1、 A 關于：稱為的標準基，中的自然基，單位坐標向量；線性無關；任意一個維向量都可以用線性表示. 行列式的計算： 若都是方陣（不必同階）,則 上三角、下三角行列式等于主對角線上元素的乘積. 關于副對角線： 逆矩陣的求法: 方陣的冪的性質： 設，對階矩陣規定：為的一個多項式. 設的列向量為,的列向量為，的列向量為, 用對角矩陣左乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；用對角矩陣右乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量. 兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應元素相乘,與分塊對角陣相乘類似,即： 矩陣方程的解法：設法化成 當時, 和同解（列向量個數相同）,則

2、： 它們的極大無關組相對應,從而秩相等； 它們對應的部分組有一樣的線性相關性； 它們有相同的內在線性關系. 判斷是的基礎解系的條件： 線性無關； 是的解； . 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交. 單個零向量線性相關；單個非零向量線性無關. 部分相關,整體必相關；整體無關,部分必無關. 原向量組無關,接長向量組無關；接長向量組相關,原向量組相關. 兩個向量線性相關對應元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關. 向量組中任一向量都是此向量組的線性組合. 向量組線性相關向量組中至少有一個向量可由其余個向量線性表示.向量組線性無關向量組中每一個向量都不能由其余個向量線性表示. 維

3、列向量組線性相關； 維列向量組線性無關. . 若線性無關，而線性相關,則可由線性表示,且表示法惟一. 矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數. 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關系. 矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關系.向量組等價 和可以相互線性表示. 記作：矩陣等價 經過有限次初等變換化為. 記作： 矩陣與等價作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價.矩陣與作為向量組等價矩陣與等價. 向量組可由向量組線性表示. 向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關.向量組線性無關,且可由線性表示,則. 向量組可由向量組線性

4、表示,且,則兩向量組等價； 任一向量組和它的極大無關組等價. 向量組的任意兩個極大無關組等價,且這兩個組所含向量的個數相等. 若兩個線性無關的向量組等價,則它們包含的向量個數相等. 若是矩陣,則,若，的行向量線性無關； 若，的列向量線性無關,即：線性無關.線性方程組的矩陣式 向量式 14矩陣轉置的性質：矩陣可逆的性質：伴隨矩陣的性質：線性方程組解的性質： 設為矩陣,若,則,從而一定有解. 當時,一定不是唯一解.,則該向量組線性相關. 是的上限. 矩陣的秩的性質： 且在矩陣乘法中有左消去律: 標準正交基 個維線性無關的向量,兩兩正交,每個向量長度為1. .是單位向量 . 內積的性質： 正定性：

5、對稱性： 雙線性： 施密特 線性無關, 單位化： 正交矩陣 . 是正交矩陣的充要條件：的個行（列）向量構成的一組標準正交基. 正交矩陣的性質： ； ； 是正交陣,則（或）也是正交陣； 兩個正交陣之積仍是正交陣； 正交陣的行列式等于1或-1.的特征矩陣 .的特征多項式 .的特征方程 . 上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的各元素. 若,則為的特征值,且的基礎解系即為屬于的線性無關的特征向量. 若,則一定可分解為=、,從而的特征值為：, . 若的全部特征值，是多項式,則: 的全部特征值為； 當可逆時,的全部特征值為, 的全部特征值為. 與相似 （為可逆陣） 記為： 相似于對角陣的充要

6、條件：恰有個線性無關的特征向量. 這時,為的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為的特征值. 可對角化的充要條件： 為的重數. 若階矩陣有個互異的特征值,則與對角陣相似.與正交相似 （為正交矩陣） 相似矩陣的性質： 若均可逆 （為整數） ,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是關于的特征向量,是關于的特征向量. 從而同時可逆或不可逆 數量矩陣只與自己相似. 對稱矩陣的性質： 特征值全是實數,特征向量是實向量； 與對角矩陣合同； 不同特征值的特征向量必定正交； 重特征值必定有個線性無關的特征向量； 必可用正交矩陣相似對角化（一定有個線性無關的特征向量,可能有重的特征值,重數=

7、）.可以相似對角化 與對角陣相似. 記為： （稱是的相似標準型） 若為可對角化矩陣,則其非零特征值的個數（重數重復計算）. 設為對應于的線性無關的特征向量,則有：. 若, ,則：. 若,則,.二次型 為對稱矩陣 與合同 . 記作： （） 兩個矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負慣性指數. 兩個矩陣合同的充分條件是： 兩個矩陣合同的必要條件是： 經過化為標準型. 二次型的標準型不是惟一的,與所作的正交變換有關,但系數不為零的個數是由 惟一確定的. 當標準型中的系數為1，-1或0時,則為規范形 . 實對稱矩陣的正（負）慣性指數等于它的正（負）特征值的個數. 任一實對稱矩陣與惟一對角陣合同. 用正交變換法化二次型為標準形: 求出的特征值、特征向量； 對個特征向量單位化、正交化； 構造（正交矩陣）,； 作變換,新的二次型為,的主對角上的元素即為的特征值.正定二次型 不全為零，.正定矩陣 正定二次型對應的矩陣. 合同變換不改變二次