1、專題四導 數導數的概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應用.在本專題中，我們將復習導數的概念及其運算，體會導數的思想及其內涵；應用導數探索函數的單調性、極值等性質，感受導數在解決數學問題和實際問題中的作用.導數的相關問題主要圍繞以下三個方面：導數的概念與運算，導數的應用，定積分與微積分基本定理.§ 4-1導數概念與導數的運算【知識要點】1. 導數概念：(1)平均變化率：對于函數y= f(x),定義f(X2)- f(xj為函數y=f(x)從X!到X2的平均X? 變化率.換言之，如果自變量 x在X。處有增量:x，那么函數f(x)相應地有增量f(xo+厶x)f(x。)

2、，則比值 丄色)一f (x)就叫做函數 y = f(x)從X。到xo+二x之間的平均變化率._x(2) 函數y = f(x)在x = x0處的導數：函數y = f(x)在x = x0處的瞬時變化率是 l.im兇f (Xo)，我們稱它為函數y = f(x)在x= x。處的導數，記作 f' (x。)，即f(X。)= imof(x。：x) - f(x。)Z7 / 21f (x ：x) - f (x)z函數y= f(x)的導函數(導數)：當x變化時，f' (x)是x的一個函數，我們稱它為函數=f(x)的導函數(簡稱導數)，即f(X)= iim2. 導數的幾何意義:函數y = f(x)在

3、點x。處的導數(x。)就是曲線y= f(x)在點(x。，f(x。)處的切線的斜率，即 k= f (X0).3導數的運算：(1) 幾種常見函數的導數： (C)'= 0(C為常數); (xn) '= nxn 1(x。, n Q )； (sinx)' = cosx; (cosx)' = sinx; (ex)'= ex; (ax) '= axlna(a。，且1);1 (in x)：x- 1 (log a X) logae(a0,且 aM 1).X(2) 導數的運算法則： u(x)± v(x)' = u'(x) ± v&

4、#39;(x); u(x)v(x) ' = u (x)v(x) + u(x)v (x);v2(x)u(x)_ u(x)v(x) u(x) -vH(x)(v(x) _ 0)簡單的復合函數(僅限于形如f(ax+ b)的導數:設函數y= f(u), u= g(x),則函數y= f(u)= fg(x)稱為復合函數.其求導步驟是：y：f對U求導后應把U換成g(x).fu g x，其中f u表示f對U求導，g x表示g對x求導.【復習要求】1. 了解導數概念的實際背景;2理解導數的幾何意義；3.能根據導數定義求函數y= C, y= x, y= x2, y= x3.y =丄，y =: - x的導數;

5、x4能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數；5. 理解簡單復合函數(僅限于形如f(ax+ b)導數的求法.【例題分析】例1求下列函數的導數：2(1)y= (x+ 1)(x 1);(2) x 1x+1(3) y= sin2x；(4)y= ex Inx.解：(1)方法一：y'= (x + 1)' (x2 1) + (x+ 1)(x2 1) '= x2 1 + (x+ 1) 2x= 3x2 + 2x 1.方法二： y= (x+ 1)(x2 1)= x3+ x2 x 1,. y'= (x3 + x2 x 1) '= 3x2 + 2

6、x 1 .(2)方法一: /X1、"(x1)'(x+1) (x1)(x + 1)' (x+1) (x1)y =()二-2(x 1)2(x 1)22(x 1)方法二：+4 , y'=(1-丄)' = (-丄)丄x 12, 2x 1 (x 1)(3)方法一：y'= (sin2x)' = (2sinx 方法二：y'= (sin2x)'2 2cosx)'= 2(sin x)' cosx+ sinx (cosx)' = 2(cos x sin x)= 2cos2x. (2x)' = cos2x 2

7、= 2cos2x.x1(4) y 二(ex) In xex (In x) = ex In x 務=(In x _) ex.x【評析】理解和掌握求導法則和式子的結構特點是求導運算的前提條件. 導法則求導數的基本步驟為： 分析函數y= f(x)的結構特征； 選擇恰當的求導法則和導數公式求導數； 化簡整理結果.應注意：在可能的情況下，求導時應盡量減少使用乘法的求導法則， 數、三角恒等變形等方法對函數式進行化簡，然后再求導，這樣可減少運算量. 的方法二較方法一簡捷).對于，方法一是使用積的導數運算公式求解，即使用三角公式將 sin2x表示為sinx和運用公式和求可在求導前利用代(如(1)(2)題COS

8、X的乘積形式，然后求導數；方法二是從復合函數導數的角度求解.方法二較方法一簡捷.對利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數要熟練、準確.例2(1)求曲線y= x2在點(1 , 1)處的切線方程；(2)過點(1, - 3)作曲線y= X的切線，求切線的方程.【分析】對于 ，根據導數的幾何意義：函數y=f(x)在點X0處的導數f '(x0)就是曲線y=f(x)在點(Xo, f(X0)處的切線的斜率，可求出切線的斜率，進而由直線方程的點斜式求得切 線方程.對于，注意到點(1, - 3)不在曲線y = X2上，所以可設出切點，并通過導數的幾何意 義確定切點的坐標，進而求出

9、切線方程.解：曲線y= X2在點(1, 1)處的切線斜率為y '= 2x|2,從而切線的方程為 y 1 = 2(x- 1)，即2x-y-1 = 0.設切點的坐標為仇乂).根據導數的幾何意義知，切線的斜率為y' = 2x|xk = 2xo,從而切線的方程為2y - Xo =2xo(x -Xo).因為這條切線過點(1, - 3)，所以有-3-爲=2x1-x0),整理得 X0 - 2x0 -3=0，解得 xo=- 1，或 xo= 3.從而切線的方程為 y 1 = - 2(x+ 1)，或y 9= 6(x- 3),即切線的方程為 2x+ y+ 1 = 0，或6x-y- 9= 0.【評析】

10、用導數求曲線的切線方程，常依據的條件是： 函數y= f(x)在點Xo處的導數f '(Xo)就是曲線y= f(x)在點(xo, f(Xo)處的切線的斜率， 即 k = f '(xo)； 切點既在切線上又在曲線上，即切點的坐標同時滿足切線與曲線的方程.例3設函數f(x)= ax3 + bx+ c(az o)為奇函數，其圖象在點(1, f(1)處的切線與直線 x- 6y- 7= o垂直，導函數f '(x)的最小值為12.求a, b, c的值.【分析】 本題考查函數的奇偶性、二次函數的最值、導數的幾何意義等基礎知識，以及 推理能力和運算能力題目涉及到三個未知數，而題設中有三個獨

11、立的條件，因此，通過解 方程組來確定參數 a、b、c的值.解：/ f(x)為奇函數， f(- x)=- f(x),即一ax bx+ c= ax bx c,- c= o./ f '(x)= 3ax2+ b 的最小值為一12, b=- 12.1又直線x- 6y- 7= o的斜率為丄，因此，f '(1) = 3a+ b =- 6, a = 2.6綜上,a= 2, b = 12, c= o.1 2例 4 已知 a> o,函數 f (x)a , x (o,+s ).設 o ： x1，記曲線 y= f(x)在xa點M(X1, f(xj)處的切線為l.(1) 求 l的方程；設I與X軸的

12、交點是(X2, 0),證明：0 :： X2.a【分析】對于(1),根據導數的幾何意義，不難求出I的方程；對于(2)，涉及到不等式的證明，依題意求出用 進行推理.X1表示的X2后，將X2視為X1的函數，即X2= g(X1)，結合要證明的結論1解：對f(x)求導數，得f (x)2，由此得切線I的方程為:1y -( a)Xi12(X_XJ .X(2)依題意，切線方程中令2 1 2y= 0，得 x2 = x1 (a)為=2xax1 .X1X122由 0 ：為 ，及冷=2為 一 a =為(2 - axj，有 X2>0;a另一方面， x2 二 2捲 _ax； - -a(X1 - 1 )2 1 ，a

13、a1 11從而有0 ： x2 "，當且僅當x-i時，x2.aaa【評析】 本題考查的重點是導數的概念和計算、導數的幾何意義及不等式的證明.涉及 的基礎知識都比較基本，題目難度也不大，但把導數的相關知識與不等式等內容有機整合， 具有一定新意，體現了導數作為工具分析和解決一些函數性質問題的方法.1本題中的(2)在證明0 ： x2時，還可用如下方法：a1 1 2 1 2 作法，x2 =2x1 ax； = _ (1 _axj2 丄0.aaa 利用平均值不等式，x2 =捲(2axj =丄心為)(2-axj _ 1 (|)2aa 21例5 設函數f'(x)二ax(a,bZ)，曲線y=f(

14、x)在點(2，f(2)處的切線方程為x +b=3.(1) 求 f(x)的解析式；(2) 證明：曲線y= f(x)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；(3) 證明：曲線y = f(x)上任一點處的切線與直線x= 1和直線y= x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.解:(1) f '(x) =a -12(X b)2a于是2+b1 1a 一.(2 b)=1,a 1解得丿 ,A = T,因為a，b Z，所以1f(x"x 門1證明：已知函數 yi = x, y2 = 都是奇函數，x1所以函數g(x)二x 也是奇函數，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形.x1 而 f (x) =x

15、 -11 ,X 1可知，函數g(x)的圖象按向量a= (1 , 1)平移，即得到函數f(x)的圖象，故函數f(x)的圖象是以點(1, 1)為中心的中心對稱圖形.1(3)證明：在曲線上任取一點 (xo,Xo).X。一 1由 f'(Xo) =11(xo -1)2知,過此點的切線方程為X； - x。1x。11(Xo -1)2(x - Xo).x01x01令x= 1得y -，切線與直線x= 1交點為(1,一 )；Xo - 1Xo - 1令y= x得y = 2xo 1,切線與直線 y= x交點為(2x。一 1, 2x。一 1). 直線x= 1與直線y= x的交點為(1,1)；從而所圍三角形的面積

16、為 11些12 X-11 2"STS | |2x。- 2|=2 .所以，所圍三角形的面積為定值練習1.2.3.、選擇題：(tanx)'等于(1(A)sin x1(B)sin x設 f(x)= xlnx,若 f '(X0)= 2，貝U X0 等于(A)e2(B)e1(C)cos X)ln2(C)1"1(D)cos X(D)l n2函數y= ax2 +1的圖象與直線y= X相切，則a等于(1(A)81(B)41(C)2(D)1曲線y9 2(A) ：e2一、填空題:4.1X2=e2在點(4, e )處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為(B)4e22(C)2e(D)e

17、25. f '(x)是 f (X)=1X3 2x 1 的導函數，貝y f '( 1)=36. 若函數y= f(x)的圖象在點 M(1, f(1)處的切線方程是y= x + 2,貝U f(1) + f '(1) =7. 過原點作曲線y= ex的切線，則切點的坐標為 ;切線的斜率為 .&設函數f(x)= xe"(kM0)，則曲線y= f(x)在點(0, f(0)處的切線方程是 .三、解答題：9求下列函數的導數：x3(1)y = x- e ；(2)y= x + cosx；In x(3) y=(X+ 1)(x+ 2)(x + 3);(4) y -x10.已知拋

18、物線 y= ax2 + bx+ c經過點A(1, 1), B(2,- 1),且該曲線在點B處的切線方程為y = x 3，求a、b、c的值.1 21311.求曲線y =2 x與y x -2在交點處的兩條切線的夾角的大小.2 4§ 4 2導數的應用【知識要點】1. 利用導數判斷函數的單調性：(1) 函數的單調性與其導函數的正負有如下關系：設函數 f(x)在區間(a, b)內可導， 如果恒有f '(x)>0,那么函數f(x)在區間(a, b)內單調遞增； 如果恒有f '(x) v 0,那么函數f(x)在區間(a, b)內單調遞減.值得注意的是，若函數f(x)在區間(a

19、, b)內有f '(x)A 0(或 f '(x)< 0)，但其中只有有限個點使得f '(x)= 0，則函數f(x)在區間(a, b)內仍是增函數(或減函數).(2) 一般地，如果一個函數在某一范圍內的導數的絕對值越大，說明這個函數在這個范圍內變化得快.這時函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之，函數的圖象就比較“平緩”.2. 利用導數研究函數的極值：(1) 設函數f(X)在點X0附近有定義，如果對 x0附近所有的點，都有f(x) v f(X0),就說f(X0) 是函數f(x)的一個極大值，X0是極大值點；如果對 X0附近所有的點，都有 f(x) > f

20、(X0),就說 f(X0)是函數f(x)的一個極小值，X0是極小值點.需要注意，可導函數的極值點必是導數為零的點，但導數為零的點不一定是極值 點.如y= X3在x= 0處的導數值為零，但x= 0不是函數y = x3的極值點.也就是說可導函數f(x)在 X0處的導數f '(x°) = 0是該函數在X0處取得極值的必要但不充分條件.函數f(x)在區間a, b上的最值：f(x)在區間a, b上的最大值(或最小值)是f(x)在區間 (a, b)內的極大值(或極小值)及 f(a)、f(b)中的最大者(或最小者).(4) 應注意，極值只是相對一點附近的局部性質，而最值是相對整個定義域內的

21、整體性 質.【復習要求】1了解函數單調性和導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區 間(對多項式函數一般不超過三次)；2了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小 值(對多項式函數一般不超過三次);會求閉區間上函數的最大值、最小值(對多項式函數一般 不超過三次);3會利用導數解決某些實際問題.【例題分析】例1 求下列函數的單調區間：(1)f(x) = x3 3x;(2) f(x) = 3x2 2ln x; f(x)=2x-b(x-1)2解：f(x)的定義域是 R，且f '(x) = 3x2 3, 令f '(x)= 0,得Xi = 1

22、 , X2= 1 .列表分析如下:x(8, 1)1(1, 1)1(1 , + 8)(X)+0一0+f(x)/所以函數f(x)的減區間是(一1, 1)，增區間是(一8, 1)和(1,+8 ).2f(x)的定義域是(0,+8 )，且f (x) =6x-xX(0罟)3(=嚴)3(X)一0+f(x)/令 f'(x) = 0,列表分析如下:£3<3所以函數f(x)的減區間是(0,)，增區間是(，二：).3 3(3) f(x)的定義域為(一8, 1) U (1 ,+8 )，求導數得、2(x-1)2-(2x-b) 2(x-1) -2x+2b-2 2(b-1-x)f(x)口k 右廠令

23、f'(x) = 0，得 x = b 1.當b 1v 1,即bv 2時，f'(x)的變化情況如下表:X(8, b 1)b 1(b 1, 1)(1 , + 8)廣(X)一0+一所以，當bv 2時，函數f(x)在( 8, b 1)上單調遞減，在(b 1, 1)上單調遞增，在(1,當b 1> 1,即b> 2時，f'(x)的變化情況如下表:x(8, 1)(1, b 1)b 1(b 1, + 8)(X)一+0一所以，當b>2時，f(x)在( 0, 1)上單調遞減，在(1, b 1)上單調遞增，在(b 1,+8 )上單調遞減.2 當b 1=，即b= 2時，f(x)，

24、所以f(x)在(一8, 1)上單調遞減，在(1, +x 18 )上單調遞減.【評析】 求函數f(x)的單調區間的步驟是： 確定f(x)的定義域(這一步必不可少，單調區間是定義域的子集)； 計算導數f'(x)； 求出方程f'(x)= 0的根； 列表考察f'(x)的符號，進而確定f(x)的單調區間(必要時要進行分類討論).13例2求函數y x -4x 4的極值.3解：y ' = x2 4= (x+ 2)(x 2)，令 y ' = 0,解得 x1= 2, x2= 2.列表分析如下：x(8, 2)2(2, 2)2(2, + 8)y':+0一0+y/28極

25、大值一34極小值-一3/284所以當x= 2時，y有極大值28 ;當x= 2時，y有極小值一-.33【評析】求函數f(x)的極值的步驟是： 計算導數f'(x); 求出方程f'(x)= 0的根； 列表考察f(X)= 0的根左右值的符號：如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值.例 3 已知函數 f(x) = x3+ 3x2+ 9x+ a.(1)求f(x)的單調遞減區間；若f(x)在區間2, 2上的最大值為20,求它在該區間上的最小值.解：(1)f (x)= 3/+ 6x+ 9.令 f ' (x) v 0,解得 xv 1

26、 或 x>3.所以函數f(x)的單調遞減區間為(一8, 1), (3,+8 ).(2)因為 f( 2) = 8+ 12 18+ a = 2+ a, f(2) = 8 + 12+ 18+ a= 22+ a，所以 f(2) >f( 2).因為在(1, 3)上 f'(x) >0,所以f(x)在1 , 2上單調遞增，又由于f(x)在2, 1上 單調遞減，因此f(2)和f( 1)分別是f(x)在區間2, 2上的最大值和最小值.于是有22 + a= 20,解得a = 2.故 f(x) = x3+ 3x2 + 9x 2,因此 f( 1) = 1 + 3 9 2 = 7,即函數f(x

27、)在區間2, 2上的最小值為一7.【評析】 求函數f(x)在閉區間a, b上最值的方法： 計算導數f(X)；+ 8 )上單調遞減.13 / 21 求出方程f(x)= 0的根Xi, X2,; 比較函數值f(Xi), f(X2),及f(a)、f(b)的大小，其中的最大(小)者就是f(x)在閉區間a, b上最大(小)值.例4 設f(x), g(x)分別是定義在 R上的奇函數和偶函數，當xv0時，f'(x)g(x) + f(x)g(x)>0，且g( 3) = 0,則不等式f(x)g(x) v 0的解集是()A . ( 3, 0) U (3,+ )B . ( 3, 0)U (0, 3)C.

28、 ( s, 3)U (3,+s )D . ( s, 3) U (0, 3)【分析】本題給出的信息量較大，并且還都是抽象符號函數解答時，首先要標出重要的已知條件，從這些條件入手，不斷深入研究.由f(x)g(x) + f(x)g'(x)>0你能產生什么聯想？它和積的導數公式很類似，整理可得f(x)g(x) >0.令h(x)= f(x)g(x)，則當xv 0時，h(x)是增函數.再考慮奇偶性，函數h(x)是奇函數.還有一個已知條件g( 3) = 0,進而可得h(3)= f( 3)g( 3) = 0，這樣我們就可以畫出函數h(x)的示意圖，借助直觀求解.答案：D.例5 求證：當x&

29、gt;0時，1 + xv ex.分析：不等式兩邊都是關于x的函數，且函數類型不同，故可考慮構造函數f(x)= 1 + xex,通過研究函數f(x )的單調性來輔助證明不等式.證明：構造函數 f(x) = 1 + x ex,貝U f'(x)= 1 ex.當 x> 0 時，有 ex> 1，從而 f'(x)= 1 exv 0,所以函數f(x)= 1 + x ex在(0,+s )上單調遞減，從而當 x>0 時，f(x) v f(0) = 0,即當 x>0 時，1 + xv ex.【評析】通過構造函數，利用函數的單調性證明不等式是常用方法之一，而借助導數研究函數單

30、調性輔助證明不等式突出了導數的工具性作用.例6用總長14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果容器底面的長比寬多0.5 m ,那么長和寬分別為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積.解：設容器底面長方形寬為x m,則長為(x+ 0.5)m ,依題意，容器的高為 丄14.8 -4x-4(x 0.5) =3.2 -2x4口 ex >0,顯然丿二0 v xv 1.6，即x的取值范圍是(0, 1.6).、3.2 -2x > 0,記容器的容積為y m3,則 y = x(x+ 0.5)(3.2 2x)= 2x3 + 2.2x2 + 1.6x x (0, 1.6).對此函數求導得，y&#

31、39;= 6x2 + 4.4x+ 1.6 .令 y'>0,解得 0v xv 1；令 y'v 0,解得 1 v xv 1.6.所以，當x= 1時，y取得最大值1.8,這時容器的長為1 + 0.5= 1.5.答：容器底面的長為 1.5m、寬為1m時，容器的容積最大，最大容積為1.8m3.【評析】解決實際優化問題的關鍵在于建立數學模型(目標函數)，通過把題目中的主要關系(等量和不等量關系)形式化，把實際問題抽象成數學問題，再選擇適當的方法求解.例7 已知f(x)= ax3 + cx+ d(a 0)是R上的奇函數，當 x= 1時，f(x)取得極值一2.(1) 求f(x)的解析式；

32、(2) 證明對任意 劉、( 1, 1)，不等式丨f(xj f(X2)丨< 4恒成立.【分析】對于(1)題目涉及到三個未知數，而題設中有三個獨立的條件，因此，通過解 方程組來確定參數a、c、d的值；對于(2)可通過研究函數f(x)的最值加以解決.解：由f(x)= ax3+ cx+ d(aM 0)是R上的奇函數，知 f(0) = 0,解得d= 0, 所以 f(x) = ax3 + cx(az 0), f'(x) = 3ax2 + c(a* 0).由當 x= 1 時，f(x)取得極值一2，得 f(1) = a + c=- 2,且 f'(1) = 3a+ c= 0，解得a 1 ，

33、 c 3，所以 f(x) = x3- 3x.令 f' (x)>0,解得 xv 1，或 x> 1 ;令 f' (x)v 0，解得1 vxv 1,從而函數f(x)在區間(一a， 1)內為增函數，(一1， 1)內為減函數，在(1，+ )內為增 函數.故當x 1，1時，f(x)的最大值是f( 1) = 2,最小值是f(1) = 2，所以，對任意 X1、X2 ( 1, 1), |f(X1) f(X2)|V 2 ( 2) = 4.【評析】使用導數判斷函數的單調性，進而解決極值(最值)問題是常用方法，較為簡便. 例8 已知函數f(x) = xlnx.(1) 求f(x)的最小值；(

34、2) 若對所有x> 1都有f(x)> ax 1,求實數a的取值范圍. 解：(1)f(x)的定義域為(0,+ ), f(x)的導數 f'(x)= 1 + lnx.11令 f'(x) > 0，解得 x ; 令 f'(x) v 0,解得 0 ： x ：.ee11從而f(x)在(0, )單調遞減，在(-，=)單調遞增.ee11所以，當x 時，f(x)取得最小值-.ee(2)解法一：令 g(x) = f(x) (ax 1)，則 g'(x)= f'(x) a = 1 a + lnx, 若 a< 1,當 x> 1 時，g'(x)=

35、 1 a+ lnx> 1 a> 0,故g(x)在(1 ,+a )上為增函數，所以，x> 1 時，g(x)>g(1) = 1 a>0，即 f(x)ax 1. 若a> 1,方程g'(x)= 0的根為x0= ea 1,此時，若x (1 , x°),則g(x)v 0，故g(x)在該區間為減函數.所以，x (1,創時，g(x)v g(1) = 1 av0,即f(x) v ax 1，與題設f(x) >ax 1相矛盾.綜上，滿足條件的a的取值范圍是(一a, 1.解法二：依題意，得 f(x) >ax 1在1 ,+a )上恒成立，1即不等式a二I

36、n x 對于x 1 ,+a )恒成立.x1 111 1令 g(x) =l nx ，則 g (x)2(1).xxx x x11當 x> 1 時，因為 g (x)(1 -)0 ,xx故g(x)是(1 ,+a )上的增函數，所以g(x)的最小值是g(1) = 1,從而a的取值范圍是( a, 1.1 *例9已知函數f (x)n ' aln(x -1)，其中n N , a為常數.(1-x)(1) 當n = 2時，求函數f(x)的極值；(2) 當a = 1時，證明：對任意的正整數n,當x>2時，有f(x)< x 1.19 / 21解：(1)由已知得函數f(x)的定義域為X I x

37、> 1,當n = 2時,1小口 5(一1)，所以f'(x)=22_a(1 _x)(1xp當a> 0時,由 f(x)= 0 得捲=1 + J2 >1,x2 =1 F <1 , a a此時f (x)=(1-x)3當 x (1 , X1)時，f(x) V 0, f(x)單調遞減； 當 x (X1f(x)單調遞增.當a< 0, f'(x)v 0恒成立，所以f(x)無極值. 綜上所述，n = 2時，當a > 0時,f(x)在 X =1 -處取得極小值，極小值為a2 a 2f(1 匸了1"才.當a w 0時，f(x)無極值.證法一：因為a =

38、1,所以f(x) J - ln(x-1).(1x)1當 n 為偶數時，令 g(x)=x-1 -In(x-1),(1X)則 g (X) -1nn -1(X -1)x -1x -2x -1(X-1)m 0(2)-所以當x>2時，g(x)單調遞增，又g(2)= 0,1因此 g(x) = x -1n 一"(x -1) _ g(2) = 0恒成立,(x-1)所以f(x) w x- 1成立.當n為奇數時，要證f(x) w X- 1,由于 J：0，所以只需證In (x- 1)w x- 1,(1 x)令 h(x) = x- 1-In(x- 1),1x 2則 h(x)_0(x 2).x 1x 1

39、所以，當 x>2 時，h(x)= x- 1-In(x- 1)單調遞增，又 h(2) = 1>0,所以，當x>2時，恒有h(x)>0,即卩In(x-1)vx 1成立.綜上所述，結論成立.1證法二：當a= 1時，f聽冇ln(x"當x>2時，對任意的正整數n,恒有(1-x)n<1,故只需證明1 + In (x 1) < x- 1.令 h(x) = x 1 1 + In(x 1) = x 2 In(x 1), x 2 ,+ ),則 h(x) =1 1x -1x -2x -1，當x>2時，h'(x) >0,故h(x)在2 ,+s )

40、上單調遞增,因此當 x> 2 時，h(x)> h(2) = 0，即 1 + In(x 1)< x 1 成立.1故當 x>2 時，有+ In(x 1)蘭x 1 ,(1-x)n即 f(x) w x 1 .一、選擇題：1. 函數 y= 1 + 3x x3 有()(A) 極小值2，極大值2(C)極小值1，極大值12. f '(x)是函數y= f(x)的導函數,練習4 2(B)極小值2,極大值3(D)極小值1,極大值3y= f '(x)圖象如圖所示，則 y= f(x)的圖象最有可能是()孑1 (D) a -3a的取值范圍是(1(D) ae3. 函數f(x) = a

41、x3 x在R上為減函數，則a的取值范圍是(1(A) av 0(B) aw 0(C) a :34設a R，若函數f(x)= ex+ ax, x R有大于零的極值點，則1(A) av 1(B)a> 1(C) a <e二、填空題：5 .函數 f(x) = x3 3ax2 + 2bx 在 x= 1 處取得極小值1，貝V a+ b =.6. 函數y= x(1 x2)在0 , 1上的最大值為 .7. 已知函數f(x)= 2x3 6/+ a在2, 2上的最小值為一37,則實數a =.&有一塊邊長為 6m的正方形鐵板，現從鐵板的四個角各截去一個相同的小正方形，做成一個長方體形的無蓋容器，為

42、使其容積最大，截下的小正方形邊長為m .三、解答題：9. 已知函數f(x)= x3+ ax2+ bx(a, b R)的圖象過點P(1, 2),且在點P處的切線斜率為 8. (1)求a, b的值；(2)求函數f(x)的單調區間；(3) 求函數f(x)在區間1,1上的最大值與最小值.n10. 當 x 三(0,)時，證明：tanx>x.2xx11. 已知函數f(x)= e e .(1)證明：f(x)的導數 f '(x) > 2;若對所有x> 0都有f(x)> ax,求a的取值范圍.§ 4 3定積分與微積分基本定理【知識要點】1.曲邊梯形的面積與定積分：(1)

43、定積分定義：設函數 y= f(x)定義在區間a, b上.用分點a= xo<x1<x?vv xn-1 < xn= b把區間a, b分為n個小區間，其長度依次為l xi =為+1 Xi, i = 0, 1, 2,，n 1.記為這些小區間長度的最大者.當趨近于0時，所有的小區間的長度都趨近于0.在每個n -1小區間內任取一點 E i,作和式Sn =為f( i) 八“.當 t0時，如果和式的極限存在，我i =0b們把和式Sn的極限叫做函數f(x)在區間a , b上的定積分，記作a f (x)dx ,即b.f(x)dx =lim v f ( JX .其中f(x)叫做被積函數，a叫做積分

44、下限，b叫做積分上限， a')0iz0此時稱函數f(x)在區間a, b上可積.(2)定積分性質：定積分有三條主要的性質：bb kf(x)dx=k f(x)dx (k 為常數)；a' abbb J f(x) 士g(x)dx = J f(x)dx士 f g(x)dx ；aaabcb f (x)dx = j f (x)dx 亠 I f (x)dx(a ： c b).aac說明：性質對于有限個函數(兩個以上)也成立；性質對于把區間a,b分成有限個(兩 個以上)區間也成立.b在定積分的定義中，f(x)dx限定下限小于上限，即 av b .為了計算方便，我們把定a積分的定義擴展，使下限不一

45、定小于上限，并規定:abb f (x)dx f (x)dx.(3) 幾種典型的曲邊梯形面積的計算方法: 由三條直線x= a, x= b(av b), x軸，一條曲線 y= f(x)(f(x)0)圍成的曲邊梯形的面b積 S = i f (x)dx. 由三條直線x= a, x= b(av b), x軸，一條曲線 y= f(x)(f(x)< 0)圍成的曲邊梯形的面bb積f (x)dx = _ t f (x)dx. 由兩條直線 x= a, x= b(av b),兩條曲線 y = f(x), y= g(x)(f(x)>g(x)圍成的平面圖形b的面積 Sf(x) _g(x)dx. 由三條直線x

46、= a, x = b(av b), x軸，一條曲線y = f(x)圍成的曲邊梯形的面積cbS f (x)dx - f (x)dx，即在區間a, b上，f(x)有正有負，求曲邊梯形的面積時應分段 aC計算.2 .微積分基本定理：如果 F'(x) = f(x),且f(x)在a , b上可積，則ab f (x)dx=F(b) -F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一個原函數.原函數在a, b上的改變量F(b)-F(a)簡記作F(x)|：，因此微積分基本定理可以寫成abb f(x)dx = F(x),F(b)-F(a).【復習要求】1了解定積分的概念；2了解微積分基本定理的含義.【例題分析】例

47、1計算下列定積分：(1) ；x2dx ;n(2) sinxdx ；%n2 (3x - sin x)dx ；01 2(5) (ax bx c)dx ；(1) fx2dx = 1 x3 £= 8 . 033解:n0 sin xdx = -cosx |0n = -cos n9 = ln x I3 = In 3 -1 .e xcosO = 2 .2 n(sinxcosx)dx.nn 2323 n 2(3xsin x)dx=( x cosx) |o1 .028).2丄，丄、,a 3丄b 2丄 、1 a丄b(5) (ax bx c)dx = ( x . x ex) 1c.032322 n2 n(

48、6) J (sinx cosx)dx = ( cosx sinx)-2 .L n225 / 21b【評析】 求 f(x)dx 般分為兩步：求 f(x)的原函數F(x);計算F(b) F(a)的值,對于求較復雜函數的定積分還要依據定積分的性質.例2計算下列定積分：1 Jx|dx ；設 f (x)遠 X3 求 ff(x)dx gosx-1, x>0.解:(1) ：|xdx =2 :xdx =2 £x2l01 J(x)dx 二0 2 1x3x dx 亠 i (cosx -1)dx 30 1|j (sin x-x)|o = sin1-a【評析】設f(x)在區間a , a上連續，則f (

49、x)是偶函數時，f (x)dx =.aaa2of(x)dx;f(x) 是dx 二 0.當f(x)是分段函數時，求積分應分段進行.例3求曲線y= ex, y= e x及直線x= 1所圍成圖形的面積.解：兩條曲線y= ex, y = e x的交點為(0, 1),1 彳 彳 故所求面積 S = o (ex -e)dx 二(ex e")|0=e eJ - 2.例4過原點的直線I與拋物線y= x2 2ax(a>0)所圍成圖形的面積為 -a3，求直線l的2方程.解：設直線l的方程為y= kx,將其代入y= x2 2ax(a>0)，解得x= 0或x= 2a+ k.當2a + k>

50、 0時，所求面積為Ja k(kx-x2 2ax)dx=(丁 x23 x 32a0(2a k)36= 9a3，解得2k= a,此時直線l的方程為y= ax.)|；a k當2a + k v 0時，所求面積為° (kx -x2 2ax)dx 二(亙上 x22a "k2(2a k)36(2a k)3693a，解得k= 5a,此時直線l的方程為y= 5ax.習題4一、選擇題：1曲線y= ex在點(1, e)處導數為()(A)1(B)e(C) 1(D) e2 .曲線y= x3 2x+ 4在點(1, 3)處切線的傾斜角為()(A)30 °(B)45 °(C)60 &#

51、176;(D)120 °3.函數f(x)的定義域為開區間(a, b),導函數f '(x)在(a, b)內的圖象如圖所示，則函數 f(x) 在開區間(a，b)內有極小值點()(A)1 個(C)3 個f '(x)g(x) f(x)g '(x)v 0，則當 av x(A)f(x)g(x)> f(b)g(b)(B) f(x)g(a) > f(a)g(x)(C) f(x)g(b)> f(b)g(x)6. 設曲線y= ax?在點(1 ,a)處的切線與直線(D) f(x)g(x) > f(a)g(a)2x y 6= 0 平行，則 a=4.函數f(x)

52、 = xlnx的最小值是()(A)e(B) e1(C)e(D) e5.設f(x)、g(x)是定義域為R的恒大于零的可導函數，且v b時，一定有()7. 如圖，函數f(x)的圖象是折線段 ABC，其中A, B, C的坐標分別為(0, 4), (2, 0), (6,4)，則函數f(x)在x= 1處的導數f'(1) =&函數y= 2x3 3x2 12x+ 5在0, 3上的最大值是 ;最小值是 .9. 設a R,函數f(x) = x3 + ax2 + (a 3)x的導函數是f '(x),若f '(x)是偶函數，則曲線y= f(x) 在原點處的切線方程為 .10. 拋物線

53、y= x2 x與x軸所圍成封閉圖形的面積是 .三、解答題：kx11. 設函數 f(x) = xe (kM 0).(1)求函數f(x)的單調區間；若函數f(x)在區間(1, 1)內單調遞增，求k的取值范圍.12. 設函數f(x)= 2x3 + 3ax2 + 3bx+ 8c在x= 1及x = 2時取得極值.(1)求a, b的值；2若對于任意的x 0 , 3,都有f(x)v c成立，求c的取值范圍.113. 設 a>0,函數 f (x) =(x2 -x)eax .a(1) 當a = 2時，求函數f(x)的單調區間；(2) 若不等式f (x) - _ 0對任意實數x恒成立，求a的取值范圍.a214. 已知函數 f(x)= In(x+ a)+ x .(1)若當x=- 1時，f(x)取得極值，求a的值，并討論f(x)的單調性；若f(x)存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于In -.2專題四導數參考答案練習4 1一、選擇題：I. C 2. B 3. B 4. D二、填空題：5. 36. 47. (1, e); e 8