1、數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中的元認(rèn)知丹陽市第五中學(xué) 212300 張濤 一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，所以按照有意義學(xué)習(xí)理論，必然是解題者已有的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)對整個解決問題的學(xué)習(xí)過程起著決定性的作用。數(shù)學(xué)的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)由解題知識結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和解題元認(rèn)知結(jié)構(gòu)組成。關(guān)于解題知識結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)，對此，已經(jīng)有人進(jìn)行了比較詳實地闡述，本文擬就數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的元認(rèn)知問題進(jìn)行深入探討。1“元認(rèn)知”思想的脈絡(luò) “元”的概念來源于對“內(nèi)省法的自我證明悖論”的哲學(xué)思索。卡蒙特(Comte)認(rèn)為， 同一器官如何能夠同時既是觀察者又是被觀察者呢，因而“內(nèi)省法”存在“自我證明悖論”。為了解決這一悖論，哲學(xué)家塔爾斯基(A

2、TMski)引進(jìn)了“Meta”即“元”的概念。他針對“客體水平”提出了“元水平”的概念：客體水平是“關(guān)于客體本身的表述”，而元水平則是“關(guān)于客體水平表述的表述”。這2者之間的區(qū)別，使得一個過程可以作為同時進(jìn)行的2個或2個以上不同水平的進(jìn)程來分析，其中任何一個較低層次進(jìn)程都可以成為一個較高層次進(jìn)程的對象因此內(nèi)省可看作是，認(rèn)知主體對自己所進(jìn)行的關(guān)于客體水平的意識做出元水平的言語表述這樣一來，關(guān)于內(nèi)省法的自我證明悖論就得到了解決與此同時，“元”的概念給予心理學(xué)家以啟示，產(chǎn)生了“元認(rèn)知”的思想元認(rèn)知最初被表述為“個人關(guān)于自己的認(rèn)知過程及結(jié)果或其它相關(guān)事情的知識”，是“為完成某一具體目標(biāo)或任務(wù)，認(rèn)知主體

3、依據(jù)認(rèn)知對象對認(rèn)知過程進(jìn)行主動的監(jiān)測，以及連續(xù)的調(diào)節(jié)和協(xié)調(diào)”，是“個人對認(rèn)知領(lǐng)域的知識和控制”。因此，元認(rèn)知被簡單地表述為“關(guān)于認(rèn)知的認(rèn)知”。2波利亞的元認(rèn)知思想 雖然“元認(rèn)知”概念提出較晚，但元認(rèn)知思想已有悠久歷史，古今中外的許多先哲均有所涉獵，在數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域，波利亞則堪稱提出解題元認(rèn)知思想的第一人。如果從心理學(xué)的角度來欣賞，波利亞的數(shù)學(xué)解題理論堪稱數(shù)學(xué)解題心理學(xué)的精品，特別是其中所蘊(yùn)涵元認(rèn)知思想更是令人嘆為觀止，拍案叫絕。 其實，“怎樣解題表”本身就是一個完整的數(shù)學(xué)解題的元認(rèn)知體系。解題表既給出了解題的程序 一種程序性知識，又給出了解題的策略 如何使解題效果更好的自我監(jiān)控知識，它對解題

4、過程給出的“提示語”就是典型的元認(rèn)知知識。對于“弄清題意”，波利亞認(rèn)為：在解題過程中解題者常常會翻來覆去地在腦子里掂量著問題，試圖使它看起來更簡便，這可以問一下自己：“能重新表述一下這個問題，使之盡可能簡單、有啟發(fā)性嗎?當(dāng)然要使問題表述得更熟悉，更有吸引力，更接近于問題和更有希望解決。”這種對自己思維趨向的提示，是地道的元認(rèn)知活動。至于具體如何重新表述，是把條件或結(jié)論變形，還是把整個問題變形?是把未知量或已知量變形，還是把2者同時都變形?這些具體的策略和方法屬于知識和技能，更傾向于認(rèn)知而不是元認(rèn)知。“回到定義去”是波利亞的最強(qiáng)調(diào)、最常用的提示語，“把問題所給的因素返回到定義去考慮，使我們可以引

5、進(jìn)某些新的因素，而這些新的因素轉(zhuǎn)而又引出更多的新因素，如此繼續(xù)下去，就可以把問題的思路進(jìn)一步展開，這種展開往往能使我們更接近于問題的解。”對于“擬訂計劃”，波利亞用一系列的提示語來誘發(fā)一個“好念頭”，作為解題的核心環(huán)節(jié)，這些起監(jiān)控作用的提示語都是元認(rèn)知知識。 波利亞提出的“目標(biāo)意識”“看著未知數(shù)”，“盯著目標(biāo)”也是一種元認(rèn)知意識。波利亞指出：目標(biāo)啟示著手段，對目標(biāo)的考慮可能會啟發(fā)找到一個途徑。考慮了目標(biāo)，問題就一個接著一個出來了：這些提問引導(dǎo)了一條“倒退”的途徑：如果能發(fā)覺了推出問題未知量的“已知量”，那就可以把這些“已知量”選做輔助問題的目標(biāo)，就可以從后往前推了。波利亞還提出“接近度”解題思

6、路探索時與解題目標(biāo)的接近程度的思想，“能不能把問題重新表述得使未知量和已知量、結(jié)論和假設(shè)看上去彼此更加接近呢?”這是一種解題的元認(rèn)知體驗，這種體驗有利于調(diào)節(jié)解題的思維方向。 波利亞關(guān)于“對自己提出的猜想應(yīng)該保持一種理智的態(tài)度(堅持或放棄)”的思想，也是一種元認(rèn)知知識。不輕信所做的猜想，也不輕易改變自己的猜想。即使有足夠的證據(jù)，猜想也需要論證；即使不能論證猜想，也不要輕言放棄；一旦發(fā)現(xiàn)證據(jù)不足需要改變猜想，就毫不猶豫做出決斷。 對于“實施計劃”，波利亞提出“對每一步演算和推理進(jìn)行檢驗”，“補(bǔ)充細(xì)節(jié)”，“耐心檢驗每一步”，“能清楚地看出這一步是正確的嗎”，“不要放過任何含糊之處”。這些也都是元認(rèn)知

7、活動。 對于“回顧解題”，波利亞強(qiáng)調(diào)要通過對解題的回顧，達(dá)到“能一下子看出問題的解”。這是培養(yǎng)解題者的“題感”，實際是對問題的敏感，一種解題的元認(rèn)知體驗。 波利亞數(shù)學(xué)解題理論可謂充滿了元認(rèn)知思想，如果稱其為數(shù)學(xué)解題元認(rèn)知理論的創(chuàng)立人，那決不為過。3 解題的元認(rèn)知體驗和元認(rèn)知監(jiān)控解題的元認(rèn)知，由主體的元認(rèn)知結(jié)構(gòu)和元認(rèn)知監(jiān)控組成。元認(rèn)知結(jié)構(gòu)的成分包括元認(rèn)知知識和元認(rèn)知體驗。元認(rèn)知知識有元認(rèn)知特征知識，元認(rèn)知任務(wù)知識，元認(rèn)知策略知識和元認(rèn)知評價知識。這里著重討論解題的元認(rèn)知體驗和元認(rèn)知監(jiān)控。3.1 解題的元認(rèn)知體驗 所謂元認(rèn)知體驗，是伴隨并從屬于智力活動的有意識的認(rèn)知體驗或情感體驗。所謂體驗一般是沒

8、有明確編碼、甚至難以編碼的信息，近似于通常所說的“感覺”、“意會”，像心理圖像，隱約的類似，朦朧的情境，難以明言的預(yù)期等，這些都是認(rèn)知體驗。 對問題情境中各種因素及其之間關(guān)系和變化的敏感，屬于元認(rèn)知體驗的范疇。這種敏感包括2方面： 一是，對問題情境中各種線索的敏感，這種敏感決定著對情境中有關(guān)信息的覺察與認(rèn)知，如果不敏感就可能遺漏、忽略某些重要的信息，或者產(chǎn)生誤解、偏差的認(rèn)識。例如，需要利用乘法公式進(jìn)行因式分解時，如果沒有對公式結(jié)構(gòu)的敏感，沒有對各項指數(shù)關(guān)系的敏感，沒有對冪的底數(shù)相同性的敏感，沒有局部和整體關(guān)系的敏感，即使對乘法公式記憶得滾瓜爛熟，也不能有效運(yùn)用乘法公式使問題得到解決。 二是，激

9、活和提取不同問題情境下相應(yīng)策略的知識和經(jīng)驗的敏感，這種敏感影響著調(diào)控對策和方法的選取，如果缺乏這方面敏感就可能在問題情境和方法匹配上發(fā)生困難，難以激活、提取適當(dāng)?shù)姆椒ú呗裕y以將一種具體問題情境下解決問題策略和方法遷移到其它問題情境中去。如果從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題的角度，這種“敏感”還應(yīng)該包括“一種敏銳的題感，它使人在解題時能一下子抓住關(guān)鍵，單刀直入，立即深入問題的核心”。3.2解題的元認(rèn)知監(jiān)控 從波利亞數(shù)學(xué)解題元認(rèn)知思想中，可以抽取出組成自我監(jiān)控的幾個主要因素：控制、監(jiān)察、預(yù)見、調(diào)節(jié)和評價。它與一般的元認(rèn)知監(jiān)控的組成因素既有一致性，又有數(shù)學(xué)解題的自身特點。 (1)控制，即在解題過程中，對如何入手，如

10、何策劃，如何構(gòu)思，如何選擇，如何組織，如何猜想，如何修正等做出基本計劃和安排。對學(xué)習(xí)情境中的各種信息做出準(zhǔn)確的知覺和分類，調(diào)動頭腦中已有的相關(guān)知識，對有效信息做出迅速選擇，以恰當(dāng)?shù)姆绞浇M織信息，選擇解決問題的策略，安排學(xué)習(xí)步驟，控制自己的思維方向。關(guān)注解題的過程性和層次性，有意識地控制自己的解題節(jié)奏，對整個解題過程做到“心中有數(shù)”，明確地意識到自己所采取的每一個解題步驟的意圖。 (2)監(jiān)察，即監(jiān)視和考察。在解題過程中，密切關(guān)注解題進(jìn)程，保持良好的批判性，以高度的警覺審視解題每一歷程問題的認(rèn)識、策略的選取、前景的設(shè)想、概念的理解、定理的運(yùn)用、形式的把握，用恰當(dāng)?shù)姆绞椒椒z查自己的猜想、推理、運(yùn)算

11、和結(jié)論。 (3)預(yù)見，即在數(shù)學(xué)解題的整個過程，隨時估計自己的處境，判斷問題的性質(zhì)，展望問題的前景。對數(shù)學(xué)問題的性質(zhì)、特點和難度以及解題的基本策略和基本思維做出大致的估計、判斷和選擇；猜想問題的可能答案和可能采取的方法，并估計各方法的前景和成功的可能性等等，要設(shè)法使自己置身于一個最便于行動的位置上，處在一個最易于抓住問題的位置上。(4)調(diào)節(jié)，即根據(jù)監(jiān)察的結(jié)果，根據(jù)對解題各方面的預(yù)見，及時調(diào)整解題進(jìn)程，轉(zhuǎn)換思考的策略，重新考慮已知條件、未知數(shù)或條件、假設(shè)和結(jié)論；對問題重新表述，以使其變得更加熟悉，更易于接近目標(biāo)，如，“盡可能畫一張圖”，“引入適當(dāng)?shù)姆枴保盎氐蕉x去”。(5)評價，即以“理解性”

12、和“發(fā)展性”標(biāo)準(zhǔn)來認(rèn)識自己解題的收獲，自覺對問題的本質(zhì)進(jìn)行重新剖析，反思自己發(fā)現(xiàn)解題念頭的經(jīng)歷，抽取解決問題的關(guān)鍵，總結(jié)解題過程的經(jīng)驗與教訓(xùn)，反思解題過程的成敗得失及其原因；從思維策略的高度對解題過程進(jìn)行總結(jié)，從中概括出一般性規(guī)律，概括出點點滴滴的新經(jīng)驗、新見解、新體會，以及對問題進(jìn)行推廣、深化，尋找新的解法、更好的解法，對解題過程或表述予以簡化。評價應(yīng)該貫穿于解題的始終，隨時進(jìn)行評價，而不僅僅是在解題后。4 解題元認(rèn)知能力的培養(yǎng)4.1 善于運(yùn)用波利亞的“提示語” 波利亞在他的解題理論著作中所給出的很多提示語，都是屬于元認(rèn)知的范疇。因而在解題時經(jīng)常自覺地運(yùn)用這些提示語，是提高解題元認(rèn)知能力的有

13、效途徑。正如波利亞指出，“表中的問題除了普遍性以外，它們也是自然的、簡單的、顯而易見的，來自于普通常識。這些問題總是勸告你去做此時你該去做的合乎情理的事，而對你正要解決的特定問題并沒提出具體的勸告(這正是元認(rèn)知知識)。”“如果問得是地方，是時候，就可能引出好的答案，引出正確的想法，或一個能夠推動解題進(jìn)程的合宜的步子。” 在解題教學(xué)中，教師為學(xué)生所能做的最大好事是通過比較自然的幫助，特別應(yīng)當(dāng)反復(fù)經(jīng)常地提出這些提示語，促使他自己想出一個好念頭。這樣的指導(dǎo)，可以使學(xué)生找到使用各種提示語的正確方法。因為這些都是元認(rèn)知知識，超越了具體對對象而實用于任何問題，從而學(xué)生就學(xué)到比任何具體數(shù)學(xué)知識更重要的東西。

14、4.2 善于提煉自己的“提示語”對善于解決問題而已經(jīng)擁有這些常識的人來說，這些常識性提示語似乎很自然、很平凡、很不起眼，但是他們往往不注意用明確的語言來表達(dá)他的行動，而波利亞則以自己的明確意識，清晰地表達(dá)出這些觀點。 因此，一方面需要學(xué)習(xí)運(yùn)用波利亞的元認(rèn)知監(jiān)控的提示語，培養(yǎng)良好的解題元認(rèn)知習(xí)慣，另一方面解題者還應(yīng)當(dāng)從自己的體驗中提煉和總結(jié)自己在解題監(jiān)控中的經(jīng)驗和體會，形成有自己風(fēng)格的元認(rèn)知監(jiān)控的提示語。盡管個體從事的解決問題活動的實踐千差萬別，但“進(jìn)行自我監(jiān)控”卻是從事各種解題活動時的一種共同特征，而且個體對不同類型解題活動進(jìn)行自我監(jiān)控的實質(zhì)是相同的。因此，在任何一種解題活動中的自我監(jiān)控都具有

15、廣泛的遷移性，可以用于多種不同的實踐活動上。這表明，數(shù)學(xué)解題活動的元認(rèn)知知識和體驗可以用于其它領(lǐng)域的解題活動之中，而其它領(lǐng)域解題活動的元認(rèn)知知識和體驗也可以用于數(shù)學(xué)解題活動之中。 元認(rèn)知不僅來源和運(yùn)用于文化知識的學(xué)習(xí)，還來自于游戲、體育及其它活動之中。例如學(xué)習(xí)打乒乓球，打球者要始終監(jiān)控自己的每一個擊球動作，從球的落點、方向、速度、高度、旋轉(zhuǎn)等，及時判斷該如何調(diào)整自己的擊球動作，這樣他的技術(shù)才會較快地提高。游戲中也包含了許多對自己活動監(jiān)控、調(diào)整，因而包含了大量的元認(rèn)知活動。重要的是找出關(guān)于處理各類問題所共有的特征來；找出與問題的主題無關(guān)的一般特征來。更為重要的是這些元認(rèn)知活動是主體獨立主動進(jìn)行的，其所獲得的元認(rèn)知知識和體驗，都是自己逐步感悟和摸索出來的，也就是自己建構(gòu)起來的，這樣才可能具有很強(qiáng)的遷移性，利于遷移