1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)，這些考題不但涉及到洛倫茲力作用下的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，而且往往與平面圖形的幾何關(guān)系相聯(lián)系，成為考查學(xué)生綜合分析問(wèn)題、 運(yùn)用數(shù)字知識(shí)解決物理問(wèn)題的難度較大的考題。但無(wú)論這類問(wèn)題情景多么新穎、設(shè)問(wèn)多么巧妙， 其關(guān)鍵一點(diǎn)在于規(guī)范、 準(zhǔn)確地畫(huà)出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。 只要確定了帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，問(wèn)題便迎刃而解。下面舉幾種確定帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的方法。一、對(duì)稱法帶電粒子如果從勻強(qiáng)磁場(chǎng)的直線邊界射入又從該邊界射出，則其軌跡關(guān)于入射點(diǎn)和出射點(diǎn)線段的中垂線對(duì)稱，且入射速度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等（如圖1）；帶電粒子如果沿半徑

2、方向射入具有圓形邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則其射出磁場(chǎng)時(shí)速度延長(zhǎng)線必過(guò)圓心（如圖 2）。利用這兩個(gè)結(jié)論可以輕松畫(huà)出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找出相應(yīng)的幾何關(guān)系。例 1如圖 3所示，直線 MN上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。正、負(fù)電子同時(shí)從同一點(diǎn)O以與成30角的同樣速度v射入磁場(chǎng)（電子質(zhì)量為，電荷為），它們從磁場(chǎng)MNme中射出時(shí)相距多遠(yuǎn)？射出的時(shí)間差是多少？解析： 正、負(fù)電子的半徑和周期是相同的。只是偏轉(zhuǎn)方向相反。先確定圓心，畫(huà)出半徑和軌跡（如圖 4），由對(duì)稱性知：射入、射出點(diǎn)和圓心恰好組成正三角形。所以兩個(gè)射出點(diǎn)相距 s=2r =，由圖還看出經(jīng)歷時(shí)間相差，所以解此題的關(guān)鍵是找圓心、找半徑和用對(duì)稱。精彩文檔實(shí)用

3、標(biāo)準(zhǔn)例 2如圖 5 所示，在半徑為r 的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子以速度v0從 M點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng)區(qū)，并由 N點(diǎn)射出， O點(diǎn)為圓心。當(dāng) MON 120時(shí)，求：帶電粒子在磁場(chǎng)區(qū)的偏轉(zhuǎn)半徑 R及在磁場(chǎng)區(qū)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。解析： 分別過(guò)M、 N點(diǎn)作半徑的垂線，此兩垂線的交點(diǎn)O即為帶電粒子作圓周OM、ON運(yùn)動(dòng)時(shí)圓弧軌道的圓心，如圖6 所示。由圖中的幾何關(guān)系可知，圓弧MN所對(duì)的軌道圓心角為60， O、O 的邊線為該圓心角的角平分線，由此可得帶電粒子圓軌道半徑為R=r/tan30 =又帶電粒子的軌道半徑可表示為：故帶電粒子運(yùn)動(dòng)周期：帶電粒子在磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間二、旋轉(zhuǎn)圓法在磁場(chǎng)中向垂直于磁場(chǎng)

4、的各個(gè)方向發(fā)射速度大小相同的帶電粒子時(shí)，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是圍繞發(fā)射點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的半徑相同的動(dòng)態(tài)圓（如圖7），用這一規(guī)律可快速確定粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)例 3如圖 8 所示， S為電子源， 它在紙面 360度范圍內(nèi)發(fā)射速度大小為 v0，質(zhì)量為 m，電量為 q 的電子（ q0）， MN是一塊足夠大的豎直擋板，與 S 的水平距離為 L，擋板左側(cè)充滿垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為mv0/ qL，求擋板被電子擊中的范圍為多大？解析：由于粒子從同一點(diǎn)向各個(gè)方向發(fā)射，粒子的軌跡為繞S 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)圓， 且動(dòng)態(tài)圓的每一個(gè)圓都是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，這樣可以作出打到最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的軌跡，如圖 9 所示，

5、最高點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與MN的相切時(shí)的交點(diǎn)P，最低點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與MN相割，且 SQ為直徑時(shí) Q為最低點(diǎn)，帶電粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力，由得：SQ為直徑，則： SQ=2L，SO=L ，由幾何關(guān)系得：P為切點(diǎn)，所以O(shè)PL ，所以粒子能擊中的范圍為。例 4（ 2010 全國(guó)新課程卷）如圖10 所示，在 0x A0 y 范圍內(nèi)有垂直于 xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大B量質(zhì)量為 m、電荷量為 q 的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy 平面內(nèi)，與 y 軸正方向的夾角分布在090范圍內(nèi)。 己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于到a 之

6、間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開(kāi)磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。求最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的：（ 1）速度大小；（2）速度方向與y 軸正方向夾角正弦。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)解析： 設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律和洛侖茲力公式得：，解得：。從 O點(diǎn)以半徑 R（ R a）作“動(dòng)態(tài)圓”，如圖11 所示，由圖不難看出，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧， 圓弧與磁場(chǎng)的邊界相切。設(shè)該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，依題意，所以 。OCA設(shè)最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子的發(fā)射方向與y 軸正方向的夾角為，由幾何關(guān)系得：，再加上，解得：，三、縮放圓法帶電

7、粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑隨著速度的變化而變化，因此其軌跡為半徑縮放的動(dòng)態(tài)圓（如圖 12），利用縮放的動(dòng)態(tài)圓，可以探索出臨界點(diǎn)的軌跡，使問(wèn)題得到解決。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)例 5如圖 13 所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為 d，一電子從左邊界垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)射入，入射方向與邊界的夾角為 ，已知電子的質(zhì)量為 m，電量為 e，要使電子能從軌道的另一側(cè)射出，求電子速度大小的范圍。解析： 如圖 14 所示，當(dāng)入射速度很小時(shí)電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界相切時(shí)，電子恰好不能從另一側(cè)射出，當(dāng)速率大于這個(gè)臨界值時(shí)便從右邊界

8、射出，設(shè)此時(shí)的速率為v0，帶電粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系得： r+r cos =d電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力：，所以：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)聯(lián)立 解 得：，所以電子從另一側(cè)射出的條件是速度大于。例 6（2010 全國(guó) II卷）如圖 15 所示，左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板的距離為d，電壓為 U，兩板間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0，方面平行于板面并垂直紙面朝里。圖中右邊有一邊長(zhǎng)為 a 的正三角形區(qū)域 EFG（EF邊與金屬板垂直） ，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。假設(shè)一系列電荷量為q 的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間，沿同

9、一方向射出金屬板間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn) H射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力。（ 1）已知這些離子中的離子甲到達(dá)邊界后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)， 求離子甲的質(zhì)量；EG（ 2）已知這些離子中的離子乙從 EG邊上的 I 點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）穿出磁場(chǎng)，且 GI 長(zhǎng)為 3a/4 ，求離子乙的質(zhì)量；（ 3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問(wèn)磁場(chǎng)邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)？解析： 由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有：qvB0 =qU/ d，解得離子的速度為：v=U/B0d（為一定數(shù)值）。雖然離子速度大小不變，但質(zhì)量 m改變，結(jié)合帶電離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

10、的半徑公式 R=mv/qB分析，可畫(huà)出不同質(zhì)量的帶電離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖 16 中的動(dòng)態(tài)圓。（ 1）由題意知，離子甲的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖17 中的半圓，半圓與EG邊相切于 A點(diǎn)，與 EF邊垂直相交于B點(diǎn)，由幾何關(guān)系可得半徑：R甲 = cos30 tan15 =（） ，aa從而求得離子甲的質(zhì)量m甲 =。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（ 2）離子乙的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖18 所示，在EIO2 中，由余弦定理得：，解得 R乙 =a/4 ，從而求得乙離子的質(zhì)量m乙 =。（ 3）由半徑公式 R=mv/qB可知 Rm，結(jié)合（ 1）（ 2）問(wèn)分析可得：若離子的質(zhì)量滿足 m甲 /2 m m甲，則所有離子都垂直 EH邊離開(kāi)磁場(chǎng)，

11、離開(kāi)磁場(chǎng)的位置到 H的距離介于R甲到 2R甲之間，即；若離子的質(zhì)量滿足m甲 m m乙 ，則所有離子都從EG邊離開(kāi)磁場(chǎng)，離開(kāi)磁場(chǎng)的位置介于 A 到 I 之間，其中AE的距離 AE=， IE 距離 IE =。四、臨界法以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語(yǔ)為突破口，借助半徑r 和速度 v以及磁場(chǎng) B之間的約束關(guān)系進(jìn)行動(dòng)態(tài)軌跡分析， 確定軌跡圓和邊界的關(guān)系， 找出臨界點(diǎn)， 然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值，畫(huà)出臨界點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵。例 7長(zhǎng)為 L 的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖19 所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 ，板間距離也為，兩極板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為電量為q的帶負(fù)電粒子（不計(jì)重力）BLm

12、從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以水平速度v 射入磁場(chǎng)， 欲使粒子打到極板上， 求初速度的范圍。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)解析： 由左手定則判定受力向下，所以向下偏轉(zhuǎn)， 恰好打到下板右邊界和左邊界為兩個(gè)臨界狀態(tài)，分別作出兩個(gè)狀態(tài)的軌跡圖，如圖 20、圖 21 所示，打到右邊界時(shí)， 在直角三角形OAB中，由幾何關(guān)系得：解得軌道半徑電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力因此打在左側(cè)邊界時(shí)，如圖21 所示，由幾何關(guān)系得軌跡半徑電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力，所以所以打在板上時(shí)速度的范圍為 v例 8如圖 22，一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd 內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)從矩形區(qū)域ad 邊中點(diǎn) O射出與 Od邊夾角為 30，大小為 v0 的帶電粒子，已知粒子質(zhì)量為, 電量為q，ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，ab邊足夠長(zhǎng)，粒子重力忽略不計(jì)。求：m（ 1）試求粒子能從 ab 邊上射出磁場(chǎng)的 v0 的大小范圍；（ 2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和在這種情況下粒子從磁場(chǎng)中射出所在邊上位置的范圍。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)解析：（ 1）畫(huà)出從 O點(diǎn)射入磁場(chǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的動(dòng)態(tài)圓，能夠從ab 邊射出的粒子的臨界軌跡如圖23 所示，軌跡與dc 邊相切時(shí)，射到ab 邊上的 A點(diǎn)，此時(shí)軌跡圓心為O1，則1得最大速度。軌道半徑 r =L，由軌跡與 ab 邊相切時(shí)， 射到 ab 邊上的 B 點(diǎn)，此時(shí)軌跡圓心為O，則軌道半徑