1、極射赤平投影CAD圖解及其在巖質邊坡穩定性分析中的應用  一、序言巖質邊坡穩定性分析方法有許多，但無論是平面滑動的單一楔形斷面滑體、單滑塊和多滑塊分析法，還是楔體滑動的仿平面分析法、楔體分割法、立體分析法、霍克分析法以及巖土工程勘察規范（GB5002194）推薦法等，在計算邊坡穩定性系數時，需要知道滑體控制平面（包括結構面和坡面、坡頂面）或直線（包括平面的法線）的地質產狀，以及平面與平面、直線與直線、直線與平面間夾角等。其中平面和直線的產狀可以通過現場測量獲取，除此之外的幾何參數，在沒有發明極射赤平投影之前，都是用計算法求得，不僅它們的計算公式復雜，而且計算過程繁瑣，也很容

2、易出錯。如果采用極射赤平投影求解邊坡穩定性分析所需的幾何參數，那就可以簡化這些幾何參數的計算過程，而且一般情況下只需要在現場測量出各個控制平面的地質產狀即可。 二、極射赤平投影的基本原理（一）投影要素極射赤平投影（以下簡稱赤平投影）以圓球作為投影工具，其進行投影的各個組成部分稱為投影要素，包括：1.投影球（也稱投射球）：以任意長為半徑的球。    2.球面：投影球的表面稱為球面。    3.赤平面（也稱赤平投影面）：過投影球球心的水平面。    4.大圓：通過球心的平面與球面相交而成的圓，統稱為

3、大圓（如圖一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圓的直徑相等，且都等于投影球的直徑。當平面直立時，與球面相交成的大圓稱為直立大圓（如圖一（a）中PSFN）；當平面水平時，與球面相交成的大圓稱為赤平大圓或基圓（如圖一（a）中NESW）；當平面傾斜時，與球面相交成的大圓稱為傾斜大圓（如圖一（a）中ASBN）。    5.小圓：不過球心的平面與球面相而成的圓，統稱為小圓（如圖一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。當平面直立時，與球面相交成的小圓稱為直立小圓（如圖一（b）中DC）；當平面水平時，與球面相交成的小圓稱為水平小圓（如圖一（b）中AB）；當平

4、面傾斜時，與球面相交成的小圓稱為傾斜小圓（如圖一（b）中FG或圖一（c）中PACB）。 6.極射點：投影球上兩極的發射點（如圖一），分上極射點（P）和下極射點（F）。由上極射點（P）把下半球的幾何要素投影到赤平面上的投影稱為下半球投影；由下極射點（F）把上半球的幾何要素投影到赤平面上的投影稱為上半球設影。一般采用下半球投影。    7.極點：通過球心的直線與球面的交點稱為極點，一條直線有兩個極點。鉛直線交球面上、下兩個點（也就是極射點）；水平直線交基圓上兩點；傾斜直線交球面上兩點（如圖五中A、B）。（二）平面的赤平投影平面與球面相交成大圓或小圓，我們把大圓或小圓上

5、各點和上極射點（P）的連線與赤平面相交各點連線稱為相應平面的赤平投影。    1.過球心平面的赤平投影隨平面的傾斜而變化：傾斜平面的赤平投影為大圓弧（如圖二中的NBS）；直立平面的赤平投影是基圓的一條直徑（如圖一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圓（如圖一中的NESW）。    2.不過球心平面的赤平投影也隨平面傾斜而變化：直立平面的赤平投影是基圓內的一條圓弧（如圖三KDH）；傾斜平面的赤平投影有以下三種情況：當傾斜小圓在赤平面以下時，投影是一個圓，且全部在基圓之內（如圖三FG）；當傾斜小圓全部位于上半球時，投影也是一個圓，但全

6、部在基圓之外；當傾斜小圓一部分在上半球，另一部分在下半球時，赤平面以下部分的投影在基圓之內，以上部分的投影在基圓之外。當球面小圓通過上極射點時，其赤平投影為一條直線（如圖一（c）中PACB的投影為AB）；水平小圓的赤平投影在基圓內（如圖四中AB），AB是一個與基圓同心的圓。（三）直線的赤平投影    直線AB的投影點就是其極點A、B和極射點P的連線與赤平面的交點A、B。鉛直線的投影點位于基圓中心；過球心的水平直線的投影點就是基圓上兩個極點，兩點間距離等于基圓直徑；傾斜直線的投影點有兩個，一點在基圓內，另一個在基圓外，兩點呈對蹼點，在赤平投影圖上兩點的角距相差180

7、°（如圖五）。（四）吳氏網及其CAD制作    目前廣泛使用的極射赤平投影有等角距投影網和等面積投影網。等角距投影網是由吳爾福發明的，簡稱吳氏網；等面積投影網是由施密特發明的，簡稱施氏網。兩者的主要區別在于：球面上大小相等的小圓在吳氏網上的投影仍然是圓，投影圓的直徑角距相等，但由于在赤平面上所處位置不同，投影圓的大小不等，其直徑隨著投影圓圓心與基圓圓心的距離增大而增大。而在施氏網上的投影則呈四級曲線，不成圓，但四級曲線所構成的圖形面積是相等的，且等于球面小圓面積的一半。使用吳氏網求解面、線間的角距關系時，旋轉操作顯示其優越性，不僅作圖方便，而且較為精確。

8、而使用施氏網時，可以作出面、線的極點圖或等密度圖，能夠真實反映球面上極點分布的疏密，有助于對面、線群進行統計分析，但其存在作圖麻煩等缺點。吳氏網（圖六）由基圓、南北經向大圓弧（NGS）、東西緯向小圓弧（ACB）等經緯線組成。標準吳氏網的基圓直徑為20cm，經、緯線間的角距為2°。 (1)基圓，由指北方向（N）為0°,順時針方向刻出360°，這些刻度起著量度方位角的作用； (2)經向大圓弧是由一系列通過球心，走向南北，分別向西和向東傾斜，傾角由0°到90°（角距間隔為2°）的許多赤平投影大圓弧所組成。這些大圓弧與東西直徑線EW的交點到端

9、點（E點和W點）的距離分別代表各平面的傾角。如圖六中GW表示的大圓弧NGS所代表的平面向西傾斜，傾角為30°。 (3)緯向線是由一系列走向東西的直立平面的赤平投影小圓弧所組成。這些小圓弧離基圓的圓心O愈遠，其所代表的球面小圓的半徑角距就愈小，反之離圓心O愈近，則半徑角距就愈大。相鄰緯向小圓弧間的角距也是2°，它分割南北直徑線的距離，與經向大圓弧分割東西徑線的距離是相等的。如圖六所示，EDSHWGNF，角距都為30°。     繪制吳氏網，其實質就是在赤平大圓上畫出經向大圓弧和緯向小圓弧。那么這些大圓弧和小圓弧都是怎樣是繪制出

10、來的呢？在沒有CAD制圖系統軟件以前，人們通過平面幾何關系利用圓規、直尺等原始工具繪制，其繪制過程很復雜。而在CAD制圖系統軟件下，繪制大圓弧和小圓弧是非常簡的，下面就介紹它們的原理和繪制過程。(1)繪制大圓弧的原理與步驟要繪制大圓弧，應至少知道大圓弧上的三個點N、S、B（如圖二所示），其中N、S點是每條大圓弧都必須經過的，是已知點。現在只要能確定經向大圓弧與東西徑線EW的交點B，問題就迎刃而解。 計算OB長度 根據傾斜平面的傾角、基圓的直徑，可按下式計算點O與點B之間的距離（公式一）式中R基圓的半徑； 大圓弧所代表平面的傾角（°）。 以基圓的圓心為圓心，OB長為半徑畫一個圓，該圓與

11、基圓的東西徑向線EW交于B點。 過N、S、B三個點畫一個圓，并剪掉基圓外部分，大圓弧也就繪制完成。     (2)繪制小圓弧的原理與步驟要繪制半徑角距為 的小圓弧，同樣也應至少知道小圓弧上的三個點（如圖六所示的A、C、B三個點）。根據吳氏網的結構與原理，可以通過CAD制圖確定A、C、B三個點的位置。 確定點C，首先用公式一計算點O與點C間距離，但其中 為小圓弧的半徑角距；然后以基圓的圓心為圓心，OC長為半徑畫圓，該圓與基圓的南北徑向線NS交于C點。 以基圓的圓心為基點，將南北徑線ON分別逆時針和順時針旋轉角度，得兩條直線，分別與基圓交于A、B點 

12、; 。 過A、C、B三個點畫一個圓，并剪掉基圓外部分，小圓弧也就繪制完成。三、赤平投影網CAD圖解的應用利用傳統標準吳氏網對平面、直線進行投影時，一般步驟是：把透明紙（或透明膠片等）蒙在吳氏網上，畫基圓及“十”字網心，并用針固定于網心上，使透明紙能夠繞網心旋轉。然后在透明紙上標出E、S、W、N，以正北（N）為0°，順時針數到360°。東西直徑EW確定傾角，一般是圓周為0°，至圓心為90°。這樣做具有以下缺點：一是較麻煩，二是當旋轉透明紙時，容易從針孔處發生破裂而移位；三就是準確性不高；四是效率低。如果用CAD制圖，則可避免上述不足，且使作圖更簡化，用不著

13、吳氏網中的那么多的經、緯線，只需要畫出基圓及其南北徑線和東西徑線。1.平面赤平投影的CAD圖解（如圖七）例1：一平面產狀126°30°，繪制其赤平投影圖。(1)繪制一直徑為20cm的基圓，同時畫出鉛直和水平兩條直徑，并標出E、S、W、N。后面的例子均需要這一步，畫法與之相同，所以不再重復。(2)平面的傾向是126°，則其走向為36°。將南北徑線繞基圓的圓心O順時針旋轉36°到達AB位置，與基圓交于A、B兩點，則AB就是平面的走向線。(3)以基圓的圓心O為基點，將射線ON順時針旋轉126°到達OD位置，與基圓相交于點D，則OD即為該平面

14、的傾向線。 (4)用公式一計算線段OC長度。以基圓的圓心O為圓心，OC為半徑畫圓，交OD于C點。 (5)采用三點法，即過A、C、B三點畫圓，并切掉基圓外部分，所得大圓弧ACB即為該平面的赤平投影。2.直線赤平投影的CAD圖解（如圖八）例2：一直線產狀330°40°，繪制其赤平投影圖。(1)將ON繞圓心O順時針旋轉330°后到達OA位置，與基圓交于點A，則OA即為該直線的傾伏向。 (2)用公式一計算OA值。以基圓的圓心O為圓心，OA為半徑畫圓，交OA于A點，則點A即為該直線的赤平投影。3.平面法線赤平投影的CAD圖解（如圖九）例3：一平面產狀為105°40

15、°，繪制其法線的赤平投影。    (1)按例1所述方法，繪制產狀為105°40°平面的赤平投影大圓弧NBS。 (2)平面法線的傾角與平面的傾角之和等于90°，因此平面法線的傾角為50°。用公式一計算OA。以基圓的圓心O為圓心，OA為半徑畫圓，交BO的延長線于A點，則A點為該平面法線的赤面投影，也稱其為平面的極點。    由于平面法線傾向與平面傾向相反，相差180°，平面法線的傾角與平面的傾角之和等于90°，因此也可根據平面法線產狀與平面產狀間的這

16、種關系，首先計算法線的產狀為285°50°，然后再按例2方法繪制法線的赤平投影。例4：已知兩直線180°20°和90°32.3°相交，用赤平投影法求解這兩條直線所構成平面的產狀（如圖十（a）、（b）。(1)為很好地利用CAD制圖解決這個問題，引入兩條直線傾角與平面傾角間的關系式：     tan2sin2=tan21+tan2-2tan1tan2cos （公式二）式中兩條相交直線所構成平面的傾角（°）； 1、2分別為兩條直線的傾伏角（°）； 兩條直線傾向夾角（°）。

17、用公式二計算兩條直線所構成平面的傾角為=36.13°。(2)確定投影大圓弧的圓心O，點O應在線段CF的垂直平分線上。要確定點O的位置，需要用下列公式計算平面的赤平投影大圓弧的半徑。計算出赤平投影大圓弧的半徑 后，再以點C或者點F為圓心畫圓，與線段CF的垂直平分線相交于點O。（公式三）式中R赤平投影大圓弧的半徑; R基圓的半徑。(3)確定平面的走向AB：以O為圓心，以 為半徑畫圓，與基圓相交于兩點A、B，則AB即為所求平面的走向，為30°。由此算出該平面的傾向為120°。因此所求平面產狀為120°36°。此外，兩條直線所構所平面的傾向，也可由下式

18、計算確定：（公式四）式中平面傾向與直線1傾向之差；其余符號意義同公式二。5相交兩條直線的夾角及其角平分線例5：用赤平投影法求解例4兩條直線的夾角及其角平分線（圖十（c）。(1)按例4作法，確定兩條直線所構成平面的赤平投影，即大圓弧AFCB，其產狀約為120°36°。 (2)量取大圓弧上C與F間的角距為54°，即相交兩條直線的夾角為54°。該圓弧CF段的角距平分點G（27°）就是相交兩條直線夾角平分線的赤平投影，由此可以確定兩條相交直線夾角平分線的產狀為139.67°34.51°。除上述作圖法外，還可用下式計算兩條相交直線的夾

19、角：（公式五）式中兩條相交直線的夾角（°）；其余符號的意義同前。6.平面上一直線的傾伏和側伏（如圖十一）例6：已知平面產狀180° （ 36°），平面上一條直線AC的側伏向E、側伏角（ =44°，是指該平面走向線與該直線所夾的銳角），用赤平投影法求解該直線的傾伏向和傾伏角。(1)按例1做法，繪制平面的赤平投影大圓弧EDW。    (2)以EW為南北向徑線（假定），作半徑角距等于（ =44°)的緯向小圓弧GDK（應為兩條，另一條未畫出），與平面的赤平投影大圓弧EDW相交于C點。連接點O與點C，并延長，與基圓相交于C點

20、。    (3)點C即所求直線的赤平投影。圖上量得線段OC的長度，然后用公式一求得直線的傾伏角24.71°。    (4)點C對應的角度為127.64°，即為所求直線的傾伏向。因此該直線的產狀為127.64°24.71°。平面上一條直線的傾伏或側伏，可以相互換算，除采用上面的CAD制 圖方法外，也可用下列公式計算：（公式六）（公式七）式中平面傾角（°）；平面上直線的側伏角（°）；直線的傾伏角（°）；平面傾向與直線傾向之差（°）

21、。7.兩個平面交線的產狀（如圖十二（a）例7：已知兩個平面70°40°和290°30°，用赤平投影法求解這兩個平面交線產狀。    (1)按例1做法，分別繪制出兩個平面的赤面投影大圓弧APB和CPD，兩條大圓弧相交于P點，該點即為兩個平面交線的赤平投影。    (2)連結OP，并量得OP的長度。然后用公式一求得交線的傾伏角為=13.14°；OP所在徑線方向即為交線的傾伏向，量得交線的傾伏向為365.15°。即兩個平面交線產狀為365.15°13.

22、14°。8兩個平面的夾角及其夾角的等分面（如圖十二（b）例8：已知條件同例7，用赤平投影法求解兩個平面的夾角及其夾角的等分面。    (1)繪制兩個平面的公垂面，由于以點P為投影的直線就是公垂面的法線，因此公垂面的產狀為176.15°76.86°，按例1做法繪制公垂面的赤平投影大圓弧FIHG，與兩個已知平面的赤平投影大圓弧分別相交于點H、點I。這兩點所代表的直線產狀分為：直線H為96.27°36.96°；直線I為259.48°26.44°。(2)點H、點I所代表的兩條直線的夾角就是兩個

23、平面的夾角，可根據兩條直線的產狀，由公式五計算求得，結果為114.66°。也可先用公式六分別求出兩條直線在公垂面上的側伏角，分別為：直線H的側伏角為38.128°；直線I的側伏角為27.209°。 則兩條直線的夾角為180°（38.128°27.209°）114.66°。 (3)公垂面的投影大圓弧上點H、點I間弧段的中點K在兩個平面的等分面的投影大圓弧上，投影點K的直線產狀204.74°75.11°。點P也在等分面的投影大圓弧上，其產狀也已求得（例7）。已知投影大圓弧上的兩個點，就可按例4做法計算出等分平

24、面的傾角和其赤平投影大圓弧的半徑，并繪制出經過這兩點的大圓弧QKM。該大圓弧對應的平面即為已知兩個平面夾角的等分面，其產狀為267.76°83.12°。9.一條直線與一個平面的夾角（如圖十三）例9：一平面產狀120°50°，一直線產狀320°20°，用赤平投影法求解直線與平面的夾角。 (1)按例1做法繪制已知平面的赤平投影大圓弧ADB。    (2)按例2做法繪制已知直線的赤平投影，即投影點C。    (3)按例3做法繪制已知平面法線的投影極點P。

25、0;   (4)按例4做法繪制經過點C、P的大圓弧CPD，其所代表的平面與已知平面垂直，其產狀為244.06°56.28°。 用公式六分別求出直線C和直線P在平面CPD上的側伏角，直線C的側伏角為24.280°，直線P的側伏角為50.606°，也就是平面法線與已知直線的夾角為50.606°24.280°26.33°，因此已知直線與平面的夾角為90.00°26.33°63.67°。 四、用赤平投影求解邊坡穩定問題在巖質邊坡穩定性分析與計算中，赤平投影可用來初

26、步判定邊坡穩定性，求解邊坡穩定性系數計算所需的幾何參數。（一）邊坡穩定性初步判別圖十四所示的邊坡楔體，假定只有摩擦力抵抗滑動，且兩個結構面的摩擦角相同，且都等于，則楔體可能滑動的條件是兩個結構面交線的赤平投影，即它的投影點應落在坡面大圓弧與摩擦圓所圍成的范圍內（圖十四(b)中陰影部分），即（其中 為在正交交線視圖上的坡面傾角； 為結構面交線傾角；為結構面內摩擦角）。據此可以迅速判別楔體是否會產生滑動。（二）求解邊坡穩定性系數計算所需的幾何參數邊坡穩定性系數計算所需的幾何參數包括平面和直線的產狀，以及平面與平面、直線與直線、直線與平面夾角等。除平面和直線的產狀可現場量測外（平面和平面交線、平面法

27、線也可用赤平投影法求解），其余幾何參數都可用赤平投影法求解。前面已經介紹過這些幾何參數的赤平投影求解方法，下面舉例說明赤平投影在邊坡穩定性系數計算中的具體應用。如圖十五所示的邊坡楔體，坡面、坡頂面、結構面A和B等產狀及其它技術參數如表1。       計算楔體穩定系數之前，首先應繪制四個平面的赤平投影大圓弧以及兩個結構面的法線投影極點（如圖十六），并求得各交線及法線的產狀如下： 法線PA：285°45°； 法線PB：55°20°； 交線1：121.55°43.79°； 交線2：195