1、相似多邊形圖形的位似、一周知識(shí)概述1、相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的相似比.2、相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.性質(zhì)：相似多邊形的周長(zhǎng)之比等于相似比；相似多邊形的面積之比等于相似比的平方AB r =址例如：如圖所示，已知四邊形ABCDO四邊形A B C D ,且.貝V: A= A', B= B', C= C , D= D ;(勿ABDA(3)四邊形ABCD勺周長(zhǎng)：四邊形 A B' C D的周長(zhǎng)=k;S 四邊形ABCD : S四邊形A B, C D = .3、位似圖形兩個(gè)相似多邊形，如果它們

2、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線相交于一點(diǎn)，我們就把這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.位似圖形的兩個(gè)相關(guān)概念：(1)位似中心：每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)的那一點(diǎn)，叫做位似中心. 位似比：位似圖形是相似圖形，所以有相似比，這個(gè)相似比就是位似比.說(shuō)明：位似圖形必須滿足的兩個(gè)條件:(1)兩個(gè)圖形是相似圖形;(2)兩個(gè)相似圖形每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行或重合.4、位似圖形的性質(zhì)位似圖形任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.5、圖形的相似與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系:兩個(gè)圖形是相似圖形，但不一定是位似圖形;兩個(gè)圖形是位似圖形，它們一定是相似圖形.6、以原點(diǎn)為位似中心的位似變換的性質(zhì)在平面直角坐標(biāo)

3、系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k ,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或k.若原圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,y )像與原圖形的位似比為k,則像上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx, ky)或(一kx , -ky )、典型例題講解解: y <5 < 2由相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例，得 H=二=二. x=3 , y=6, z=3. 由于對(duì)應(yīng)角相等， = D=180 - A=118 = B' =180° - C =64°點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用相似多邊形特征求邊和角時(shí)，關(guān)鍵是找對(duì)對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，從而列出等式，通過(guò)解方程求解 一般地，相等的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)邊所

4、夾的角是對(duì)應(yīng)角；最大(小)的邊是對(duì)應(yīng)邊；最大(小)的角是對(duì)應(yīng)角.a + 例2、如圖所示，在一塊長(zhǎng)和寬分別為 a和b(a >b)的長(zhǎng)方形黑板的四周，鑲上寬度為X(X -)的木條,得到一個(gè)新的長(zhǎng)方形試判斷原來(lái)的長(zhǎng)方形與新長(zhǎng)方形是否相似.解:新長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a+2x ,寬為b+2x. + 2?L + 2 fi + Z-ah - 2a 2(- j)rL<-IJ=L/=.<T a > b ,x 0a + 2x + 2l. J a-2x 5 + 2s 3 ÷ 2x-h2 2x -；= 二(daa) ÷(2x-2x) -)( +-2a+bT a>b, x 二

5、, + 2 S +. B 衛(wèi).由、知，這兩個(gè)長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)邊不成比例.這個(gè)新長(zhǎng)方形與原長(zhǎng)方形不相似.點(diǎn)評(píng)： 此題看對(duì)應(yīng)邊是否成比例，用了作差的方法若差等于零，則兩比值相等；若差不等于零，則 比值不相等 找對(duì)應(yīng)邊時(shí)，注意矩形的長(zhǎng)寬都要檢查，不能只考慮一種情況.例3、某出版社一位編輯在設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面時(shí)，想把封面劃分為四個(gè)矩形，其中左上角矩形與右下角矩形相 似（如圖所示），以給人一種和諧的感覺(jué)，那么這樣的兩個(gè)矩形是怎樣設(shè)計(jì)出來(lái)的呢？分析：如圖所示，在封面矩形ABCD中，我們先作出一條橫向分割線 EF,此時(shí)要作出縱向分割線 GH使矩形AEPG與矩形PHCFf目似，關(guān)鍵要確定兩條分割線的交點(diǎn)P當(dāng)然，利用相

6、似比I-1可以算出或畫(huà)出EP來(lái)，但是在設(shè)計(jì)時(shí)，兩個(gè)相似矩形的大小會(huì)根據(jù)不同需要而改變，每次都計(jì)算顯然很麻煩，能不能找到更好的方法呢？如果能找到P點(diǎn)位置的規(guī)律就更好了現(xiàn)在假設(shè)兩個(gè)相似的矩形已經(jīng)作出來(lái)了，如圖所示，連接AP, PC,則 M 護(hù)F（對(duì)應(yīng)邊成比例），/ AEP= CFP=90 （對(duì)應(yīng)角相等），于是 AEP CFP則有 APE= CPF這樣A，P，C三點(diǎn)共線，即P點(diǎn)必在對(duì)角線 AC上.解：如圖所示，連接AC,在AC上根據(jù)需要取一點(diǎn)P,過(guò)P作EF/BqGH/AB則矩形AEPGF口矩形CFPH就是兩個(gè)相似的矩形.因?yàn)榫匦蔚拿恳粋€(gè)內(nèi)角都是直角，又由AE/ FQ AG/ CH可得 AEP CFP

7、 AGP CHPAE _ EP _ AP PG _ GA _ AP = AE _ EP _ PG _ GACFypcpjHHccp, CFrppFHcZCf,f =90c所以矩形AEP(矩形CFPH則于是 AEP CFP這樣A, P, C三點(diǎn)共線，即P點(diǎn)必在對(duì)角線AC上.例4、如圖所示，分別按下列要求作出四邊形ABCD以 O為位似中心的位似四邊形A B C' D沿OA方向放大為原圖形的2倍; 沿AO方向放大原圖形的2 倍.分析:此題兩問(wèn)都是將原圖形放大 2倍，也就是位似比為2 : 1,而 問(wèn)是沿OA方向，即從0點(diǎn)向A點(diǎn)的方向 放大；而問(wèn)是沿AO方向，即從A點(diǎn)向0點(diǎn)的方向放大.解：如圖（

8、1）所示. 連接OA并延長(zhǎng)OA到A',使A A =OA 連接OB并延長(zhǎng) OB到B',使BB =OB 連接OC并延長(zhǎng)OC到C ,使CC =OC 連接OD并延長(zhǎng) OD到D ,使DD =OD 連接 A B', B' C', C' D , D A'.則四邊形A B C D是四邊形 ABCD關(guān)于O點(diǎn)的位似圖形，且位似比為 2 ： 1.(1) (2)如圖(2)所示. 連接AO并延長(zhǎng)AO到 A ,使O A =2OA 連接 OB OC OD 并延長(zhǎng) BO CO DO到 B', C' , D ,使 OB =2OB OC =2OC OD =2

9、OD 連接 A B', B' C', C' D , D' A'.則四邊形A B C D'是四邊形 ABCD關(guān)于O點(diǎn)的位似圖形，且位似比為 2 ： 1.例5、將下圖中的 ABC乍下列變換，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，指出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)所發(fā)生的變化.沿y軸負(fù)方向平移1個(gè)單位;(2)關(guān)于X軸對(duì)稱; 以C點(diǎn)為位似中心，放大到 1.5倍.分析:作平移、對(duì)稱后的圖形與原圖全等，點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)生變化，可根據(jù)平移、對(duì)稱的特征，求出平移、對(duì)稱變換 后圖形的坐標(biāo).位似變換如果以原點(diǎn)為位似中心可按位似變換的點(diǎn)的坐標(biāo)求法求點(diǎn)的坐標(biāo).解：變換后的圖形如下圖所示.(1)將厶ABC沿 y軸負(fù)方向平移1個(gè)單位后得到 ABQ, A( 5, - 1), B(0,2) , C(0, 1).即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)減小. 將厶 ABC關(guān)于 X 軸對(duì)稱后，得 AB2G, A( 5,0) , B2(0, 3) , G(0,0)即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)(3)將厶ABC以C點(diǎn)為位似中心，放大到1.5倍得 ABG,顯然，A(