1、ABAB數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章勾股定理【題型一】勾股定理的驗(yàn)證與證明1. 如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是 1，圖中三個(gè)正方形的面積分別是S1、S3，則它們的面積關(guān)系是 ，直角 ABC的三邊的關(guān)系是.參考答案：用數(shù)方格的方法或用面積公式計(jì)算三個(gè)正方形面積，得出S1+S2 = S3,從而得到：AB 2+BC 2 = AC2.2. 如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是 1 ,圖中三個(gè)正方形的面積分別是Si、S2S3，則它們的面積關(guān)系是 ，直角 ABC的三邊的關(guān)系是.參考答案：對(duì)于 S3顯然用數(shù)方格的方法不合適，利用“相減法”或“相 加法”用面積公式計(jì)算三個(gè)正方形面積，得出Si+S 2 = S3，從而得到： AB

2、2+BC 2 = AC 2.3. 如圖，是由四個(gè)全等的 Rt 拼成的圖形，你能用它證明勾股定理嗎? 參考答案：由 S大正方形=4S Rt厶+S小正方形，得2 1 2c = 4 x - ab+(b a)2 2 亠 2 2 a +b = c .4. 如圖，是由四個(gè)全等的Rt 拼成的圖形，你能用它證明勾股定理嗎?參考答案：由 S大正方形=4S Rt厶+S小正方形，得2 1 2 (a+b) = 4 x ab+c 2.222 a +b = c .5. 如圖，已知/ A =Z B = 90 °且厶AED BCE , A、E、B在同一直線上.根據(jù)此圖證明勾股定理參考答案：先證明 DCE是等腰直角三

3、角形，再根據(jù)梯形面積為三 個(gè)三角形面積之和得1 2 1 1 2 （a+b） = 2 x ab+ c ,2 2 2/. a2+b2 = c2.6. 如圖，一個(gè)直立的火柴盒倒下來就可以證明勾股定理，請(qǐng)你根據(jù)圖形，設(shè)計(jì)一種證明方法參考答案：方法類似第5題.7. （2011溫州）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1 1 ）.圖12由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成.記圖12中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為 S1, S2, S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是 .10參考答案：一38. （2010湖北孝

4、感）cba廠b問題情境勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種 證明方法，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利 用面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出 把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球， 作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談 話”的語言。定理表述請(qǐng)你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號(hào)語言敘述）；嘗試證明以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以 a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖 2），請(qǐng)你利用圖2，驗(yàn)證勾股定理;知識(shí)拓展利用圖2中的直角梯形，我們可以證明2c其證明步驟如下:BC a b, AD又在直角梯形ABCD中有BCAD （填大小關(guān)系），即,2.參考答案：定理表述

5、c22 ,2如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c,那么a b嘗試證明Rt ABE 也 Rt ECD, AEB EDC,又EDCDEC 90 , AEB DEC 90AED 90 .S梯形ABCDSRt ABESRt DECSRt AED ,1 (a b)(a b) ab 1ab 1 c2.2 2 2 22 . 2 2整理，得a b c .知識(shí)拓展AD . 2c, RC AD, a b 、2c【題型二】以勾股定理為基礎(chǔ)的有趣結(jié)論1.如圖， 根據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，確定正方形的面積A =,B =ABCF參考答案：10 , 144 , 1600.2. 如圖，直線I上有三個(gè)正方形 a、b、 積分別

6、為5和11，則b的面積為多少?參考答案：先證兩直角三角形全等，得B參考答案:49cm得正方形b的面積為16.3. 如圖，以直角三角形的三邊向形外作等邊三角形，探究Sc之間的關(guān)系_ J3/ q _參考答案：顯然 S BCE=a , s acd = b44又 a2+b2 = c2二 Sa + S b = Sc.4. 如圖，以直角三角形的三邊向形外作等腰直角三角形, 探究Sa、Sb和Sc之間的關(guān)系.參考答案：類似上一題.5. 如圖，以直角三角形的三邊向形外作半圓，探究 Sb和Sc之間的關(guān)系.參考答案：類似上一題.6. 如圖，已知 ABC 中，/ ACB = 90。，以 ABC 的各邊為長(zhǎng)邊向形 外作

7、矩形，使其寬為長(zhǎng)的一半，則這三個(gè)矩形的面積Si、S2、S3之間有什么關(guān)系，并證明你的結(jié)論.參考答案：類似上一題7. 如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形邊長(zhǎng)為 7cm，則正方形A、B、C、D的面積之和為 多少？8. 如圖，在水平面上依次放置著七個(gè)正方形已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是a、b、c,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1 > S2、S3，貝y S1 + S2 + S3 + S4=.參考答案：a+c【題型三】利用勾股定理求邊長(zhǎng)和進(jìn)行論證【選擇題】1. 在 Rt ABC 中，/ C = 90 ° , a = 12 , b= 16，貝

8、U c 的長(zhǎng)為（）A.26B.18C.20D.21參考答案：C2. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3,4），則0P的長(zhǎng)為（）A.3B.4C.5D. ,7參考答案：C3. 在 Rt ABC 中，/ C = 90。，/ B = 45 ° ,c = 10 ,貝U a 的長(zhǎng)為(A.5B. v'10c. 5''2D.、''5參考答案：C4. 等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則該三角形的面積為（A. 4 3C. 2 3D.3參考答案：B5. 若等腰三角形的腰長(zhǎng)為A.6B.7參考答案：C10 ,底邊長(zhǎng)為12，則底邊上的高為（C.8D.96.若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)

9、為3、4、x，則使此三角形是直角三角形的x的值是（A.5B. 6C. 7D.5 或 7參考答案：D7. 下列各組數(shù)中以 a, b , c為邊的三角形不是 Rt 的是()D.a=3,b=4,A.a=2 , b=3,c=4B.a=7,b=24,c=25C.a=6,b=8,c=10 c=5參考答案：A8. 要從電桿離地面5m處向地面拉一條長(zhǎng)為13m的電纜，則地面電纜固定點(diǎn)與電線桿底部的距離應(yīng)為（）.A.10mB.11mC.12mD.13m參考答案：C9. 現(xiàn)有兩根木棒，長(zhǎng)度分別為44 cm和55 cm .若要釘成一個(gè)三角形木架，其中有一個(gè)角為直角，所需最短的木棒長(zhǎng)度是（）.A.22 cmB.33 c

10、m參考答案：B10 .一個(gè)直角三角形，有兩邊長(zhǎng)分別為C.44 cmD.55 cm6和8，下列說法正確的是（A.第三邊一定為10B.三角形的周長(zhǎng)為25 C.三角形的面積為48D.第三邊可能為10參考答案：D20cm，兩條直角邊之比為 3 : 4，那么這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為C. 40cmD.48cm11 .直角三角形的斜邊為A . 27cmB. 30cm參考答案：D12 將直角三角形的三邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是（南+A 直角三角形 參考答案：A13 .已知，如圖，一輪船以 16海里/時(shí)的速度從港口 A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以 速度同時(shí)從港口 A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時(shí)后，

11、則兩船相距（）B 銳角三角形C 鈍角三角形D 不能確定12海里/時(shí)的EBC)CAABAC)C.6 cmD.10 cmOD.9m30)C30AC=90)D.7BCPA.4 cm參考答案)BC3 3D. 43B. 2 3DCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三 BD，貝U BD的長(zhǎng)為（C. 35海里B. 6cmAC=3，/ B=30A. 3cmB. 30海里16.( 2010廣西南寧)D. 40 海參考答案：D45度角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一邊沿上，測(cè)得三 度角，如圖，則三角板的最B.5 cmB大小關(guān)系式（A. a c b參考答案：C17.（ 2011山東煙臺(tái)）成一個(gè)直角三角形，兩直角邊分別為 路的距離相等來連

12、接管道，則 線，中心O為點(diǎn)）是（A2mB.3ma b c C. c a b參考答案：C18.（ 2011湖北黃石）將一個(gè)有張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另 角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成 大邊的長(zhǎng)為32 cmD. c b a圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為 1， ABC的三邊a,b,c的D. 6 - 2 cm15.（ 2010廣西欽州市）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊6 cm、BC = 8 cm，現(xiàn)將 ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為 DE，貝U BE 的長(zhǎng)為A. 25海里里 參考答案：D14.（2010山東臨沂）如圖， ABC和角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，連接參考

13、答案：D19.（2011貴州貴陽）如圖， ABC中，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，貝U AP長(zhǎng)不可能是參考答案：D如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構(gòu)6m和8m.按照輸油中心 0到三條支O到三條支路的管道總長(zhǎng)（計(jì)算時(shí)視管道為）C.6mAD).則x可能取的值有（ D.無數(shù)多個(gè)20.直角三角形三邊的長(zhǎng)分別為3、4、x,A. 1個(gè) B. 2 個(gè) C. 3個(gè)參考答案：B 斜邊可以為4或X,故兩個(gè)答案.21 .如果Rt 兩直角邊的比為 5 : 12，則斜邊上的高與斜邊的比為（A.60 : 13B.5 : 12C.12 : 13D.60 : 169C/fa71cArBE參考答案：D22 .直角三角形一直角

14、邊長(zhǎng)為11，另兩邊均為自然數(shù)，則其周長(zhǎng)為（）A.121B.120C.132D.以上答案都不對(duì)參考答案：C【填空題】1. 已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)為3和4，則此三角形的周長(zhǎng)為 .參考答案：12或7 + 7 提示：因直角三角形的斜邊不明確，結(jié)合勾股定理可求得第三邊的長(zhǎng)為5或'7 ,所以直角三角形的周長(zhǎng)為 3 + 4 + 5 = 12或3 + 4 +7 = 7 +.2. 直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則它斜邊上的高為 .參考答案：53. 直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則它斜邊上的高為 .參考答案：60，提示：設(shè)斜邊的高為 X，根據(jù)勾股定理求斜邊為歹 J169 13，再利用面13積法得

15、，1 5 121 13 x,x 色；22134. 如圖，學(xué)校有一長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)4m，寬3m。，有極少數(shù)人為了避開拐角走捷徑，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少了 步路（2步為Im ）,卻踩傷了花草.參考答案：4.5. 圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的若 AC=6 BC=5 ,將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖 2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)（圖 2實(shí) 線部分）是.參考答案：76.6 .如圖，將一根長(zhǎng)24 cm的筷子，置于底面直徑為 5 cm ,高為12 cm的圓柱形水杯中, 設(shè)筷子露在杯外的長(zhǎng)度為 h cm，則h的

16、取值范圍是 .參考答案：11 < h< 12.7. 在 Rt ABC 中，/ C=90 ° ,AB=15,BC:AC=3:4,貝U BC=.參考答案：9.8. 已知：如圖，在Rt ABC中，/ B=90 ° , D、E分別是邊 AB、AC的中點(diǎn)，DE=4 , AC=10，貝H AB=.參考答案：6.9. 已知兩條線段的長(zhǎng)為 9cm和12cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)為 cm時(shí),這三條線段能組成一個(gè)直角三角形.參考答案：15或3 7 .S10. 在 Rt ABC 中，/ C=90 ° , （1 ）若 a=5 ,b=12，則 c=;（2） b=8 ,c=17 ，則

17、 Sabc =.參考答案：136011 .（2010遼寧丹東市）已知 ABC是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以Rt ABC 的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰 Rt ACD，再以Rt ACD的斜邊AD為直 角邊，畫第三個(gè)等腰 Rt ADE，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng) 是.參考答案：（2）n12. （2010浙江省溫州）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定理.在右圖的勾股圖中，已知/ACB=90。，/ BAC=30 ° , AB=4 .作 PQR使得/ R

18、=90。，點(diǎn)H在邊QR上，點(diǎn)D , E在邊PR上，點(diǎn)G , F在邊_PQ上，那么 PQR的周長(zhǎng)等于 .參考答案：27 + 13.3.13. （2010湖北鄂州）如圖，四邊形 ABCD中，AB=AC = AD, E是CB的中點(diǎn),AE = EC,/ BAC =3 / DBC , BD = 6、2 6.6，貝U AB =.參考答案：1214. （2010 河南）如圖， Rt ABC 中，/ C=90 ° ,/ ABC=30 ° , AB=6.點(diǎn) D 在 AB 邊上，點(diǎn) E 是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn) B、C重合），且DA=DE，貝U AD的取值范圍是 .參考答案：2 W AD <

19、; 315. （2010山東淄博）如圖是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成的“田字格”.只用沒有刻度 III的直尺在這個(gè)“田字格”中最多可以作出長(zhǎng)度為庚的線段條.+一+7III參考答案：8"16. （2010 黑龍江綏化） Rt ABC中，/ BAC=90 ° , AB=AC=2，以AC為一邊，在 ABC外部作等腰直角三角形 ACD，則線段BD的長(zhǎng)為.參考答案：4或2 . 5或 1017. （2011重慶綦江）一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示.正方形DEFH的邊長(zhǎng)為2米，2坡角/ A = 30 ° , zB = 90 ° ,BC =6米.當(dāng)正方形 D

20、EFH 運(yùn)動(dòng)到什么位置，即當(dāng)AE =米時(shí)，有DC2 2=AE + BC參考答案:143【解答題】1. 如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB , BC=6 , AC=8 , 求AB、CD的長(zhǎng)參考答案：在 Rt ABC中，BC=6 , AC=82 2 2AB 2 =AC 2 + BC 2AB= -36 84 = . 100 = 1 0AC BC 6 8CD= 4.8AB 102. 如圖，是由五個(gè)邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的“紅十字”形, 上，試求/ BAC的大小.參考答案：/ BAC=B、C均在頂點(diǎn)3. （ 2011四川廣安）某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)

21、行改造.測(cè)得兩直角邊長(zhǎng)為 6m、8m.現(xiàn)要將參考答案：由題意可得，花圃的周長(zhǎng)=8+8+ 8.2 =16+ 8f24. 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方 形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格 點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫 三角形（涂上陰影）.在圖1中，畫一個(gè)三角形，使它的 三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；在圖2、圖3中，分別畫一個(gè)直角 三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是無理數(shù).（兩 個(gè)三角形不全等）5. 已知：如圖， ABC中，/ C=90 ° , D是AC的中點(diǎn).參考答案：/ ABC 中，/ C=90 ° , AB2 = BC 2 +AC 2, AB2+3BC 2 = 4BC 2+AC2,又 BC

22、2 = BD 2 CD2, AB2+3BC 2 = 4BD 2 4CD 2+AC 2, 又 AC = 2CD ,2 2 2 AB2+3BC 2=4BD 2.求證:AB2+3BC 2=4BD2【題型四】勾股定理在非直角三角形中的應(yīng)用【選擇題】1. 若 ABC 中，AB 13cm,AC 15cm，高 aD=12，則 BC 的長(zhǎng)為（）A、14B、4 C、14或4D、以上都不對(duì)參考答案：C2 一木工師傅測(cè)量了一個(gè)等腰三角形的腰、底邊和底邊上的高的長(zhǎng)度，但他卻把這三個(gè)數(shù)據(jù)弄混了，請(qǐng) 你幫他找出來，應(yīng)該是（）A. 13 , 12 , 12 B. 12 , 12 , 8 C . 13 , 10 , 12D

23、. 5 , 8, 4參考答案：C【填空題】1. 等腰三角形 ABC的面積為12 cm 2，底上的高 AD = 3皿，則它的周長(zhǎng)為 cm .參考答案：由面積求出底邊為8，進(jìn)而求出腰圍5，故周長(zhǎng)為18.2. （2010四川宜賓）已知，在 ABC中，/ A= 45 °,AC=2 ,AB= 3+1 ,則邊BC的長(zhǎng)為參考答案：2.其擴(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng).3.某市在“舊城改造”中計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植 某種草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買這種草皮至少需要元.參考答案：150a.【解答題】1.

24、如圖， ABC 中，AC = 12，/ B = 45 °，/ A = 60 ° 求厶ABC的面積.參考答案：54 + 18 -3 （作CD丄AB于D）2. 已知等腰三角形腰長(zhǎng)為 10 ,底邊長(zhǎng)為16，求它的面積參考答案：48 （作底邊上的高）3 .已知：如圖，在厶 ABC 中，AB = 15 , BC = 14 , AC = 13 .求厶 ABC 的面積.參考答案：作任一邊上的高，用勾股定理建立方程，求解【題型五】禾U用勾股定理求不規(guī)則圖形的面積1.如圖，/ B =Z D = 90 °，/ A = 60 ° , AB = 4 , CD = 2. 求四邊形

25、ABCD的面積.參考答案：6-3 （分別延長(zhǎng)AD、BC或分別延長(zhǎng)AB、DC轉(zhuǎn)化成特殊的直角三角形研究）D2.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，求圖中格點(diǎn)四邊形 ABCD的面積.參考答案:252（用正方形面積減去四個(gè)直角三角形面積或轉(zhuǎn)化成以AC為底的兩個(gè)三角形求解）DB3.如圖，四邊形 ABCD 中，AB = 3cm , BC = 4cm , CD = 12cm , DA = 13cm，且/ ABC = 900，求四 邊形ABCD的面積。參考答案：連接AC在 Rt ABC 中，AC2 =AB 2 +BC 2AC = 、916 =5cmAB BC 342/. S abc = =6cm2 22 +CD

26、 2 =25+144=169, DA 2 =13 2=169 ,在厶ACD中，AC DA 2= AC 2 +CD 2.c AC DC 5 S ACD =2上=30 cm 22 S 四邊形 ABCD= S2 abc + S acd =6+30=36 cm4.已知：如圖，四邊形ABCD求AD和BC的長(zhǎng).中，/ B , Z D 是 Rt / , / A=45 ° ,若 DC=2cm,AB=5cm,參考答案:3 , 5 - 2.2 （分別延長(zhǎng)AD、BC或分別延長(zhǎng)AB、DC轉(zhuǎn)化成特殊的C直角三角形研究）5.四邊形 ABCD 中，AD 丄 DC , AD=8 , DC=6 , CB=24 , A

27、B=26.求四邊形 ABCD 的面積. 參考答案：144 （連接AC ）當(dāng)他把繩子m,).【題型六】勾股定理與方程（組）【選擇題】1.小明想測(cè)量教學(xué)樓的高度他用一根繩子從樓頂垂下，發(fā)現(xiàn)繩子垂到地面后還多了 的下端拉開A. 8 m6 m后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好接觸地面，則教學(xué)樓的高為（B. 10 mC. 12 mD. 14 m參考答案:2 2A 解：設(shè)教學(xué)樓的高為x,根據(jù)題意得：（X 2） X 36,解方程得:x=8.2.如果梯子的底端離建筑物9 m,那么15 m長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是（A. 10 m B. 11 mC. 12 mD. 13 m參考答案：C 解：設(shè)建筑物的高度為 X,根據(jù)題意

28、得：1592 2 29 X，解方程得:x=12.3. 已知 Rt ABC 中，Z C=90A.24B.36參考答案：A.24.（方程組）4. 等腰三角形底邊上的高為 8 ,A.56B.48參考答案：B.48.5. 已知，如圖，長(zhǎng)方形 ABCD中，AB=3cm , AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)EF，則 ABE的面積為（）cm 2.A. 6B. 8C. 10D. 12參考答案：A.6. 如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端 A到墻根O的距離為2m，梯子的頂端現(xiàn)將梯子的底端 A向外移動(dòng)到A',使梯子的底端 A'至U墻根O的距離等于3m 至B '，那么BB '（）,

29、a+b=14C.48周長(zhǎng)為32 ,c=10，貝U Rt ABC的面積是(D.60則三角形的面積為（C.40D.32B與點(diǎn)D重合，折痕為B到地面的距離為7m ,同時(shí)梯子的頂端B下降A(chǔ) .小于1m B .大于1m C .等于1m D .小于或等于 1m參考答案：A提示：移動(dòng)前后梯子的長(zhǎng)度不變，即Rt AOB和Rt A' OB'的斜邊相等.由勾股定理,C DB得 32 + B' 02= 22 + 72 , B' 0= 44 , 6 V B' Ov7 ,貝U O V BB'v 1 .7.如圖，Rt ABC中，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊

30、 AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊 AB上，且與AE重合，則CD等于（）m.A.2B.3C.4D.5參考答案：B.【填空題】1 .在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為 2米，問這里水深是m.參考答案：1.5.2 .在 ABC中，CE是AB邊上的中線， 參考答案：2.3 .在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的D后直接躍到A處， 參考答案：15米.4. （2011貴州安順）按圖中所示方法將 的面積是參考答案：6cm 2CD 丄 AB 于 D,且 AB=5,BC=4,AC=6, 貝U DE 的長(zhǎng)為

31、距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高如圖，在 Rt ABC 中，/ C=90 ° , BC=6cm , AC=8cmBCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的C'點(diǎn)，那么 ADC5、如右圖將矩形 ABCD沿直線AE折疊,頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上FCE=3,AB=8,則 BF=.參考答案：6.A處.另一只爬到樹頂F【解答題】,AD 平分/ CAB , CD=1.5,BD=2.5，求 AC 的長(zhǎng).1 .已知，如圖，在 Rt ABC中，/ C=90參考答案：3.（作DE丄AB于E）C2. 如圖，鐵路上 A、B兩點(diǎn)相距25 km, C、D為兩村莊，DA丄AB于A , CB

32、丄AB于B，已知 DA = 15 畑，CB = 10 m,現(xiàn)在要在鐵路 AB上修建一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站 E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)修建在離 A站多少千米處？參考答案：設(shè) E站應(yīng)修建在離 A站x千米處則BE=25-x2 2 2 2由題意知：AD AE BE BC ,D即 155 x2102（25 x）2。x=103. 如圖，某公園內(nèi)有一棵大樹，為測(cè)量樹高，小明C處用側(cè)角儀測(cè)得樹頂端 A的仰角為30。，已知側(cè)角儀高DC = 1.4m , BC = 30米，請(qǐng)幫助小明計(jì)算出樹高AB . （ 一 3取1.732，結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）參考答案：過點(diǎn) D作DE丄AB于點(diǎn)E，貝U ED =

33、BC = 30米，EB = DC = 1.4米. 設(shè) AE = x 米，在 Rt ADE 中，/ ADE = 30。，貝U AD = 2x .由勾股定理得：AE2 + ED2 = AD2，即 x2 + 30 2 =( 2x ) 2,解得 x = 10 3 17.32 .AB = AE + EB 17.32 + 1.4 18.7(米)答：樹高AB約為18.7米.4. 小東拿著一根長(zhǎng)竹竿進(jìn)一個(gè)寬為3米的城門，他先橫著拿不進(jìn)去，又豎起來拿，結(jié)果竹竿比城門高1米,當(dāng)他把竹竿斜著時(shí)，兩端剛好頂著城門的對(duì)角，問竹竿長(zhǎng)多少米？參考答案：由題意得：設(shè)城門高為x,（x+1）2 = x 2 + 3 2? 2x +

34、2x+1=x+92x=8x = 4竹竿長(zhǎng)為4+1 = 5米。 答：竹竿長(zhǎng)為5米。4. 小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。參考答案：由題意得：（x+1） 2 = x 2 + 252 ?x + 2 x+1 = x + 2 52 x = 2 4x=1 2答：旗桿的高度為12米。5. 如圖，小紅用一張長(zhǎng)方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬 AB為8cm，長(zhǎng)BC為10cm .當(dāng)小紅折疊時(shí)，頂點(diǎn) D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折痕為AE ）.想一想，此時(shí) EC有多長(zhǎng)？參考答案：設(shè)EC為x,/ADE 與AAFE 對(duì)折2=

35、AF AB.EF = DE=8 x在 Rt AB F 中，EFBF= '10064 =6EF = 8 x,FC=4, FC = BC BF=10 6 = 4 在 Rt FCE 中，EC=x,(8 x) 2 = x 2 + 4 26416x + x 2 = x 2 + 1 16x = 48 EC=3求點(diǎn)B的坐標(biāo).6. 如圖，平面直角坐標(biāo)系中,AB丄AC ,參考答案：設(shè) OB=x 貝U BC=x + 1 ; OC=1 , OA=2.在 Rt OAB中，AB2=OA2 + OB 2，在 Rt ABC中,AB 2=BC 2 AC2, X2+ 4= (X + 1) 2 ( 22 十 12 ) ,

36、 x=4，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(一4 , 0)7. 如圖，已知將一矩形紙片ABCD沿著對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C '處，BC '交AD于點(diǎn)E，已知AD=8cm , AB=4cm，求重疊部分 BED 的面積。參考答案：由折疊知，/ EBD= / CBD，由 AD / BC，知/ EDB= / CBD,/ EBD= / EDB , EB=ED 設(shè) EB = ED=Xcm ，貝U AE= ( 8x) cm , 在 Rt ABE中，AE2 + AB2=BE 2,( 8 X) 2 十 42=X2, X=5 , SA BED=10 (cm ).【題型七】利用勾股定理求最值1 .(2009年北

37、恩施)如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B ,B . 25D . 35參考答案：B.主要利用圖形的展開、勾股定理需要爬行的最短距離是(A15，寬為10 ,高為20 ,2. 一只螞蟻從長(zhǎng)為 4cm、寬為3 cm，高是 到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是 _5 cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬cm。參考答案：.743 . (10分)如圖，C為線段BDBD，連結(jié) AC、EC,已知 AB=5 ,(1) 用含x的代數(shù)式表示 AC十CE的長(zhǎng);(2) 試求AC十CE的最小值；參考答案：(1) AC+CE=(2)最小值13上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)DE=1 , BD=8，設(shè)B D作AB丄BD , ED

38、丄CD=x4.如圖所示，無蓋玻璃容器，高18 cm ,底面周長(zhǎng)為1 cm的點(diǎn)C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的容器的上口外側(cè)距開口 充饑的蜘蛛，所走的最短路線的長(zhǎng)度.參考答案：將曲線沿 AB展開，如圖所示，過點(diǎn) C作CE丄AB于E.BD60 cm ,在外側(cè)距下底1 cm的F處有一蒼蠅，試求急于撲貨蒼蠅在 Rt CEF,CEF 90 , EF=18-1-仁16( cm ),1CE=-2. 6030(cm),由勾股定理，得CF= .CE2 EF2. 302 162 34(cm)5.如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家 參考答案：如圖，作出A點(diǎn)關(guān)于MNRt A' DB中，由

39、勾股定理求得的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km 北7km 處，他想把他要完成這件事情所走的最短路程是多少？的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A' B交MN于點(diǎn)P,則A' B就是最短路線.在A' B=17km.A【題型八】勾股定理逆定理及其應(yīng)用【選擇題】1 下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫叺娜切尾皇侵苯侨切蔚氖牵ǎ〢 1.5 , 2 , 3參考答案：A2.分別以下列四組為一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)： 其中能構(gòu)成直角三角形的有（）.A.4組B.3組參考答案：B,對(duì).3 （2010 四川瀘州）在厶 ABC 中，AB=6 , AC=8 , A .銳角三角形參考答案：B4.下列各組數(shù)據(jù)中，

40、B. 7 , 24 , 25B 直角三角形8 , 10D. 3 , 4 , 5C.2組A.9 , 12 , 15不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（ 5彳3B. ,1,一44, 0.3 , 0.4參考答案：C5.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（A.三個(gè)內(nèi)角比為1 : 2 : 1B.三邊之比為110 : 5、12、13 : 8、15、17 : 7、D.1組BC=10，則該三角形為（ 鈍角三角形D.40 , 41 , 9:2 :、. 5C.三邊之比為、3 : 2 : . 5D.三個(gè)內(nèi)角比為1 : 2 : 3）D 等腰直角三角形參考答案：C6.已知三角形兩邊長(zhǎng)為要使這個(gè)三角形為直角三角形，則第

41、三邊的長(zhǎng)為（B. 2 .10C. 4,2或 2. 10D.以上都不對(duì)參考答案：C（A）其長(zhǎng)度分別為(B)724252015（C）7. 五根小木棒， 參考答案：C8. 三角形的三邊A 直角三角形 參考答案：A9 .若 ABC 的三邊 a、b、c 滿足 a2 + b2 + c2 十 338 = 10aA.338B.24C.26D.30參考答案：D10 ABC的三邊a、b、c滿足A、直角三角形；B、等邊三角形； 參考答案：11 .如果A.2 n參考答案：7 , 15,20 , 24 ,25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是a、b、c滿足關(guān)系:B、銳角三角形（a 十 b） 2C 鈍角三角形2=

42、c + 2ab ,則這個(gè)三角形是（）D條件不足，不能確定+ 24b + 26c，則 ABC的面積是（a3+b3+a2b+ab 2-ac2-bc 2=0 ,則厶 ABC 的形狀是（C、等腰三角形；D、等腰直角三角形。ARt 的兩直角邊長(zhǎng)分別為B.n+1n2 1 , 2n (n>1 ),那么它的斜邊長(zhǎng)是(C.n2 1D.n 2+1【填空題】2 2 . 21. 若一個(gè)三角形的三邊滿足 c a b，則這個(gè)三角形是 .參考答案：直角三角形.2. ABC的三邊分別是7、24、25，則三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是 .參考答案：90 ° .3. 三邊為9、12、15的三角形，其面積為 .參考答案：

43、54.4. 已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c滿足a b 10,ab 18，c 8，則此三角形為 三角形.參考答案：直角三角形.5. 在三角形 ABC 中，AB=12 cm，AC=5 cm，BC=13 cm，貝U BC 邊上的高為 AD=cm .60參考答案：136. 已知兩條線段的長(zhǎng)為 5cm和12cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)為cm時(shí),這三條線段能組成一個(gè)直角三角形.參考答案：13cm或119【解答題】1. 如圖，已知四邊形 ABCD中，/ B=90 ° , AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13，求四邊形 ABCD 的面 積.參考答案：36 (連接AC )2.如圖，E

44、、F分別是正方形ABCD中BC和CD邊上的點(diǎn)，且1AB=4 , CE= BC , F 為 CD 的中點(diǎn),FC4連接AF、AE，問 AEF是什么三角形？請(qǐng)說明理由參考答案：由勾股定理得 AE2=25 , EF2=5 ,AF2=20AE2= EF2 +AF2, AEF是直角三角形3. 在厶 ABC 中，BC=m 2-n2, AC=2 mn , AB=m 2+n2(m > n).求證： ABC是直角三角形.參考答案：證(m2 n 2)2+(2mn) 2 = (m2+ n 2)24.張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中設(shè)計(jì)了如下的數(shù)表:n2345a22 - 132 - 142 - 152 - 1b46

45、810c22 + 132 + 142 + 152 + 1請(qǐng)你分別觀察 a b c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n (n>1 )的式子表示：a=b=, c= 猜想：以a、b、c為邊的三角形是否為直角三角形？并證明你的猜想。參考答案：n 2-1,2n,n 2+1猜想：以abc為邊的三角形為直角三角形。證明略5.觀察下列勾股數(shù)：第一組：3=2 X 1 + 1 ,第二組：5=2 X 2 + 1 ,第三組：7=2 X 3 + 1 ,第三組：9=2 X 4 + 1 ,觀察以上各組勾股數(shù)的組成特點(diǎn)，參考答案：第七組，a 2 7第n組，a 2n4=2 X 1 X( 1 + 1 ),12=2 X 2 X(

46、2+1 ),24=2 X 3 X( 3+1 ),40=2 X 4 X( 4+1 ),你能求出第七組的a,b,c115,b2 7 (71)1, b 2n(n 1), c 2n(n5=2 X 1 X( 1+1 ) +1 ；13=2 x 2 x( 2+1 ) +1 ；25=2 X 3 X( 3+1 ) +1 ;41=2 X 4 X( 4+1 ) +1 ;各應(yīng)是多少嗎？第 n組呢?112,c112 1113.1) 16. (2011四川綿陽)王偉準(zhǔn)備用一段長(zhǎng)30米的籬笆圍成一個(gè)三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔 .已知第一條邊長(zhǎng)為a米，由于受地勢(shì)限制，第二條邊長(zhǎng)只能是第一條邊長(zhǎng)的2倍多2米.(1)請(qǐng)用a表

47、示第三條邊長(zhǎng)；問第一條邊長(zhǎng)可以為 7米嗎？為什么？請(qǐng)說明理由，并求出 a的取值范圍；(3)能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長(zhǎng)均為整數(shù)？若能，說明你的圍法；若不能，請(qǐng)說明理由.參考答案：第一條邊為a,第二條邊為2a+2,第三條邊為30-a- (2a+2 ) =28-3a(2)不可以是7 ,v第一條邊為7,第二條邊為16，第三條邊為7,不滿足三邊之間的關(guān)系，不可以構(gòu)成三角形。13 > a > 55,12,13,可以圍成一個(gè)滿足條件的直角三角形【題型九】勾股定理及逆定理與實(shí)際問題1. 如圖，在高為5m，坡面長(zhǎng)為13m的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至 少需要 ().A.17mB.1

48、8mC.25mD.26m參考答案：A依勾股定理先求出底邊為12 ,而地毯長(zhǎng)等于兩直角邊的和，即 12+5=17.2. 將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為hcm，貝U h的取值范圍是().A. h <17cmB. h > 8cmC . 15cm < h < 16cmD . 7cm < h < 16cm參考答案：D3. 木工師傅要做一個(gè)長(zhǎng)方形桌面，做好后量得長(zhǎng)為80cm，寬為60cm，對(duì)角線為100cm，則這個(gè)桌面.(填“合格”或“不合格”)參考答案：合格4. 輪船在大海中航行，它從A點(diǎn)出發(fā)

49、，向正北方向航行20畑，遇到冰山后，又折向東航行15畑，則此時(shí)輪船與A點(diǎn)的距離為 km .參考答案：255. （2009年安徽）長(zhǎng)為4m的梯子搭在墻上與地面成 45 °角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為 60 °角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了 m .參考答案：2（ 3 .2），利用勾股定理即可6. 如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在 A城正西方向320km 的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東60 的BF方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心 200km 的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？ 若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，那么 A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間?參考答案：（1）過點(diǎn)

50、A做AC丄BF于點(diǎn)C,由A、B、C三點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理求出直角邊以點(diǎn)A為圓心以200為半徑畫圓弧交BF 于 D、E ,在 Rt ACD 中，CD.AD2 AC220021602 120所以 DE=240 ,160 < 200 A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響東AC=160 , A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為240 40=6 （小時(shí)）7. 如圖1，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)2.5m，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端 B與圖2墻角C距離為1.5m ,梯子滑動(dòng)后停在 DE的位置上，如圖2，測(cè) 得BD長(zhǎng)為0.5m，求梯子頂端 A下落了多少米.參考答案：在 Rt ABC 中，AB 2 = AC2 + BC2

51、2.5 2 = AC2 + 1.5 2, AC = 2 ( m ).在 Rt EDC 中，DE 2 = CE2 + CD2, 2.5 2 = CE2 +22 CE2 = 2.25 , CE = 1.5 (m ), AE = AC CE = 2 1.5 = 0.5 （ m ）答：梯子頂端A下落了 0.5m .8. 如圖，矩形零件上兩孔中心A、B的距離是多少（精確到個(gè)位）？參考答案：43 (提示：做矩形兩邊的垂線，構(gòu)造Rt ABC，利用勾股定理,AB2 = AC2 + BC 2 = 192 + 39 2 = 1882 , AB 43 )9. （2009年湖北十堰）如圖，在一次數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，小明同學(xué)在點(diǎn)P處測(cè)得教學(xué)樓 A位于北偏東60 °方向，辦公樓B位于南偏東45 °方向.小明沿