平方米）=7.5 （平 方千米）. 故選：A. 7. （ 2018?東營）如圖所示，圓柱的高 AB=3 底面直徑 BC=3 現在有 一只螞蟻想要從 A 處沿圓柱表面爬到對角 C 處捕食，則它爬行的最短 D. 1 兇 丨回兇 _ 11 / 18 【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側面展開，利用兩點之間線 段最短，然后利用勾股定理即可求解. 【解答】解：把圓柱側面展開，展開圖如右圖所示，點 A、C 的最短距 離為線段 AC 的長. 在 Rt ADC 中，/ ADC=90 , CD=A

9、B=3 AD 為底面半圓弧長，AD=1.5n, 所以 AC=兇 故選：C. 二.填空題（共 8 小題） 8（ 2018?吉林）如圖，在平面直角坐標系中， A （4, 0）, B （0, 3）,以點 A 為圓心， AB 長為半徑畫弧， 交 x 軸的負半軸于點 C,貝卩點 C 坐標為 （-1, 0） . 1 【分析】求出 OA OB 根據勾股定理求出 AB 即可得出 AC,求出 0C 長即可. 【解答】解：T點 A, B 的坐標分別為（4 , 0）, （ 0 , 3）, OA=4 OB=312 / 18 在 Rt AOB 中，由勾股定理得: /. AC=AB=5 二 OC=5- 4=1, 點 C

10、的坐標為（-1, 0）, 故答案為：（-1, 0）, 9. （2018?玉林）如圖，在四邊形 ABCD 中，/ B二二/ D=90 ,Z A=60 , AB=4 則 AD 的取值范圍是 2v AD 8 . 【分析】如圖，延長 BC 交 AD 的延長線于 E,作 BF 丄 AD 于 F.解直角 三角形求出 AE AF 即可判斷； 【解答】解：如圖，延長 BC 交 AD 的延長線于 E,作 BF 丄 AD 于 F. 在 Rt ABE 中，T/ E=30 , AB=4 AE=2AB=8 在 Rt ABF 中，AF=AB=2 AD 的取值范圍為 2v AD 8, AB=5 岡 13 / 18 故答案為

11、 2vAD 1 解得：x=, AF=間 冋- 故答案為：.二 14. （ 2018?湘潭）九章算術是我國古代最重要的數學著作之一， 在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末 折抵地，去本三尺，問折者高幾何？ ”翻譯成數學問題是：如圖所示， ABC 中，/ ACB=90 , AC+AB=10BC=3 求 AC 的長，如果設 AC=x 則可列方程為 x2+32= （10-x） 2 . 18 / 18 【分析】設 AC=x 可知 AB=10- x,再根據勾股定理即可得出結論. 【解答】解：設 AC=x / AC+AB=10 AB=10- x. 在 Rt ABC 中，/ ACB=9

12、0 , AC2+BC2=AB2 即 x2+32= (10- x) 2. 故答案為：x2+32= (10-x) 2. 15. （2018?黃岡） 如圖， 圓柱形玻璃杯高為 14cm 底面周長為 32cm 在杯內壁離杯底 5cm 的點 B 處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外 壁，離杯上沿 3cm 與蜂蜜相對的點 A 處，則螞蟻從外壁 A 處到內壁 B 處的最短距離為 20 cm （杯壁厚度不計）. 1 【分析】將杯子側面展開，建立 A 關于 EF 的對稱點 A,根據兩點之 間線段最短可知 AB 的長度即為所求. 【解答】解：如圖： 19 / 18 1 I 將杯子側面展開，作 A 關于 EF 的對

13、稱點A , 連接A B,則 AB 即為最短距離，A B=20（ cm） . |討 因 故答案為 20. 三.解答題（共 2 小題） 16. （2018?杭州）如圖，在 ABC 中，/ ACB=90，以點 B 為圓心， BC 長為半徑畫弧，交線段 AB 于點 D;以點 A 為圓心，AD 長為半徑畫弧, 交線段AC 于點 E,連結 CD （1）若/ A=28 ,求/ ACD 勺度數. (2)設 BC=a AC=b 線段 AD 的長是方程 x2+2ax - b2=0 的一個根嗎？說明理由. 若 AD=EC 求的值.Q 1 【分析】(1)根據三角形內角和定理求出/ B,根據等腰三角形的性 質求出/ B

14、CD 計算即可； (2)根據勾股定理求出 AD,利用求根公式解方程，比較即可； 根據勾股定理列出算式，計算即可. 20 / 18 【解答】解：(1)vZ ACB=90，/ A=28, :丄 B=62 , v BD=BC / BCDh BDC=59 , / ACD=90 -Z BCD=31 ; (2)由勾股定理得，AB= |兇 | HI AD=- a, |因 解方程 x2+2ax - b2=0 得，x= - a,兇 回 線段 AD 的長是方程 x2+2ax -b2=0 的一個根； v AD=AE AE=EC= 由勾股定理得，a2+b2= (b+a) 2,21 / 18 整理得，二二.Pl1 17. （ 2018?臺灣）嘉嘉參加機器人設計活動，需操控機器人在 5X5 的方格棋盤上從 A 點行走至 B 點，且每個小方格皆為正方形，主辦單 位規定了三條行走路徑 R1, R2, R3,其行經位置如圖與表所示: 路徑 編號 圖例 行徑位置 第一條路徑 R AT CT DTB 第二條路徑 F2 AT ET DT FTB 第三條路徑 F3 AT GB 已知A B CD E、F、G