1、13.4課題學習最短路徑問題（一）知識點：i 最短路徑問題（i）求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這 兩點，與直線的交點即為所求. 求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其 中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即 為所求.2.運用軸對稱解決距離最短問題運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質，將所求線段之和轉化為一條線段的 長，是解決距離之和最小問題的基本思路， 不論題目如何變化，運用時要抓住直 線同旁有兩點，這兩點 到直線上某點的距離和最小 這個核心，所有作法都相同.3 利用平移確定最短路徑選址解決連接河兩岸的兩個點的

2、最短路徑冋題時，可以通過平移河岸的方法使 河的寬度變為零，轉化為求直線異側的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問 題.同步練習：1.如圖所示，點 A，B 分別是直線 I 異側的兩個點，在 I 上找一個點 C,使 C 陽 CB 最短，這時點 C 是直線 I 與 AB 的交點.B2.如圖所示，點 A, B 分別是直線 I 同側的兩個點，在 I 上找一個點 C,使 CACB 最短，。BA3.在圖中直線 I 上找到一點 M 使它到 A，B 兩點的距離和最小.A4.如圖，小河邊有兩個村莊 A，B，要在河邊建一自來水廠向 A 村與 B 村供水.EF（1）若要使廠部到 A，B 村的距離相等，則應選擇在哪建廠

3、?（2）若要使廠部到 A, B 兩村的水管最短，應建在什么地方?5如圖，從 A 地到 B 地經過一條小河（河岸平行），今欲在河上建一座與兩 岸垂直的橋，應如何選擇橋的位置才能使從A 地到 B 地的路程最短？6.（實際應用題）茅坪民族中學八 班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖 a 所示 兩直排（圖中的 AQ BO，A0 桌面上擺滿了橘子，0E 桌面上擺滿了糖果，站在 C 處的學生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 處座位上，請你幫助他設計一條行走 路線，使其所走的總路程最短？A-0D*B7.如圖所示，A, B 兩點在直線 I 的兩側，在 I 上找一點 C,使點 C 到點 A、 B 的距離之差最大.* 4

4、為了證明點 C 的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C,連接AC , BC，B C,證明 AC+ CB AC +CB.如下：證明：由作圖可知，點 B 和 B關于直線 I 對稱，所以直線 I 是線段 BB 的垂直平分線.因為點 C 與 C 在直線 I 上，所以 BC= B C, BC = B C.在厶 AB C中，AB v AC + BC，所以 AC B Cv AC + B C，所以 AC BCX AC +CB.3.解：如圖所示：(1)作點 B 關于直線 I 的對稱點 B;連接 AB 交直線 I 于點 M(3) 則點 M 即為所求的點.4.解： 如圖 1,取線段 AB 的中點 G,過中點

5、 G 畫 AB 的垂線，交 EF 于 P，則點 C 是直線 I 與 AB 的交點.參考答案:1.1則 P 到 A, B 的距離相等也可分別以 A、B 為圓心，以大于 2AB 為半徑畫弧，兩 弧交于兩點，過這兩點作直線，與 EF 的交點 P 即為所求. 如圖 2,畫出點 A 關于河岸 EF 的對稱點 A，連接 A B 交 EF 于 P,則 P 到 A, B 的距離和最短.圖1圖25. 解：(1)如圖 2,過點 A 作 AC 垂直于河岸，且使 AC 等于河寬.(2) 連接 BC 與河岸的一邊交于點 N(3) 過點 N 作河岸的垂線交另一條河岸于點 M 則 MN 為所建的橋的位置.6. 解：如圖 b.(1)作 C 點關于 0A 的對稱點 G,作 D 點關于 0B 的對稱點 D ,連接 CD, 分別交 OA 0B于 P, Q 那么小明沿 CP-CHD 的路線行走，所走的總路程最 短.7.解：如圖所示，以直線 I 為對稱軸，作點 A 關于直線 I 的對稱點A,A B的連線交I 于點 C,則點 C 即為所求理由：在直線 I 上任找一點 C （異于點 C），連接 CA C A，C A,C B.因為點 A, A 關于直線 I 對稱，所以 I 為線 段 AA 的垂直平分線，則有 CA= CA，所以CA-CB= CA CB=AB.又因為 點 C在 I 上，所以 C A= C