1、1 / 12 教學資料范本 【2020】最新高中數學第一章三角函數章末復習課學案新 人教 A版必修 4 編輯： _ 時間： _ 2 / 12 第一章三角函數 章末復習課 提綱挈領復習知識y 整合網絡構建 警示易錯提醒 1. 關注角的概念的推廣 (1) 由于角的概念的推廣，有些術語的含義也發生了變化.如小于 90 的角 可能是零角、銳角或負角. (2) 注意象限角、銳角、鈍角等概念的區別和聯系，如銳角是第一象限角， 但第一象限角不一定是銳角. 3 / 12 2. 確定角所在象限的關注點 由三角函數值符號確定角a的象限時，不要忽視a的終邊可能落在坐標軸 上，如 sin a 0 時，a終邊在第三、四

2、象限或 y 軸負半軸上. 3. 關注正切函數的定義域 正切函數 y = tan r n x 的定義域為 ixR xMk n+2，kZ：不可寫為 x| XM k 360+ 90 , k Z. 有關正切的公式(同角三角函數商關系，誘導公式)應用時有限制條件. 4. 平方關系應用的關注點 由平方關系 sin2a+ cos2 a= 1 ,開方后求另一個三角函數值，易錯的地方 是未對角所在象限進行討論. 5. 正確應用誘導公式 n (1) 明確誘導公式的基本功能：將 k 2 a (k Z)的三角函數值化為a的三角函數值，實現變名、變號或變角等作用. (2) 熟悉應用口訣解題，一方面注意函數名稱，另一方面

3、注意符號的變化. 6. 關注三角函數的定義域、值域 (1) 解正弦、余弦函數值問題時，應注意正弦、余弦函數的有界性，即1 sin x 1， K cos x 0)的單調區間，先 研究正弦函數 y = sin x 和余弦函數 y = cos x 的相應單調區間，再把其中的“ x”用“ 3 x + ”代替，解關于 x 的不等式即 可求出所求的單調區間，但要特別關注 A 勺正負. (2) 正切函數只有單調遞增區間無單調遞減區間. 4 / 12 總結歸納專題突破5 / 12 專題一三角函數的概念 三角函數的概念所涉及的內容主要有以下兩方面：理解任意角的概念、弧 度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算；掌

4、握任意角的正弦、余弦、正切 的定義及三角函數線，能夠利用三角函數線判斷三角函數的符號，借助三角函 數線求三角函數的定義域. 例 1 設角 a 屬于第二象限，COS =一 COS -2，試判定 角屬于第幾象限. (2)求函數 y = ” 3tan x +“ 3 的定義域. n 解: (1)依題意得2 k n + 2 a 2k n+n (k Z)， 所以 kn+；v；vkn + 2(k Z). 當 k = 2n(n Z)時，；為第一象限角； a 當 k = 2n+1(n Z)時，2為第三象限角. a a 十、 a 又 cos = cos 0，所以 cos 0. 所以;應為第二、三象限角或終邊落在

5、X 非正半軸上或 y 軸上. 綜上所述，2 是第三象限角. 所以 kn n wxvkn + ；，所以函數 y = 3tan x + 3 的定義域為 cx kn 6= x 0，即 tan 6 / 12 1 由a所在象限，判斷筆 角所在象限時，一般有兩種方法：一種是利用終邊相同角的集合的幾何意義， 用數形結合的方法確定；的所屬象限；另一種方法就是將 k 進行分類討論. 2 求函數的定義域注意數形結合，應用單位圓中三角函數線或函數圖象解 題；求與正切函數有關問題時，不要忽視正切函數自身的定義域. 變式訓練 若B為第四象限的角，試判斷 sin (cos 0) cos(s in 9 )的符號； (2)已

6、知角a的終邊過點 P( 3 cos 9，4cos n 、 9 )，其中9 1-2，冗卜求a的正切值. n n 解： 因為9為第四象限角，所以 0cos 9 12， 2 1s 9 0，cos(sin 9 )0， 所以 sin(cos 9) cos(sin 9 )0. 因為9 忖，n，所以 cos 9 0， 所以 r = x2 + y2= 9cos2 9 + 16cos2 9= 5cos 9， x 3 cos 廠 5, tan 專題二同角三角函數的基本關系與誘導公式 在知道一個角的三角函數值求這個角的其他的三角函數值時，要注意題中 的角的范圍，必要時按象限進行討論，盡量少用平方關系，注意切化弦、“

7、 1 的妙用、方程思想等數學思想方法的運用，在利用誘導公式進行三角式的化簡 ，求值時，要注意正負號的選取. 故 sin =y=_ 4 r 7 / 12 9 sin 9 )的值.例 2 已知 1 + tan 9 n ) (2 n 9 ) =4，求(sin 9 3 cos 9 ) (cos 8 / 12 ” 、 r 2+ tan 0 解：法一：由已知 i tan 0 =-4, 0 = 4(1 tan 0)，解得 tan 0 = 2, 3 cos 0 )(cos 0 sin 0 )= 843 1 4+1 5 、亠一丄片 2+ tan 0 法一：由已知 1 tan 0 - 4, sin 0 解得 ta

8、n 0 -2,即 cos 0 -2, 所以 sin 0 -2cos 0 , 所以(sin 0 3cos 0 )(cos 0 sin 0 ) (2cos 0 3 cos 0 )(cos 0 2 cos 0) cos2 0 1 1 sin2 0 + cos2 0 - tan2 0 +1 - 5. 歸納升華 三角函數式的化簡，求值與證明問題的依據主要是同角三角函數的關系式 及誘導公式解題中的常用技巧有：（1）弦切互化，減少或統一函數名稱；（2） “ 1”的代換，如：1 sin 2 a + cos? a （常用于解決有關正、余弦齊次式的化簡 求值問題中），1 -tan : 4 k n 等；（3）若式子

9、中有角 2 ， k Z,則先利用誘導公式化簡. 變式訓練已知 tan a - 2,求下列各式的值： 1 （1） - 2 3 2 （2）2sin a qSin a cos a + 5cos a . 所以 2+ tan 所以（sin 0 4sin 0 cos 2 2 0 sin 0 3 cos 0 = 4sin 0 cos 0 sin2 0 3cos2 0 4tan 0 tan2 0 3 - - - - sin2 0 + cos2 0 tan2 0 +1 2 cos 0 9 / 12 sin2 a sin a cos a cos2 a 10 / 12 K 亠 sin2 a + C0S2 a tan

10、2 a +1 (1)原式sin2 a sin a cos a cos 2 a tan2 a tan a 1 3 2sin2 a qSin a cos a + 5cos2 a Sin2 a + cos2 a 3 2tan2 a n a +5 tan2 a +1 2X 4 2+5 4+1 專題三三角函數的圖象及變換 三角函數的圖象是研究三角函數性質的基礎，又是三角函數性質的具體體 現在平時的考查中，主要體現在三角函數圖象的變換和解析式的確定，以及 通過對圖象的描繪、觀察來討論函數的有關性質. 例 3函數 y = Asin( wx+ )的部分圖象如圖所示，貝嘰 解: 4+1 4 5. 11 / 12

11、 A. y = 2 sin 2x-6 B y = 2 sin C. y = 2 sin x+ 扌 D y = 2 sin ix+ 才 T 冗 解析：由圖象知2= 3 =，故 T= n，因止匕3= = 2. 2 12 / 12 又圖象的一個最高點坐標為 i 3， 2 ，所以A= 2,且 2X 3 +=2k n + ； n n II (k Z)，故 =2k n(k Z)，結合選項可知 y = 2s in 2xgJ-故選 A. 答案：A 歸納升華 人 ymax- ymi n yma 灶 ymin 2 n 出“工 A= 2 , k 2 , 3 = T，由五 n 3 點作圖法”中方法令3 x += 0,

12、 2 , n , 2 n或2 n求 . 2 圖象變換中應注意方向變化與解析式加減符號變化相對應. X 變式訓練 函數 y = sin 2 的圖象沿 x 軸向左平移n個單位長度后得到函數的圖象的一個對稱中心是 ( II =cos 2x 的圖象，它的一個對稱中心是(n , 0). 答案：B 專題四三角函數的性質 三角函數的性質，重點應掌握 y = sin x, y= cos x, y = tan x 的定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性等有關性質，在此基礎上掌握函數 y = Asin( 3 x + ) , y = Acos( 3 x+ )及 y = Atan( 3 x + )的相關性質.在研 究

13、其相關性質時，將3 x +看成一個整體，利用整體代換思想解題是常見的技 巧. 1 求解析式的方B.( n ,0 A. (0,0 13 / 12 X 解析：函數 y= sin 2 的圖象沿 x 軸向左平移n個單位長度后得到函數 y 二 sin 2 (x+ n) 14 / 12 ( n、 例 4 已知函數 f(x) =2 sin 2x+百|+ a+ 1(其中 a 為常數). (1) 求 f(x)的單調區間； -n 1 若 x 0, 2時，f(x)的最大值為 4,求 a 的值； (3)求 f (x)取最大值時 x 的取值集合. 解：(1)由一 2 + 2k n 2x + W ? + 2k n , k

14、 Z,解得3 + k n x + kn , k Z,所以函數 f (x)的單調增區間為 一 ；+k n , 6 +k n 3 2 (k Z)，由 2 + 2k n W2x + W ? +2k n , k Z,解得 + k n WxW 3 + k n , k Z, 所以函數 f (x)的單調減區間為|-6 +k n , 3- +k n (k Z). (2) 因為 OW xw寺，所以-6W2x + 6W 冒, 1 ( n、 所以一產 sin 2x+ W 1, 所以 f(x)的最大值為 2+ a+ 1 = 4,所以 a= 1, (3) 當 f (x)取最大值時，2x + = 2 +2k n , 所以

15、2X = 3 +2k n，所以 x = + k n , k Z. 所以當 f(x)取最大值時，x 的取值集合是 r 、 cx x=言 +k n , k Z r. 歸納升華 1. 形如 y= Asin( co x + ) + k 單調區間求法策略：可把“ co x +”看作一 個整體，代入正弦函數的相應區間求解. 2. 求形如 y = Asi n( o x + ) + k 的值域和最值時，先求復合角“ o x +” 的范圍，再利用 y= sin x 的性質來求解. 15 / 12 變式訓練(20 xx 安徽卷)設函數 f(x)(x R)滿足 f(x + n ) = f(x) + sin x，當

16、0W x n 時，f (x) = 0,則 f A.1 B.導 C0 D - - 1 解析：因為 f (x+2 n ) = f (x + n ) + sin( x + n ) = f (x) + sin x- sin x = f(x)，所以 f (x)的周期 T= 2 n , 5 n ) 又因為當 0W xn時，f(x)二 0,所以 f - 0, I 6 丿 即 f K+ n 戶 f K+ sin 0， l 6 丿l 6丿 i 6丿， (八 1 所以f5 尸 2， 空彳冗、j： n 、上n 、 1 所以f k 尸f (n 瓦尸f6 r 2 答案：A 專題五轉化與化歸思想 化歸思想貫穿本章的始終，

17、 在三角函數的恒等變形中， 同角關系式和誘導 公式常化繁為簡，化異為同，弦切互化；在研究三角函數的圖象與性質時，常 把函數 y = Asin( 3 x+ )化歸為簡單的 y= sin x 來研究.這些均體現三角函數中的轉化與化歸的思想方法. 1 (n 2、 例 5 求函數 y = 2sin &xJ 的單調區間. 1 (2 n、 解：將原函數化為 y = sin gx壬丿 由 2k n n 2 n n 2 w 3x 4 2kn +2(k Z)， 得 3 n 3 9 ；n x 3k n+；n (k Z)，此時函數單調遞減. 8 8 由 2k n n 2 n 3 9 21 + yw孑W2kn

18、 + ?n (k Z)，得 3k n + n wx3k n +8 n (k Z)，此時函數單調遞增.16 / 12 故原函數的單調遞減區間為 3kn點冗，3kn+叮冗 (k Z), 單調遞增區間為-|3k n + 8n , 3kn + n (k Z). 二歸納升華 1 求形如函數 y = Asin( 3 x + ) , ( 3 sin a ， a + n 2f( a )結合 得 sin a 2COS a ,所以 f( 7t )+f+ 2 sin a cos a 變式訓已知函數 f( a ) tan ( a + n ) sin ( a + n ) (1)化簡 f( a )； . n 1 5 n 3 n 亠 n 右 f ( a ) f+T 丿8，且 Z 三 a ，求 f ( a ) +