1、北師大版數學九年級下冊第一章測試題（一）（直角三角形的邊角關系）一、選擇題1 .在4ABC 中，若 sinA-1 + （亞-cosB） 2=0, ZA, ZB 都是銳角，則N 22C的度數是（）A. 75 B. 90 C. 105D. 1202 .如圖，電線桿CD的高度為h,兩根拉線AC與BC相互垂直，NCAB=a,則拉線BC的長度為（A、D、B在同一條直線上）（）sinClcos Q-tanQ-3 .如圖，一輛小車沿傾斜角為a的斜坡向上行駛13米，已知cosa=l，則小13車上升的高度是（）A. 5 米 B. 6 米 C. 6.5 米 D. 12 米4 .如圖，數學實踐活動小組要測量學校附近

2、樓房CD的高度，在水平地面A處 安置測傾器測得樓房CD頂部點D的仰角為45。，向前走20米到達A處，測得 點D的仰角為67.5,已知測傾器AB的高度為1.6米，則樓房CD的高度約為（結果精確到0.1米，1.414）（）iilllllliii illlllllll： iillllllii iillllllii iillllllii Iillllllii, iillllllii, iillllllii yiiiiiiii, iiiiiiiiiiA A:CA. 34.14 米 B. 34.1 米 C. 35.7 米 D. 35.74 米5 .如圖，小王在長江邊某瞭望臺D處，測得江面上的漁船A的俯角為

3、40。，若 DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=l： 0.75,坡長 BC=10米,則此時AB的長約為()(參考數據:sin400.64, cos400.77, tan400.84).A. 5.1 米 B. 6.3 米 C. 7.1 米 D. 9.2 米6 .計算：cos245+sin245=()A. i B. 1 C.L D.也 2427 .在RtAABC中，各邊的長度都擴大兩倍，那么銳角A的各三角函數值( )A.都擴大兩倍B.都縮小兩倍C.不變 D.都擴大四倍8 .如圖，在 RtAABC 中，ZC=RtZ, a、b、c 分別是NA, ZB, ZC 的對邊,下列結

4、論正確的是()A. csinA=a B. bcosB=c C. atanA=b D. tanB9 .如圖，在4ABC中，ZBAC=90, AB=AC,點D為邊AC的中點，DE1BC于點E,連接BD,則tan/DBC的值為（）10 .如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1,點A, B, C都在格點上，則NABC的正切值是（）A. 2 B.生C.叵D. i 552二、填空題11 .若尸（m-l）是二次函數，則m的值是.12 .在 RtZABC 中，ZC=90, AB=2, BC=,則 sin .2 13 .如圖，BC是一條河的直線河岸，點A是河岸BC對岸上的一點，AB_LBC于B,站在河岸C的C處測

5、得NBCA=50。，BC=10m,則橋長AB二 m （用計算14 .等腰三角形的腰氏為2,腰上的高為1,則它的底角等于.15 .如圖，已知RtZABC中，斜邊BC上的高AD=4, cosB二，則AC=5A16 .如圖，ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=17 .如圖1是小志同學書桌上的一個電子相框，將其側面抽象為如圖2所示的幾何圖形，已知BC=BD=15cm, ZCBD=40,則點B到CD的距離為 cm（參考數據 sin2000.342, cos200.940, sin400.643, cos400.766,結果精確到0.1cm,可用科學計算器）.18 .如圖，在四邊形 ABCD 中，

6、Z A=60, Z B= Z D=90, BC=6, CD=9,則三、解答題19 .計算：tan2600 - 2sin30 -6cos450.20.16 （2017寶應縣一模）計算：V8+（） 1 - 4cos450 - （-兀）21 .如圖，某商店營業大廳自動扶梯AB的傾斜角為31。，AB的長為12米，求 大廳的距離AC的長.（結果精確到0.1米）（參考數據:sin310=0.515 , cos31=0.857, tan31=0.60）22 .如圖，為了測量某建筑物CD的高度，先在地面上用測角儀自A處測得建 筑物頂部的仰角是30。，然后在水平地面上向建筑物前進了 100m,此時自B處 測得建

7、筑物頂部的仰角是45。.已知測角儀的高度是1.5m,請你計算出該建筑物的高度.（取叵L732,結果精確到1m）23 .已知：如圖，在山腳的A處測得山頂D的仰角為45。，沿著坡度為30。的斜 角前進400米處到B處(即NBAC=30。，AB=400米)，測得D的仰角為60。，求 山的高度CD.D24 . 一段路基的橫斷面是直角梯形，如圖1,已知原來坡面的坡角a的正弦值 為0.6,現不改變土石方量，全部利用原有土石方進行坡面改造，使坡度變小， 達到如右下圖2的技術要求.試求出改造后坡面的坡度是多少？圖1圖225 .如圖，已知RtZABC中，ZACB=90, CD是斜邊AB上的中線，過點A作AECD

8、, AE 分別與 CD、CB 相交于點 H、E, AH=2CH.求sinB的值;(2)如果CD二遍，求BE的值.C EB26 .如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現均收到故障 船c的求救信號.已知A、B兩船相距100 （巾3）海里，船C在船A的北偏 東60。方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D,測得船C正好 在觀測點D的南偏東75。方向上.分別求出A與C, A與D之間的距離AC和AD （如果運算結果有根號，請保 留根號）.（2）已知距觀測點D處200海里范圍內有暗礁.若巡邏船A沿直線AC去營救船 C,在去營救的途中有無觸暗礁危險？（參考數據：721.41, 6和

9、L73）N參考答案與試題解析1.在ABC中，若IsinA -喙i+ （宇cosB）2=0, ZA, ZB都是銳角，則NC的度數是（）A. 75B. 90. 105 D. 120【考點】T5：特殊角的三角函數值；16：非負數的性質：絕對值；1F：非負數 的性質：偶次方.【專題】選擇題【分析】本題可根據非負數的性質兩個非負數相加和為0,這兩個非負數的值 都為0.分別求出NA、ZB的值.然后用三角形內角和定理即可求出NC的值.【解答】解：V sinA 返=0,（亞cosB）2=0,22/. sinA -2=0, 2ZZ - cosB=0, 22/.sinA- =cosB22，NA=45。，ZB=30

10、,/. ZC=180 - ZA - ZB=105故選c.【點評】本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解 決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數值，熟練掌握二次根式、絕對值、 非負數等考點的運算.2 .如圖，電線桿CD的高度為h,兩根拉線AC與BC相互垂直，NCAB=a,則sinCl拉線BC的長度為（A、D、B在同一條直線上）（）C. -D. hecosacos Q- tanQ-【考點】T8：解直角三角形的應用.【專題】選擇題【分析】根據同角的余角相等得N CAD= Z BCD ，由os Z BCD=型知 BCB，c. CD _ h . cos/ BCD cos Cl【解答

11、】解：VZCAD+ZACD=90 ZACD+ZBCD=90,AZCAD=ZBCD,在 RtA BCD 中，V cos Z BCD=52-,BC.BC=- 11 , cosZl BCD cos a故選：B.【點評】本題主要考查解直角三角形的應用，熟練掌握同角的余角相等和三角 函數的定義是解題的關鍵.3 .如圖，一輛小車沿傾斜角為a的斜坡向上行駛13米，已知cosa=I，則小車上升的高度是（）A. 5 米 B. 6 米 C. 6.5 米 D. 12 米【考點】T9：解直角三角形的應用坡度坡角問題.【專題】選擇題【分析】在RtZABC中，先求出AB,再利用勾股定理求出BC即可.【解答】解：如圖AC=

12、13,作CB_LAB,一 12 AB cosa= -13 AC，AB=12,小車上升的高度是5m.故選A.【點評】此題主要考查解直角三角形，銳角三角函數，勾股定理等知識，解題 的關鍵是學會構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.4 .如圖，數學實踐活動小組要測量學校附近樓房CD的高度，在水平地面A處 安置測傾器測得樓房CD頂部點D的仰角為45。，向前走20米到達A，處，測得 點D的仰角為67.5,已知測傾器AB的高度為1.6米，則樓房CD的高度約為 （結果精確到0.1米，后比 1.414）（）iilllllliii illlllllll： iillllllii iillllllii iill

13、llllii Iillllllii, iillllllii, iillllllii yiiiiiiii, iiiiiiiiiiA A:CA. 34.14 米 B. 34.1 米 C. 35.7 米 D. 35.74 米【考點】TA：解直角三角形的應用-仰角俯角問題.【專題】選擇題【分析】過B作BFCD于F,于是得到AB=AB=CF=1.6米,解直角三角形即可 得到結論.【解答】解：過B作BF1CD于F,AAB=A,B/=CF=1.6 米,在 RtZiDFB，中，BT=DF ,tan67. 5在 RtZkDFB 中，BF=DF,BB=AA=20,/BF - B午二DF DF .20,tan67.

14、 5ADF34.1 米,ACD=DF+CF=35.7 米，答：樓房CD的高度約為35.7米，故選C.【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，要求學生借助俯角 構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形.5 .如圖，小王在長江邊某瞭望臺D處，測得江面上的漁船A的俯角為40。，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=l： 0.75,坡長BC=10米,則此時AB的長約為()(參考數據:sin400.64, cos400.77, tan400.84).A. 5.1 米 B. 6.3 米 C. 7.1 米 D. 9.2 米【考點】TA：解直角三角形的應用-仰

15、角俯角問題；T9：解直角三角形的應用坡度坡角問題.【專題】選擇題【分析】延長DE交AB延長線于點P,作CQ1AP,可得CE=PQ=2、CQ=PE,由i=T=_L_=&可設 CQ=4x、BQ=3x,根據 BQ2+CQ2=BC2 求得 x 的值，即可知 BQ 0. 75 3DP=11,由 AP二 DP,二一三結合 AB=AP - BQ - PQ 可得答案.tanNA tan40【解答】解：如圖，延長DE交AB延長線于點P,作CQ_LAP于點Q,VCE/7AP,DPJ_AP, 四邊形CEPQ為矩形， CE=PQ=2, CQ=PE, i_CQ_ 1 _4 BQ 0.75設 CQ=4x、BQ=3x,il

16、l BQ2+CQ2=BC2可得(4x) 2+ (3x) 2=102, 解得:x=2或x= - 2 （舍），則 CQ=PE=8, BQ=6,ADP=DE+PE=11,在 RtAADP 中，TAPm=-il13.1,tanZ_A tan40.-.AB=AP - BQ - PQ=13.1 - 6 - 2=5.1,故選：A.【點評】此題考查了俯角與坡度的知識.注意構造所給坡度和所給銳角所在的 直角三角形是解決問題的難點，利用坡度和三角函數求值得到相應線段的長度 是解決問題的關鍵.6.計算：cos2450+sin2450=（）A. i B. 1 C. i D.242【考點】T5：特殊角的三角函數值.【專

17、題】選擇題【分析】首先根據cos45o=sin45Q=Y2,分別求出cos245s sin分5。的值是多少;2然后把它們求和，求出cos245“sin245。的值是多少即可.【解答】解：V cos45o=sin45=-Acos2450+sin245044=1.故選B.【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數值，要熟練掌握，解答此類問題的 關鍵是要明確：（1）30。、45。、60。角的各種三角函數值；（2） 一個角正弦的平 方加余弦的平方等于1.7.在RtAABC中，各邊的長度都擴大兩倍，那么銳角A的各三角函數值A.都擴大兩倍 B,都縮小兩倍 C.不變 D.都擴大四倍【考點】T1：銳角三角函數的定

18、義.【專題】選擇題【分析】根據三邊對應成比例，兩三角形相似，可知擴大后的三角形與原三角 形相似，再根據相似三角形對應角相等解答.【解答】解：各邊的長度都擴大兩倍，擴大后的三角形與RtAABC相似，銳角A的各三角函數值都不變.故選C.【點評】本題考查了銳角三角形函數的定義，理清銳角的三角函數值與角度有 關，與三角形中所對應的邊的長度無關是解題的關鍵.8 .如圖，在 RtAABC 中，ZC=RtZ, a、b、c 分別是NA, ZB, ZC 的對邊， 下列結論正確的是（）BA. csinA=a B. bcosB=c C. atanA=b D. tanB b【考點】Tl：銳角三角函數的定義.【專題】選

19、擇題【分析】本題可以利用銳角三角函數的定義求解即可.【解答】解：A、在RtZABC中，ZC=90,sinA, csinA=a,確； cB、在 RtZXABC 中，ZC=90,8sB言，本項錯誤；C、在 RtZABC 中,ZC=90tanA=. btanA=a,本項錯誤； bD、在 RtZkABC 中,ZC=90,tanB上，本項錯誤， a故選A.【點評】本題考查了銳角三角函數的定義.解答此題關鍵是正確理解和運用銳 角三角函數的定義.9 .如圖，在AABC中，ZBAC=90, AB=AC,點D為邊AC的中點，DE1BC于點E,連接BD,則tanNDBC的值為（）【考點】T7：解直角三角形；KW：

20、等腰直角三角形.【專題】選擇題【分析】利用等腰直角三角形的判定與性質推知BC=V2AC, DE=EC=F2dC,然 2后通過解直角DBE來求tanZDBC的值.【解答】解：在ABC中，ZBAC=90, AB=AC,/.ZABC=ZC=45 BC=V2AC.乂丁點D為邊AC的中點，/.AD=DC=iAC.2DE_LBC于點E,/ZCDE=ZC=45,. de=ecH1dc=2Z1ac.24返AC/. tanZDBC=-2-r=-BE百43故選A.【點評】本題考查了解直角三角形的應用、等腰直角三角形的性質.通過解直 角三角形，可求出相關的邊長或角的度數或三角函數值.10.如圖，在網格中，小正方形的

21、邊長均為1,點A, B, C都在格點上，則NABC的正切值是（）【考點】T1：銳角三角函數的定義；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理.【專題】選擇題【分析】根據勾股定理，可得AC、AB的長，根據正切函數的定義，可得答由勾股定理，得AC=V2，AB=26，BC=V10ABC為直角三角形，AtanZB=-=i, AB 2故選D.【點評】本題考查了銳角三角函數的定義，先求出AC、AB的長，再求正切函 數.11 .若尸(inT)工/+211rl+2卬x-l是二次函數，則m的值是-3 .【考點】H1：二次函數的定義.【專題】填空題【分析】根據二次函數的定義列出有關m的方程，然后求解即可.【解答】解：

22、由二次函數的定義可知：m2+2m-l=2,解得：m=-3或1,又 m - 1W0, mWl,/. m= - 3.故答案為：3.【點評】本題考查了二次函數的定義，屬于基礎題，難度不大，注意掌握二次 函數的定義.12 .在 ABC 中，ZC=90, AB=2, BC=Vs，則 sin 1 .2 2【考點】T5：特殊角的三角函數值.【專題】填空題【分析】根據NA的正弦求出NA=60。，再根據30。的正弦值求解即可.【解答】解：TsinA匹HlAB 2/ZA=60,Asin-sin30. 22故答案為：.2【點評】本題考查了特殊角的三角函數值，熟記30。、45。、60。角的三角函數值 是解題的關鍵.1

23、3 .如圖，BC是一條河的直線河岸，點A是河岸BC對岸上的一點，AB_LBC于 B,站在河岸C的C處測得NBCA=50。，BC=10m,則橋長AB= 11.9 m (用計 算器計算，結果精確到0.1米)J【考點】T8：解直角三角形的應用.【專題】填空題【分析】在RtAABC中，tanNBCA夏殳，由此可以求出AB之長. BC【解答解：在“BC中，V BCBA, AtanZBCA=-_.BCXV BC=10m, ZBCA=50,.,.AB=BC*tan50=10Xtan5011.9m.故答案為11.9.【點評】此題考查了正切的概念和運用，關鍵是把實際問題轉化成數學問題， 把它抽象到直角三角形中來

24、.14.等腰三角形的腰長為2,腰上的高為1,則它的底角等于15。或75。.【考點】KH：等腰三角形的性質；KQ：勾股定理.【專題】填空題【分析】此題分兩種情況，當頂角為銳角時，利用勾股定理，AD的長，然后即 可得出NABD=60。，可得頂角度數.同理即可求出頂角為鈍角時，底角的度數.【解答】解；如圖1, A ABCAB=AC=2, BD為腰上的高,且BD=1,頂角為銳角，VAD2=AB2 - BD2,/.AD2=4 - 1=3,AAD=V3，r. ZABD=60,頂角為30。，底角為75。;如圖2, ZABC中，AB=AC=2, BD為腰上的高，且BD=1,頂角為鈍角同理可得，底角為15。.故

25、答案為:15。或75。.【點評】此題主要考查學生對等腰三角形性質的理解和掌握，解答此題的關鍵 是利用分類討論的思想進行分析，對頂角為銳角和頂角為鈍角時分別進行分 析.15.如圖，已知RtZABC中，斜邊BC上的高AD=4, cosB工，則AC= 5 5【考點】T7：解直角三角形.【專題】填空題【分析】根據題中所給的條件，在直角三角形中解題.根據角的正弦值與三角 形邊的關系，可求出AC.【解答】解：:在RtZkABC中,cosB=A,5/.sinB=, tanB=-i5-=.5 cosB 4.在 RtAABD 中 AD=4, AR一sinB -J/ 3 在 RtAABC 中，VtanB=-, A

26、B/.AC=3_X5_=5.43【點評】本題考查了解直角三角形中三角函數的應用，要熟練掌握好邊角之間 的關系.16 .如圖，ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=_Y_.【考點】T1：銳角三角函數的定義.【專題】填空題【分析】在直角4ABD中利用勾股定理求得AD的長，然后利用正弦的定義求 解.【解答】解：在直角4ABD中,BD=1, AB=2,則AD WT而至杼于八后，則 sinA=S= 1一右.AD V5 5故答案是：逅.【點評】本題考查銳角三角函數的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦 為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.17 .如圖1是小志同學書桌上的一個電子相框，

27、將其側面抽象為如圖2所示的 幾何圖形，已知BC=BD=15cm, ZCBD=40,則點B至CD的距離為14.1 cm （參考數據 sin200.342, cos200.940, sin400.643, cos400.766,結果精確到0.lcm,可用科學計算器）.圖1圖2【考點】T8：解直角三角形的應用.【專題】填空題【分析】作BE1CD于E,根據等腰三角形的性質和NCBD=40。，求出NCBE的 度數，根據余弦的定義求出BE的長.【解答】解：如圖2,作BEJ_CD于E,V BC=BD, ZCBD=40,AZCBE=20,在 RtACBE 中，cosNCBE=,BCABE=BCcosZCBE=

28、15X0.940=14.1cm故答案為：14.1.【點評】本題考查的是解直角三角形的應用，掌握銳角三角函數的概念是解題 的關鍵，作出合適的輔助線構造直角三角形是解題的重要環節.18.如圖，在四邊形 ABCD 中，ZA=60, ZB=ZD=90, BC=6, CD=9,則 AB= 873_.0。B C【考點】KQ：勾股定理；KO：含30度角的直角三角形.【專題】填空題【分析】過點D作DE_LAB于點E, CFJ_DE于F,可得四邊形BCFE為矩形，根 據NA=60,可得出/ADE=30,根據ND=90,可求得NCDE=60, ZDCF=30, 在4CDF中，根據CD=9,分別求出CF, DF的長

29、度，然后在aADE中，求出AE 的長度，繼而可求出AB的長度.【解答】解：過點D作DE_LAB于點E, CF_LDE于F, 則有四邊形BCFE為矩形,BC=EF, BE=CF,VZA=60,AZADE=30,VZD=90, /ZCDE=60, ZDCF=30, 在CDF中，VCD=9,cf=1cd CF*1_CD=2也, 2222VEF=BC=6,，DE=EF+DF=6+2, 2 2則 AE-*-R3, F 2AB=AE+BE=-+-=8VS.22故答案為：873.BC【點評】本題考查了勾股定理的知識以及含30度角的直角三角形的性質，注意 掌握在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半

30、，難度一般.19.計算：tan2600 - 2sin300 - &cos450.【考點】T5：特殊角的三角函數值.【專題】解答題【分析】將特殊角的三角函數值代入求解.【解答】解：原式=（V3）2-2cos30=20（h/3 （米），VBF1AC, BEDC,四邊形BFCE是矩形，/ EC=BF=200 米，設BE=x米，則FC=x米，在 RtADBE 中，VZDBE=60,/.DE=tan60*BE=V3x （米），VZDAC=45, NC=90。，AZADC=45AC=DC,VAC=AF+FC= （200/3+x）米，DC=DE+EC= （a/3x+200）米，解得：x=200,/. DC=

31、DE+EC=200a/3+200 （米）.答：山的高度BC約為（203住200）米.【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據仰角構造直 角三角形，利用三角函數的知識解直角三角形，難度一般.24. 一段路基的橫斷面是直角梯形，如圖1,已知原來坡面的坡角a的正弦值 為0.6,現不改變土石方量，全部利用原有土石方進行坡面改造，使坡度變小， 達到如右下圖2的技術要求.試求出改造后坡面的坡度是多少？圖1圖2【考點】T9：解直角三角形的應用坡度坡角問題.【專題】解答題【分析】由已知可求EC=40m.在不改變土石方量，全部充分利用原有土石方的 前提下進行坡面改造，使坡度變小，則梯形ABCD

32、面積=梯形AiBiCiD面積，可 再求出ECi=80 (m),即可求出改建后的坡度i=B正:ECi=20： 80=1： 4.【解答】解：由圖可知:BEDC, BE=30m, sina=0.6,在 RtABEC 中，Vsina=5-,BCJBC= EE = 30 =5。加)， sinCl 0.6ft RTABEC + EC2=BC2 - BE2, BE=30m,由勾股定理得，EC=40m.在不改變土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下進行坡面改造，使坡度 變小，則梯形ABCD面積=梯形AiBiCiD面積，/Ax (20+60) X 30=1X20 (20+20+ECi)22解得 ECi=80

33、(m),，改建后的坡度 i=BiE： ECi=20： 80=1： 4.【點評】此題主要是運用所學的解直角三角形的知識解決實際生活中的問 題.分析梯形ABCD面積=梯形AiB1clD面積，是解題的關鍵；還要熟悉坡度公 式.25 .如圖，已知RtAABC中，ZACB=90, CD是斜邊AB上的中線，過點A作AE_LCD, AE 分別與 CD、CB 相交于點 H、E, AH=2CH.求sinB的值;(2)如果CD=,求BE的值.C EB【考點】T7：解直角三角形；KP：直角三角形斜邊上的中線.【專題】解答題【分析】根據NACB=90。，CD是斜邊AB上的中線，可得出CD=BD,則/B= NBCD,再由 AECD,可證明 NB=NCAH,由 AH=2CH,可得出 CH： AC=1： 泥，即可得出sinB的值；(2)根據sinB的值,可得出AC： AB=1：泥，再由AB=2盜，得AC=2,則CE=1, 從而得出BE.【解答】解：NACB=90, CD是斜邊AB上的中線,/CD=BD,AZB=ZBCD,VAECD,AZCAH+ZACH=90,XZACB=90AZBCD+ZACH=90，NB=NBCD=NCAH,即 NB=NCAH,VAH=2CH,，由勾股定理得AC=J8h,ACH： AC=1：逐,/.sinB=-； 5(2)：sinB二叵5/.AC： AB=1：近，AAC=2.