1、第四節 函數的單調性與曲線的凹凸性與極值教學目的：理解函數的單調性和曲線的凹凸性的判定定理，會求函數的單調區間和曲線的凹凸區間，理解函數極值的概念，會求函數極值。教學重點：掌握用一階導數判斷函數的單調性和利用二階導數判斷曲線的凹凸性的方法和極值。教學難點：導數不存在的連續點、也可能是單調區間和曲線的凹凸區間的分界點。教學內容： 一、函數單調性的判定法 如果函數在上單調增加（單調減少）, 那么它的圖形是一條沿軸正向上升（下降）的曲線. 這時曲線的各點處的切線斜率是非負的（是非正的）, 即 (或) 由此可見, 函數的單調性與導數的符號有著密切的關系. 反過來, 能否用導數的符號來判定函數的單調性呢

2、？ 定理1 (函數單調性的判定法) 設函數在上連續, 在內可導. (1)如果在內, 那么函數在上單調增加; (2)如果在內, 那么函數在上單調減少. 證明 只證(1)（2）可類似證得）在上任取兩點, 應用拉格朗日中值定理, 得到. 由于在上式中, 因此, 如果在內導數保持正號, 即, 那么也有, 于是從而，因此函數在上單調增加. 證畢 注: 判定法中的閉區間可換成其他各種區間. 例1 判定函數在上的單調性. 解 因為在內, 所以由判定法可知函數在上單調增加. 例2 討論函數的單調性. 解 由于 且函數的定義域為 令, 得, 因為在內, 所以函數在上單調減少; 又在內, 所以函數在上單調增加.

3、例3. 討論函數的單調性. 解: 顯然函數的定義域為, 而函數的導數為 所以函數在處不可導. 又因為時, 所以函數在上單調減少; 因為時, , 所以函數在上單調增加. 說明: 如果函數在定義區間上連續, 除去有限個導數不存在的點外導數存在且連續, 那么只要用方程的根及導數不存在的點來劃分函數的定義區間, 就能保證在各個部分區間內保持固定的符號, 因而函數在每個部分區間上單調. 例4. 確定函數的單調區間. 解 該函數的定義域為. 而,令, 得. 列表 +-+函數f(x)在區間和內單調增加, 在區間上單調減少. 例5. 討論函數的單調性. 解 函數的定義域為 函數的導數為:, 除時, 外, 在其

4、余各點處均有 因此函數在區間上單調減少; 因為當時, , 所以函數在及上都是單調增加的. 從而在整個定義域內是單調增加的. 其在處曲線有一水平切線. 說明:一般地, 如果在某區間內的有限個點處為零, 在其余各點處均為正（或負）時, 那么在該區間上仍舊是單調增加（或單調減少）的. 例6. 證明: 當時, . 證明: 令, 則 因為當時, 因此在上單調增加, 從而當時, ,又由于, 故, 即, 也就是,(). 二、曲線的凹凸與拐點1. 凹凸性的概念: x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) 定義 設在區間I上連續, 如果對I上任意兩點 , 恒

5、有, 那么稱在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么稱在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧). 定義¢ 設函數在區間I上連續, 如果函數的曲線位于其上任意一點的切線的上方，則稱該曲線在區間I上是凹的；如果函數的曲線位于其上任意一點的切線的下方，則稱該曲線在區間I上是凸的.凹凸性的判定 定理 設在上連續, 在(a, b)內具有一階和二階導數, 那么 (1)若在內, 則在上的圖形是凹的; (2)若在內 , 則在上的圖形是凸的. 證明 只證(1)(2)的證明類似). 設, 記. 由拉格朗日中值公式, 得 , , , , 兩式相加并應用拉格朗日中值公式得 , , 即, 所以在上

6、的圖形是凹的. 拐點: 連續曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點. 確定曲線的凹凸區間和拐點的步驟: (1)確定函數的定義域; (2)求出在二階導數 ; (3)求使二階導數為零的點和使二階導數不存在的點; (4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區間和拐點; 注: 根據具體情況（1）、（3）步有時省略. 例1. 判斷曲線的凹凸性. 解: , . 因為在函數的定義域內, , 所以曲線是凸的. 例2. 判斷曲線的凹凸性. 解: 因為 , . 令 得. 當時, , 所以曲線在內為凸的; 當時, 所以曲線在內為凹的. 例3. 求曲線的拐點. 解: , ，令, 得. 因為當時,; 當時, , 所以點(

7、, )是曲線的拐點. 例4. 求曲線的拐點及凹、凸的區間. 解: (1)函數的定義域為; (2) ,; (3)解方程, 得, ; (4)列表判斷: (-¥, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +¥) f ¢¢(x) + 0 - 0 + È 1 Ç 11/27 È 在區間和上曲線是凹的, 在區間上曲線是凸的. 點 和是曲線的拐點. 例5 問曲線是否有拐點？ 解 , . 當時, , 在區間內曲線是凹的, 因此曲線無拐點. 例6. 求曲線的拐點. 解 (1)函數的定義域為; (2) , ; (3)函數無二階導數為零的

8、點，二階導數不存在的點為 ; (4)判斷: 當時,; 當時, . 因此, 點是曲線的拐點. 三、函數的極值及其求法 定義 設函數在的某一鄰域內有定義, 如果對于去心鄰域內的任一，有（或）, 則稱是函數的一個極大值（或極小值）. 函數的極大值與極小值統稱為函數的極值, 使函數取得極值的點稱為極值點. 說明：函數的極大值和極小值概念是局部性的. 如果是函數的一個極大值, 那只是就附近的一個局部范圍來說, 是的一個最大值; 如果就的整個定義域來說, 不一定是最大值. 對于極小值情況類似. 極值與水平切線的關系: 在函數取得極值處, 曲線上的切線是水平的. 但曲線上有水平切線的地方, 函數不一定取得極

9、值. 定理3 (必要條件)設函數在點處可導, 且在處取得極值, 那么函數在處的導數為零, 即. 定理1可敘述為：可導函數的極值點必定是函數的駐點. 但是反過來, 函數的駐點卻不一定是極值點. 考察函數在處的情況. 顯然是函數的駐點，但卻不是函數的極值點. 定理4 (第一種充分條件)設函數在點處連續, 在的某去心鄰域內可導. (1) 若時，, 而時，, 則函數在處取得極大值; (2) 若時，, 而時，, 則函數在處取得極小值; (3)如果時，不改變符號, 則函數在處沒有極值. 定理2也可簡單地敘述為: 當在的鄰近漸增地經過時, 如果的符號由負變正, 那么在處取得極大值; 如果的符號由正變負, 那

10、么在處取得極小值; 如果的符號并不改變, 那么在處沒有極值. 確定極值點和極值的步驟: (1)求出導數; (2)求出的全部駐點和不可導點; (3)列表判斷(考察的符號在每個駐點和不可導點的左右鄰近的情況, 以便確定該點是否是極值點, 如果是極值點, 還要按定理2確定對應的函數值是極大值還是極小值); (4)確定出函數的所有極值點和極值. 例1 求出函數的極值解 令得駐點 列表討論極大值極小值所以極大值極小值函數的圖形如下例2 求函數的極值. 解 顯然函數在內連續, 除外處處可導, 且 令, 得駐點，為的不可導點; (3)列表判斷 -11+不可導-0+0所以極大值為, 極小值為. 如果存在二階導

11、數且在駐點處的二階導數不為零則有 定理5 (第二種充分條件) 設函數在點處具有二階導數且, , 那么 (1)當時, 函數在處取得極大值; (1)當時, 函數在處取得極小值; 證明 對情形(1), 由于, 由二階導數的定義有. 根據函數極限的局部保號性, 當在的足夠小的去心鄰域內時, . 但, 所以上式即為. 于是對于去心鄰域內的來說, 與符號相反. 因此, 當即時,; 當即時,. 根據定理2, 在處取得極大值. 類似地可以證明情形(2). 說明：如果函數在駐點處的二導數, 那么該點一定是極值點, 并可以按的符來判定是極大值還是極小值. 但如果, 定理3就不能應用. 例如討論函數, 在點是否有極

12、值？因為, ，所以，但當時, 當時, 所以為極小值.而,，所以，但 不是極值 例3 求出函數 的極值解 令得駐點 ，由于由于 所以極大值而所以極小值函數 的圖形如下注意 當時，在點處不一定取得極值，此時仍用定理2判斷。 函數的不可導點,也可能是函數的極值點. 例4 求函數的極值. 解 ,令f ¢(x)=0, 求得駐點 又, 所以 因此在處取得極小值, 極小值為. 因為, 所以用定理3無法判別. 而在處的左右鄰域內, 所以在處沒有極值; 同理, 在處也沒有極值. 四、小結曲線的彎曲方向曲線的凹凸性;凹凸性的判定.改變彎曲方向的點拐點;拐點的求法1, 2.五、作業 作業卡：P159 3.

13、單 4單.7雙.8. 第五節 數學建模最優化教學目的：掌握函數最大值、最小值的求法及其簡單應用教學重點：掌握函數最大值、最小值的求法教學難點：掌握函數最大值、最小值的求法教學內容：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、十一、十二、十三、十四、 一、最大值最小值問題1極值與最值的關系: 設函數在閉區間上連續, 則函數的最大值和最小值一定存在. 函數的最大值和最小值有可能在區間的端點取得, 如果最大值不在區間的端點取得, 則必在開區間內取得, 在這種情況下, 最大值一定是函數的極大值. 因此, 函數在閉區間上的最大值一定是函數的所有極大值和函數在區間端點的函數值中最大者. 同理, 函數在閉區間a

14、, b上的最小值一定是函數的所有極小值和函數在區間端點的函數值中最小者. 2最大值和最小值的求法: 設在內的駐點和不可導點(它們是可能的極值點)為, 則比較的大小, 其中最大的便是函數在上的最大值, 最小的便是函數在上的最小值. 求最大值和最小值的步驟(1).求駐點和不可導點;(2).求區間端點及駐點和不可導點的函數值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:如果區間內只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)例1 求函數在上的最大值和最小值解 由于 因此函數在上的最大值為最小值為 3. 最大值、最小值的應用實際問題求最值步驟:(1)建立目標函數; (2)求最值.

15、例2 工廠鐵路線上AB段的距離為100km. 工廠C距A處為20km, AC垂直于AB. 為了運輸需要, 要在AB線上選定一點D向工廠修筑一條公路. 已知鐵路每公里貨運的運費與公路上每公里貨運的運費之比3:5. 為了使貨物從供應站B運到工廠C的運費最省, 問D點應選在何處？解 設, 則 , . 再設從B點到C點需要的總運費為y, 那么(是某個正數)即. 于是問題歸結為: 在內取何值時目標函數的值最小. 先求對的導數: .解方程得. 由于, , 其中以為最小, 因此當時總運費最省. 注意:在一個區間(有限或無限, 開或閉)內可導且只有一個駐點, 且該駐點是函數的極值點, 那么當是極大值時, 就是

16、該區間上的最大值; 當是極小值時,就是在該區間上的最小值. f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y說明： 實際問題中往往根據問題的性質可以斷定函數確有最大值或最小值, 和一定在定義區間內部取得. 這時如果在定義區間內部只有一個駐點, 那么不必討論是否是極值就可斷定是最大值或最小值. 例3 某房地產公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費試問房租定為多少可獲得最大收入？解 設房租為每月元，租出去的房子有套 每月總

17、收入為 ， （唯一駐點）故每月每套租金為350元時收入最高.最大收入為二、對拋射體運動建模假設拋射體在時刻以初速度發射到第一象限，若以和水平線成角（拋射角），則拋射體的運動軌跡由參數方程給出，其中是重力加速度.例4 在地面上以的初速度和10秒后拋射體的位置.解 由，則 ，即發射10秒后拋射體離開發射點的水平距離為2000米，在空中高度為2974米.三、光的折射原理例5 求一條光纖從光速為的介質中的點穿過水平界面射入到光速為的介質中點和點位于平面且兩種介質的分界線為軸，點在介質分界線上，和分別表示點，點和點的坐標，和分別表示入射角和折射角.解 因為光線從到會以最快的路徑行進，所以要尋求使行進時間

18、最短的路徑. 光線從點和點所需時間為，從點和點所需時間為，故光線從點到點所需的時間（目標函數）為 這個方程描述的就是光的折射定律.四、在經濟學中的應用五、小結極值是函數的局部性概念，因此函數的極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點和不可導點統稱為臨界點. 函數的極值必在臨界點處取得.極值的判別法 要注意使用條件注意最值與極值的區別.四、作業 作業卡：第六節 函數圖形的描繪教學目的：培養學生運用微分學綜合知識的能力，描繪函數的圖形。教學重點：復習利用導數判斷函數單調性、極值的求法、利用導數判斷函數圖形的凹凸性、函數圖形拐點的求法及水平、鉛直漸近線和斜漸近線的求法。會求函數圖形的拐點以及

19、水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形。教學內容：一、漸近線 當曲線上的一動點P沿曲線移向無窮點時，如果點P到某定直線L的距離趨向于零，那么直線L就稱為曲線的一條漸近線。1 鉛直漸近線（垂直于軸的漸近線）如果或，那么就是曲線的一條鉛直漸近線。例如曲線有兩條鉛直漸近線2 水平漸近線（平行于軸的漸近線）如果或（為常數），那么就是曲線的一條水平漸近線。例如曲線有兩條水平漸近線 3 斜漸近線如果或（為常數）那么就是曲線的一條斜漸近線。注意：如果(1) 不存在；(2) 存在，而不存在, 那么曲線無斜漸近線.斜漸近線的求法：求出，則就是曲線的斜漸近線例1 求曲線的漸近線解 , 因為, 所以是鉛直漸近線又因

20、為, 所以為斜漸近線二、描繪函數圖形的一般步驟: (1)確定函數的定義域, 并求函數的一階和二階導數; (2)求出一階、二階導數為零的點, 求出一階、二階導數不存在的點; (3)列表分析, 確定曲線的單調性和凹凸性; (4)確定曲線的漸近性; (5)確定并描出曲線上極值對應的點、拐點、與坐標軸的交點、其它特殊點; (6)聯結這些點畫出函數的圖形. 例2. 做出函數的圖形. 解: 函數的定義域為 非奇非偶函數,且無對稱性., , 令, 得駐點 再令得特殊點, 又得水平漸近線,而,鉛直漸近線列表0+不存在-0+Ç拐點È極值點È間斷點È 補充點：，例3. 畫出

21、函數的圖形. 解: (1)函數的定義域為(-¥, +¥), (2) (3x+1)(x-1). 令得，再令得. (3)列表分析: (-¥, -1/3)-1/3(-1/3, 1/3)1/3(1/3, 1)1(1, +¥)+0-0+-0+Ç極大Ç拐點È極小È因為當x ®+¥時, y ®+¥ 當x ®-¥時, y ®-¥. 故無水平漸近線 計算特殊點:, , , ; , . 描點聯線畫出圖形: 例4. 作函數的圖形. 解: 函數為偶函數, 定義

22、域為(-¥, +¥), 圖形關于y軸對稱. (2), . 令, 得駐點; 再令, 得和. 列表: -101000È拐點Ç極大值Ç拐點È 曲線有水平漸近線y=0. 先作出區間內的圖形, 然后利用對稱性作出區間內的圖形. 例5. 作函數的圖形. 解: 函數的定義域為. , . 令, 得駐點; 再令, 得 列表:36-+0-0+ÇÇ極大4Ç拐點È是曲線的鉛直漸近線, 是曲線的水平漸近線. 補充點:, , ，. 圖四、作業 作業卡：第七節 曲率教學目的：了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。教

23、學重點：曲率和曲率半徑的概念。教學難點：曲率和曲率半徑的概念教學內容：一、弧微分設函數在區間內具有連續導數. 在曲線上取固定點作為度量弧長的基點, 并規定依增大的方向作為曲線的正向. 對曲線上任一點, 規定有向弧段的值（簡稱為?。┤缦? 的絕對值等于這弧段的長度, 當有向弧段的方向與曲線的正向一致時 , 相反時 . 顯然, 弧是的函數: , 而且是的單調增加函數. 下面來求的導數及微分. 設, 為內兩個鄰近的點, 它們在曲線上的對應點為M, N, 并設對應于的增量 , 弧的增量為, 于是 , , 因為=1, 又, 因此=±. 由于是單調增加函數, 從而, =. 于是 . 這就是弧微分公式. 二、曲率及其計算公式 曲率是描述曲線局部性質（彎曲程度）的量曲線彎曲程度的直觀描述: 設曲線C是光滑的, 在曲線C上選定一點作為度量弧的基點. 設曲線上點M 對應于弧, 在點M處切線的傾角為 , 曲線上另外一點N對應于弧 , 在點N處切線的傾角為. )弧段彎曲程度 轉角相同弧段越越大轉角越大 短彎曲程度越大 用比值, 即單位弧段上切線轉過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度.記