1、第二章無理數（1）導學案【學習目標】：通過拼圖活動感受無理數產生的實際背景和引入的必要性【學習重點】：如何說明一個數是有理數【學習難點】：對有理數不夠用的理解【學習過程】：學習準備：1. 有理數的概念：-和-，統稱為有理數2. 數的分類： 正整數 如- 整數 零 負整數 如- 有理數 正分數 如- 分數 負分數 如-也可以這樣分類： - 如1，2.5有理數 - - 如-2，-3.5， 練習：把下列各有理數填在相應的大括號里 12，-3，+1，-1.5，0，0.2， ， 正數：（ ） 負數：（ ）整數：（ ） 分數：（ ）正分數：（ ） 負分數：（ ）解讀教材：閱讀教材第86頁3. 活動做兩個邊

2、長為1分米的小正方形，剪一剪，拼一拼，你能得到一個大正方形嗎？畫出你的做法：設大正方形的邊長為a分米，a滿足的條件為（ ）a是整數嗎？（ ），理由：-a是分數嗎？（ ），理由：-a是有理數嗎？（ ），理由：-總結：在現實生活中，存在著既不是整數又不是分數的數，也就是存在著不是（ ）的數即時練習：將上述活動中的小正方形的邊長變為2分米，大正方形的邊長是有理數嗎？為什么？ （ ）挖掘教材：4. 如下圖，正方形ABCD的面積為（ ） 設它的邊長為b,則b滿足的條件為（ ）b是有理數嗎（ ）21ABCD即時練習： 如下圖，正三角形ABC的邊長為2，高為h,則h滿足的條件為（ ） h是有理數嗎？（ ）2

3、ABCh反思小結：5. 現實生活中，除了有理數之外，還存在著不是有理數的數，如：-，-達標檢測：6. 長、寬分別為3、2的長方形，它的對角線的長可能是整數嗎？（ ）可能是分數嗎？ （ ）7. 下圖是4個邊長為1的正方形拼成的，任意連接這些小正方形的若干個頂點，可得到一些線段。請寫出2條長度是有理數的線段：-、-請寫出2條長度不是有理數的線段：-、-8. 請在方格紙上按照如下要求設計直角三角形并用字母表示：（1）使一邊邊長不是有理數（2）使兩邊邊長不是有理數（3）使三邊邊長不是有理數資源鏈接：畢達哥拉斯學派是以古希臘哲學家、數學家、天文學家畢達哥拉斯（約前580-約前500）為代表人物的一個學派

4、。畢達哥拉斯學派有一個信條：一切現象都可以用有理數去描述。公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的一個成員希伯索斯發現邊長為1的正方形的對角線不能用有理數來表示。這個發現動搖了畢達哥拉斯學派的信條，引起了信徒們的恐慌。據說，希伯索斯為此被投入了大海，他為發現真理而獻出了寶貴的生命。但真理是不可戰勝的，后來，古希臘人終于正視了希伯索斯的發現，并進一步給出了證明。【學習課題】：§2.1認識無理數（2）【學習目標】：1.借助計算器探索無理數是無限不循環小數，并從中體會無限逼近的思想2.會判斷一個數是有理數還是無理數【學習重點】：1.無理數概念的理解 2.無理數的判斷【學習難點】：無理數的估算【學習過

5、程】：學習準備：1.整數可以表示成（ ）限小數如：3可以表示成小數3.02.分數可以表示成（ ）限小數或（ ）限（ ）小數如：可以表示成小數0.5 可以表示成小數 總結： 有理數總可以表示成（ ）限小數或（ ）限（ ）小數 練習：把下列各數表示成小數2=（ ） =（ ） =（ ） =（ ）解讀教材：閱讀教材第34-36頁3.面積為2的正方形的邊長a是多少？分析：由下圖可知面積為1面積為4面積為211aa22面積：1 < 2< 4邊長：( )<a<( ) 借助計算器探索a的整數部分、十分位、百分位分別是幾？完成下列表格： 問：邊長a會不會算到某一位時，它的平方恰好等于2呢

6、？答：假設a算到某一位時，它的平方恰好等于2，這時a是一個有限小數，那么它的平方一定也是一個（ ）限小數，而不可能是2，這與假設矛盾，故假設不成立。 所以a不可能是（ ）限小數。 所以還可以繼續算下去，而且不循環，即 a是一個（ ）限（ ）小數，a=1.41421356挖掘教材：4.借助計算器估計面積為5的正方形的邊長b的值 故b精確到十分位為（ ） 精確到百分位為（ ）事實上，b也是一個（ ）限（ ）小數，b=2.236067978即時練習： 借助計算器估計體積為2的正方體的棱長c=( )5.無限不循環小數叫做（ ） 如上面的數a,b,c =3.14159265是一個無限不循環小數，因此是一

7、個（ ）理數 0.585885888588885（相鄰的兩個5之間8的個數逐次加1）是一個（ ）限（ ）小數，因此是一個無理數即時練習： 你能找到其它的無理數嗎？你能舉出一些有關無理數的實例嗎？6.下面各數中，哪些是無理數？哪些是有理數？(1)=3.14159265(2)=1.41421（3）1.21021002100021（相鄰的兩個21之間0的個數逐次加1）（4）是無限循環小數（4）0.=0.575757（5）=2 （4） 是有理數，（1）、（2）、（3）、（5）是無理數即時練習： 下面各數中，哪些是無理數？哪些是有理數？（1）、（2）、（3）、（5）是無限不循環小數(1)3.14(2)

8、(3) 0.1010001000001（相鄰的兩個1之間0的個數逐次加2） 是有理數， 是無理數反思小結：7.我們可借助計算器對無理數進行估算，并且在判斷一個數是無理數還是有理數時須明確：(1)（ ）限小數或（ ）限循環小數是有理數 (2)（ ）限不循環小數是無理數【達標檢測】：8.下面各數中，哪些是無理數？哪些是有理數？(1)0.4583(2) 3.(3)(4)(5)18 是有理數， 是無理數11111【資源鏈接】：你能發現右圖中各Rt三角形斜邊的規律嗎？ 【學習課題】 §2.2平方根（一）【學習目標】1、了解算術平方根的概念。 2、會用根號表示一個數的算術平方根。 3、培養自主學

9、習、合作交流、探索發現的學習方式【學習重點】了解算術平方根的概念和性質。【學習難點】對算術平方根意義的理解。【學習過程】一、學習準備：1、閱讀教材P26二、解讀教材（一）導入1、我們學了加減乘除四則運算，知道加法的逆運算是 、乘法的逆運算是 ，乘方有逆運算嗎？如果有是什么運算？2、小穎家客廳是面積為64平方分米的正方形，這個正方形客廳的邊長是多少？解答：設正方形客廳的邊長為x分米，則可得方程： ，因為x>0，所以x= .3、思考：問題2可以歸結為“已知一個數的平方,求這個數”嗎？（二）、解讀教材：平方根1、算術平方根概念閱讀教材P26完成填空（1）已知一個正數x的平方等于a,即x2=a（

10、a>0），那么這個正數x叫做a的 ，記為“”，讀作“根號a”，此符號“”讀作 ，與 x的關系是 x （填 ，），即() =a.（2） “0”的算術平方根是 ，即=。（）1= ，“1”的算術平方根是 ，即=。2、求一個正數的算術平方根閱讀教材26例1完成填空【說明】（1）的意義是什么？  = 的意義是什么？=    的意義是什么？= 計算： =_; =_  =_;  =_; =_3、例題解析例：自由下落物體下落的距離s（米）與下落時間t(秒)的關系為s=4.9t.有一鐵球從19.6米高的建筑物上自由下落，到達地面需要多長時間？（1

11、） 在此題的計算過程中我們將“t”看著整體，先求出“t”的值，再求“t”的值。（2） 在此題中“t”表示的是時間，因此“t”必須為正數。解：s=19.6代入公式s=4.9·t得：19.6=4.9·tt=4t=t=2答：鐵球到達地面需要2秒。三、挖掘教材： 一個負數有算術平方根嗎？即（a0）= ？ 四、反思小結：1、什么叫著算術平方根，你記住了嗎？2、“”表示什么意義？3、中的“a”取值范圍？【達標檢測】1、 求下列各數的算術平方根：81，36，17，0.81，10.2、 小穎家客廳是面積是64平方米，客廳地面正好由100塊大小完全一樣的正方形地磚鋪成，每塊地磚邊長是多少米？

12、解：【資源鏈接】“”的算數平方根因為2=4, 所以=2;3=9所以=3；等于多少？因為9>5>4, 所以2>>3, 的值是一個大于2且小于3的無限不循環小數因此我們在計算時一般不計算出它的值,即“”的算術平方根就是“ ”。【學習課題】 §2.2 平方根（二）【學習內容】 平方根【學習目標】1.平方根的概念； 2.會進行有關平方根的計算； 3.理解算術平方根與平方根的聯系與區別。 【學習重點】平方根的概念和性質。【學習難點】對平方根定義的理解。【學習過程】一、課前準備：1、算術平方根的概念2、閱讀教材P27-28二、解讀教材：（一）導入1、=4， 也就是4= 。

13、還有其他的數的平方等于16嗎？2、平方等于的數有幾個？平方等于0.81的有幾個？（二）平方根的有關概念請結合教材內容，完成以下內容：1.如果一個數x的平方等于a，即x=a，那么這個數x就叫做a的 或叫做 。2.求一個數a的平方根的運算，叫做 ，其中a叫做 。三、挖掘教材：議一議1.一個正數有幾個平方根？因為：（1）（+4）= ，（-4）= ，“16”的平方根有 、 ；（2）（+）= ，（-）= ，“ ”的平方根有 、 ；（3）（+0.9）= ，（-0.9）= ，“0.81”的平方根有 、 ；所以： 正數a有 （幾個） 平方根，一個是a的 ，另一個是“ ”，它們互為 。這兩個平方根合起來可以記作

14、“ ”，讀作“ ”。2.“0”有幾個平方根 -= ，+= ，因此“0”有 （幾個）平方根，它是 ;3.負數有沒有平方根,即一個數的平方可能為負數嗎？（+2）= ，0= ，（-2）= ，其他的數呢？因此， （有或沒有）一個數的平方為負數，即負數沒有平方根。4.（1）（）= ；（2）（）= ；（3）（）= ；（4）對于正數a 即a>0,（）= ； 四、反思拓展：1、平方根的有關概念：平方根、開平方？2、正數、0、負數關于平方根有什么性質？3、平方根與算術平方根有什么區別？填表并分析平方根與算術平方根的區別與聯系 81049121（-0.25）211a（a0）361289算術平方根平方根兩者的

15、區別與聯系是 【達標檢測】1、求下列各數的平方根： 1.44，0，8，441，196，102、填空（1）25的平方根是 ；（2） = ； （3）()= .【資源鏈接】乘方的逆運算 二次乘方與開平方互為逆運算。【學習課題】 §2.3 立方根【學習目標】1、了解立方根的概念，會用根號表示一個數的立方根。 2、能運用立方運算求某些數的立方根，了解開立方與立方根互為逆運算。【學習重點】立方根概念的理解。【學習難點】立方根的計算。【學習過程】學習準備： = = = = = = 解讀教材：1、如果一個數的立方等于，即 ，那么這個數叫做的 ，記作 。注意，根指數“3”不能省略。2、正數有 個正的立

16、方根，零的立方根是 ，負數有 個負的立方根。3、求一個數的 的運算叫做開立方。4、計算中常用的公式：= ， = 。挖掘教材：1、求下列各數的立方根。-64 0.216 0 1000 4 -9解:= = = = = = = .方法小結： （1）由于開立方運算與立方運算互為 運算，熟記常用的立方運算十分有益。 （2）中的是有理數的立方時，開立方的結果為 ，結果不帶根號，當不是有理數的立方時，結果不是 ，如。2、求下列各式的值：= ， = ，= = ， = ， = 分析：用公式=或=，求解較為簡便。即時練習：求下列各數的立方根。0.001 -1 8000 -512 問題思考:1、一個數總有平方根嗎？

17、總有立方根嗎？2、一個正方體邊長變為原來的2倍，體積變為幾倍？體積變為變來的27倍，邊長變為原來的幾倍？1000倍呢？達標檢測：一、填空：1、64的平方根是 ，立方根是 。2、-0.001的立方根是 , 25的立方根是 .3、已知一個數的立方是-0.027，則這個數為 。4、立方根等于它本身的數是 。二、判斷1、一個數的立方根有兩個，它們互為相反數。 （ ）2、負數沒有立方根。 （ ）3、一個數的立方根與這個數同號。 （ ） 4、如果一個數有立方根，則它一定有平方根。 （ ）5、是27的立方根。 （ ）6、=。 （ ）7、互為相反數的兩數的立方根互為相反數。 （ ）三、求下列各數的立方根-0.

18、008 100 【資源鏈接】1、求下列各式中的。 2、若，求的立方根。【學習課題】： §2.4 估算【學習目標】：能通過估算檢驗計算結果的合理性，能估計一個無理數的大致范圍，并能通過估算比較兩個數的大小。【學習重點】：掌握無理數估算的方法。【學習難點】：掌握無理數估算的方法，并能比較兩個數的大小。【學習過程】：學習準備：（）2= （a0），（）3= （a為任意實數）解讀教材：1 完成下列空格：某地開辟了一塊長方形的荒地，新建一個以環保為主題的公園。已知這塊荒地的長是寬的2倍，它的面積為400000米2。（1） 公園的寬大約是多少？它有1000米嗎？（2） 如果要求誤差小于10米，它的

19、寬大約是多少？解：設公園的寬為x米，則有x2=200000 ( )2 = 160000 < 200000 < 50024402= , 4502= < x < 誤差小于10米 注意：誤差小于10米是指估算到十位。 x應為 或 。（3） 該公園中心有一個圓形花圃，它的面積是800米2，你能估計它的半徑嗎？（誤差小于1米）解：設圓形花圃的半徑為R米，則R2=800，R2 254.7152= ，162 = < R < 誤差小于1 注意：誤差小于1是指估算到個位。 R應為 或 。練習1：下列計算結果是否正確，說明判斷理由？ 0.066 96 60.4 0.6挖掘教材：

20、2 估算下列數的大小：（1） （誤差小于1）解： 93= ，103 < < 或 。（2） （誤差小于0.1）解： 32= ，42= < < 3.62= ，3.72= < < 或 。3 比較下列數的大小與7.5解： （）2= ，7.52= 注意：將兩數平方后比較大小 7.5 （填 < 或）4生活經驗表明，靠墻擺放梯子時，若梯子底端離墻的距離約為梯子長度的，則梯子比較穩定。現有一長度為6米的梯子，當梯子穩定擺放時，它的頂端能達到5.6米高的墻頭嗎？ 練習2：比較下列各組數的大小： 2.5 -1 2 反思小結：5.估算無理數的方法是： 通過平方（立方）運算采

21、用“夾逼法”，確定其值所在的范圍。 根據問題中，誤差允許的范圍內取出近似值。6“誤差小于”與“精確到”意義不同。如：精確到1米是四舍五入到個位，答案只有一個。本章中誤差小于1米，就是估算到個位，誤差小于10米，就是估算到十位，答案不惟一。達標檢測：1 下列各題估算結果正確的是（ ）A 0.059 B. 2.6C. 35.1 D. 299.62估算下列數的大小。（誤差小于1）（誤差小于0.1）（精確到個位）2 比較下列各組數的大小 與 與 擴展：1.大于-且小于的整數有 。2.比較三個數：2.45，的大小？【學習課題】 §2.6 實數【學習目標】1.了解無理數和實數的意義。 2.了解實

22、數與數軸上的點成一 一對應關系。3.掌握實數性質和實數的絕對值。【學習重點】會按兩種標準對實數進行分類；會求一個實數的相反數和絕對值。【學習難點】實數的分類。【學習過程】 學習準備1、 有理數包括 和 。2、任何一個有理數都可以寫成 或者 小數的形式。3、任何有限小數或循環小數都是 。4、有理數的分類：（1）按定義分類: （2）按大小分類： 有理數 有理數5、無理數：無限不循環小數叫做 .無理數的小數位數是 ，而且是不 。解讀教材1、（自學教科書38-39內容，并回答以下問題） （1）我們所學的數的范圍擴大到了 范圍。（2）_和_統稱實數,數軸上的點與_一一對應.2、a是一個實數，它的相反數為

23、 ，絕對值為 ；如果a0,那么它的倒數為 即時練習1、下列各數中:1914526，0, _是有理數, _是無理數?挖掘教材例1:把下列各數寫出相應的集合內:,0.259,0,0.325325325,-4.313313331.思路點撥：無理數幾種常見的類型：（1）無限不循環小數；（2）及含的數；（3）有規律但不循環的無限小數；（4）帶根號但開方開不盡的方根。解：（1）正實數集合 ;（2）負實數集合 ;（3）有理數集合 ;（4）無理數集合 .例2：求下列的各數的相反數及絕對值:（1） （2）3 例3：求下列各式中的實數x （1）|x|=； （2）|x|=即時練習1、把1.414, , ， 0。分別

24、填入相應的括號中:分數: ;整數: ;負數: ;正數: ;有理數: ;無理數: 2、下列說法中正確的有（填序號）_.（1）無限小數都是無理數; （2）無理數都是無限小數; （3）有理數都是有限小數. （4）帶根號的數都是無理數.（5）不帶根號的數都是有理數. （6）無理數就是開方開不盡的數.（7）開方開不盡的數是無理數. （8）數軸上所有的點都表示實數;（9）0的相反數,倒數,絕對值都是0; （10）0是最小的實數;（11）0與都是無理數. （12）實數包括有限小數和無限小數.3、 若|X-|=，則x= .4、在數軸上與原點距離為的點所表示的數是 。【反思拓展】1、無理數幾種常見的類型：(1)

25、 (2) (3) (4) 2、 （）即:一個正實數的絕對值是 ；一個負實數的絕對值是 ；0的絕對值是 。3、實數包括 和 。【達標檢測】1、 選擇題：（1）絕對值和算數平方根都等于本身的數是（ ） A.1或-1 B. 1或0 C.-1或0 D1、-1、0 （2）下列各組數中，互為相反數的是（ ） A.-2與 B.-2與 C.-2與 D.|-2|與22、-的相反數是 ，絕對值是 。3、|x-1|=,則x= .4、已知a、b是實數，且+（3b-2)=0.求實數a+b的相反數的倒數的值。【資源鏈接】1、若數軸上表示x的點在原點的右邊，則化簡|3x+|的結果是（ ）A.-4x B.4x C.1-2X

26、D.2x2、已知：是的整數部分，是的小數部分，求的平方根。【學習課題】 §2.7 二次根式（1） 【學習目標】1、理解二次根式的意義，以及它的性質 。 2、會用不等式求二次根式的被開方數中字母的取值范圍。 【學習重點】1、二次根式的意義【學習難點】1、二次根式有意義的條件；2、與的區別與聯系.【學習過程】學習準備1、如果，那么叫做的 。 2、一個正數有 個平方根，其中正數的正的平方根，也叫做的 ，記作 ，如：5的算數平方根記作 。解讀教材1、二次根式的定義：式子()叫做二次根式。如：、等都是二次根式。理解二次根式的定義應把握兩點（1）含有二次根號“”；（2）字母可以表示數也可以表示代

27、數式，但是它們必須是非負數，否則無意義。 即時練習：（1）、判斷下列根式是否是二次根式： ； 分析：判定一個式子是否是二次根式，主要觀察兩方面，第一，被開方數是否非負；第二，是否有二次根號。2、當 時有意義；當 時無意義。 即時練習： 是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？（1） （2） （3）解（1）：要使有意義，則X-30 即X3. （2）： （3）：3、形如b（0）的式子，也叫二次根式，它表示b與的乘積。如：2表示2×，表示×。特別提醒：如果b為帶分數必須寫成假分數的形式.如1×應寫成，而不能寫成1.4、因為（a0）表示a的算數平方根，當然也是a的平方

28、根，根據平方根的定義， 。所以 即時練習1、是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？ （1） （2） （3） （4）2、計算（1） （2） （3）（4） （5） 3、已知，求的平方根和立方根。【反思拓展】1、 二次根式（），它表示一個 的算數平方根，因此它一定是 ，也就是說，式子，包含兩個非負數（1）被開方數 ，即；（2）本身 ，即 02、 表示的 的平方，因此只有在 時，它才有意義。而表示的是的 ，因為無論為任何實數，都是 數，所以總是有意義的。由此可見，只有當 時，才有= 。【達標檢測】1、是怎樣的實數時,下列各式在實數范圍內有意義?（1） （2） （3） （4） （5） （6）2、計

29、算:（1） （2） （3） （4） （5） 3、化簡:4、 若求的值.【資源鏈接】若的小數部分為的小數部分為b，求的值。分析： 一個數的小數部分是指去掉整數部分后所余的大于0而小于1的部分.【學習課題】 §2.7 二次根式（2） 【學習目標】1、理解積的算術平方根的性質，并會用這一性質化簡被開方數不含分母的二次根式； 2、能用類比的方法去解決問題，找規律，用舊知識去探索新知識。 3、會進行簡單的二次根式的乘法運算。 【學習重點】1、非負數的積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積。 2、(a0,b0)【學習難點】理解式子 并運用它化簡被開方數含字母的二次根式； 【學習過程】 學習準備（1）,（2）從計算結果中你發現了什么規律?請用式子表達出來.2、式子:對不對?不對,請說明理由.3.計算: 從計算結果中你發現了什么規律?請用式子表達出來. 解讀教材1、 （1）= 成立的條件是_;=成立的條件是 。 （2） 成立的條件是_ 。2、化簡（1） （2） （3） （4） （5） （6）3、計 算 （1） （2） （3） （4） （5）即時練習 1、填空: 成立的條件是_.2、化簡:（1） （2） （3） 3、化簡: （1） （2） （3） （4） （ ） 挖掘教材例：如果正方形的邊長是,面積是,（1）如果=180,求; （2）如果=242,求;解：(1)