1、a2 + b2 2ab逆用就是2 , 2 , a _+b a+ b abw2 一;一N暢(a,b0)逆用就是一起三、2 ；一b 0)等.還要注意.“添、拆項.第十講基本不等式基礎梳理1基本不等式：.abw2(1) 基本不等式成立的條件：a 0, b 0.等號成立的條件：當且僅當aL時取等號.2. 幾個重要的不等式2 2(1) a + b 2ab(a, b R)；(2書+ 2(a, b同號);a + b 2 abw(a, b R);a4. 利用基本不等式求最值問題已知x 0, y0,貝U 如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，x + y有最小值是2 , p.(簡記：積定和最小) 2 如果和x+

2、 y是定值p,那么當且僅當xy時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)=助時微碑一一個技巧運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 + b2a + b 2(4)丿(a, b R).3. 算術平均數與幾何平均數a+ b設a0, b 0，則a, b的算術平均數為-，幾何平均數為ab，基本不等式可敘述為兩個正數的算術平均數大于或等于它的幾何平均數.13技巧和公式等號成立的條件等. 兩個變形2 .2 ab(a, b _ R，當且僅當.a = .b.時取等號a + b72飛2.丿(1) ； a2+ b2 a + b .一 2(2) 丁 ab廠(a0, b0,當且僅當a = b時取等號)

3、.a+ b這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們三個注意(1)使用基本丕等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等.”的忽 視:.要利用.基本不等式求最值，這三個條件缺一不可.在運用基本不等式時，要特別注意“.拆”.“ 一拼”.“.湊”等技巧，使其滿足基本不等式中.“正一”“定”“等的.條件. 連續使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致. 雙基自測11. 函數 y= x+ x(x 0)的值域為a l b42 .下列不等式： a?+ 1 2a;w 2 :x + 2 .1,其中正確的個數是Vabx + 13.若a 0, b 0,且a+ 2b 2= 0

4、,貝U ab的最大值為14.若函數f(x)= x+(x2)在x= a處取最小值，則 a=X 22t利用基本不等式求函數最值時，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”.常用的方法為：拆、湊、代換、平方. 【訓練1】(1)已知x 1,則f(x) = x+的最小值為x 1 2已知0v xv 5，貝V y= 2x 5x的最大值為.若x, y (0,+s )且2x+ 8y xy= 0,貝U x + y的最小值為 .考向二利用基本不等式證明不等式【例2 ?已知a 0, b 0, c0，求證: 4t+ 15.已知t 0，則函數y=： 的最小值為考向一利用基本不等式求最值【例1】1 1?(1)已知

5、x0, y0,且2x+ y= 1，則+勺的最小值為2xbc + 貿+ ab a + b + c. a b c當x0時，貝y f(x)= x的最大值為丿處-處利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理最后轉 化為需證問題.b0, c0，且 a+ b + c= 1.【訓練2】已知a0,111求證：-+ - + - 9.a b c考向三 利用基本不等式解決恒成立問題【例3】？若對任意x 0, 2丄:丄4 0, y 0,xy= x+ 2y,若xy m 2恒成立，貝U實數m的最大值是 考向三利用基本不等

6、式解實際問題【例3】？某單位建造一間地面面積為 12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制， 房子側面的長度x不得超過5 m 房屋正面的造價為 400元/m2,房屋側面的造價為150元/m2, 屋頂和地面的造價費用合計為5 800元，如果墻高為3 m,且不計房屋背面的費用.當側面的長度為多少時，總造價最低？解實際應用題要注意以下幾點：(1) 設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數；(2) 根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最值；(3) 在求函數的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解.【訓練3】東海水晶制品廠去年的年產量

7、為10萬件，每件水晶產品的銷售價格為100元，固定成本為80元從今年起，工廠投入100萬元科技成本并計劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本.預計產量每年遞增1萬件，每件水晶產品的固定成本g(n)與科技成本80的投入次數n的關系是g(n)=.若水晶產品的銷售價格不變，第n次投入后的年利潤為心+ 1f(n)萬元.(1) 求出f(n)的表達式；(2) 求從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？考向四 忽視基本不等式成立的條件致誤1 2【例4】？已知a 0, b 0，且a + b= 1，求丄+ 2的最小值.a b1 1【試一試】設a b 0,則齊語+占的最小值是 基礎檢測1. 已知函數f(

8、x)= Iog2(x 2).若實數 m,n滿足f(m) + f(2n) = 3，則m+ n的最小值是 2. 若a, b均為大于1的正數，且 ab= 100,則lg a lg b的最大值是 x2 + 23. 函數v=7(x1)的最小值是x 14. 設a0, b0，且不等式1 + E+J0恒成立，則實數k的最小值等于 .a b a+ bx2 + f s+1K+ st+ 15. 已知實數 x, s, t滿足8x+ 9t= s,且x s,則?的最小值為 x+16. 若 a, b, c 0,且 a2 + ab+ ac+ bc= 4,貝V 2a + b + c 的最小值為 .第4講基本不等式【2013年高

9、考會這樣考】1. 考查應用基本不等式求最值、證明不等式的問題.2 考查應用基本不等式解決實際問題.【復習指導】1 突出對基本不等式取等號的條件及運算能力的強化訓練.2訓練過程中注意對等價轉化、分類討論及邏輯推理能力的培養.a jKAOJIZIZHUDAOXUE一一一 一八一一 一一 一一“一一 一一 “ 十一“八一八一 一，01冷考基自主導學魅竜毋記，費學相長基礎梳理a l b1.基本不等式：.abw2(1)基本不等式成立的條件：a 0, b 0.等號成立的條件：當且僅當ab時取等號.2. 幾個重要的不等式(1) a2+ b2 2ab(a, b R)；(2) b+ 2(a, b 同號);a b

10、abw ab 2(a, b R);(4) a 2 b/(a, b R).3. 算術平均數與幾何平均數a b設a0, b 0，則a, b的算術平均數為 號，幾何平均數為.ab，基本不等式可敘述為兩 個正數的算術平均數大于或等于它的幾何平均數.4. 利用基本不等式求最值問題已知x 0, y0,貝U(1) 如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，x + y有最小值是 2,p.(簡記：積定和最小)2(2) 如果和x+ y是定值p,那么當且僅當xy時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)助暫 . ab（a,運用公式解.題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2 土 .b2 2 ab逆用就是 b

11、 0)逆用就是 abW 寧 2(a，b0)等. 還要注意.“添、拆項技巧和公式等號成立的條件等. 兩個變形2 1 -2ab(a, b R，當且僅當a = b時取等號);.2 a + b2-a + b a + b 2.b（a0,b 0,當且僅當-a -b 時取等號）.a b這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們.三個注意(1)使用基本丕等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等.”的忽.視要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可.(2)在運用基本不等式.時，要特別注意“拆”“一拼”“湊”等技巧，便其滿足基.本不等式中“正” “定” “等”的條件.(3) 連續使用公式時取等號的條

12、件很嚴格，要求同.時滿足任何一次的字母取值存在且一致.雙基自測11.(人教A版教材習題改編)函數y= x+ -(x 0)的值域為().入1解析 Tx 0, y= x+-2,x當且僅當x= 1時取等號.a + b1ab解析2 1不正確，正確，x2+x2+ 1a0, b 0,且 a+ 2b-2= 0,貝U ab 的最大值為().Ta0, b0, a+ 2b= 2,(x2 + 1) + F - 1 2 - 1= 1.x + 13. 若解析1a + 2b = 22 2ab，即 ab2)在x= a處取最小值，則 a =(x 2)解析 當 x2 時，x- 2 0, f(x) = (x- 2) + - +

13、2 2 x-2 X1 + 2= 4,當且僅當x-2x-2x-2 =丄儀2)，即x= 3時取等號，即當f(x)取得最小值時，x= 3,即a= 3.x- 2t2- 4t+ 15.已知t 0，則函數y=的最小值為.2.t 0, y=解析tt 4t+ 11t = t+ - 4 2-4=- 2，當且僅當t= 1時取等號.答案【例1】?(1)已知x0,考向一利用基本不等式求最值1 1y0,且2x+ y= 1，則-+1的最小值為x y2x佻的最大值為x + 11 1審題視點第(1)問把x + y中的1”代換為“2x + y”，展開后利用基本不等式;第(2)問把函數式中分子分母同除x”再利用基本不等式.解析(

14、1)段 0, y 0,且 2x+ y = 1,當x0時，則f(x) =1 1 2x+ y 2x+ y一+一=+ x y xy=3 + y+ 2x3 + 2 2.x y當且僅當x= 2x時，取- x 0,2x 2 ” 2,-f (x) = 2“= W = 1 ,v 7 x2+11 2x+ -x等號2. 下列不等式：a+1 2a:蔬三2;x +X其中正確的個數是當且僅當x=1即x= 1時取等號.x答案(1)3 + 2 2(2)1丿-處利用基本不等式求函數最值時，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定 和最小”.常用的方法為：拆、湊、代換、平方.【訓練1】(1)已知x 1,則f(x) = x+-

15、的最小值為X 1已知Ov XV 5貝y y= 2x 5x2的最大值為.若x, y (0,+s )且2x+ 8y xy= 0,貝U x + y的最小值為 .1 解析 (1) vx 1,.f(x) = (x 1) + 1 2 + 1= 3當且僅當x= 2時取等號.x 12 1y= 2x 5x= x(2 - 5x)= 15x (2 -5x),2TO v xv ,.5xv 2,2 5x 0,55x(2 5x) 0, b 0, c0，求證：bc + a+ ab a + b + c.a b c證明/ a 0, b 0, c 0,匹十辿2 -匹獨=2b;審題視點先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質相加得

16、到.bc 丄 ca 十a bac: a cca+ 辿2caab = 2a.bc, b c以上三式相加得：2 bc+ ca +學2(a+ b + c),即 bc + ca+ 迪a + b + c. a b c丿處-處利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理最后轉 化為需證問題.【訓練2】 已知a0, b0, c0，且a+ b + c= 1.1 1 1 求證：-+ - + - 9.a b c證明 / a 0, b 0, c 0，且 a+ b + c= 1,1 , 1 , 1 a+ b + c a

17、+ b + c , a+ b+ c 一十一十一=十十a b c abc 3 + 2 + 2+ 2= 9,1當且僅當a= b= c=扌時，取等號.考向三利用基本不等式解決恒成立問題【例3】？（2010山東）若對任意x 0, x2+ ；x+ 三a恒成立，則a的取值范圍是xx審題視點先求匚（x0）的最大值，要使得匚wa（x0）恒成立，只要x + 3x+ 1x + 3x+ 1X2cx + 3x+ 1（x 0）的最大值小于等于 a即可.xx解析 若對任意x0,匚w a恒成立，只需求得y = 2的最大值即可，因為 xx + 3x+ 1x + 3x+ 1 0，所以y=x + 3x+ 1范圍是|5, + m答

18、案1, +m15當且僅當x=1時取等號，所以a的取值入戈當不等式一邊的函數（或代數式）的最值較易求出時， 可直接求出這個最值（最值可能含有參數），然后建立關于參數的不等式求解.【訓練3】（2011宿州模擬）已知x0, y0, xy= x+ 2y,若xy m 2恒成立，則實數 m 的最大值是.解析 由 x0, y0, xy= x+ 2y2 2xy,得 xy 8，于是由 m 2w xy 恒成立，得 m 2w 8,mw 10,故m的最大值為10.答案 10考向三利用基本不等式解實際問題【例3】？某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度x不得超過5 m

19、 房屋正面的造價為 400元/m2,房屋側面的造價為150元/m2, 屋頂和地面的造價費用合計為5 800元，如果墻高為3 m,且不計房屋背面的費用當側面的長度為多少時，總造價最低？審題視點用長度x表示出造價，利用基本不等式求最值即可還應注意定義域0v xw 5；函數取最小值時的 x是否在定義域內， 若不在定義域內，不能用基本不等式求最值， 可以考慮單調性.解由題意可得，造價y= 3(2xX 150 +400)+ 5 800 = 900 x +x5 800(0 vxw 5),則 y= 900 x+ 16 + 5 800 900 X 2 ,xX 16 + 5 800= 13 000(元),16當

20、且僅當x =些，即x= 4時取等號.x故當側面的長度為 4米時，總造價最低.認：A :;?|I： ”解實際應用題要注意以下幾點：(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數;根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最值;(3) 在求函數的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解.【訓練3】(2011 廣東六校第二次聯考)東海水晶制品廠去年的年產量為 10萬件，每件水晶 產品的銷售價格為100元，固定成本為80元從今年起，工廠投入 100萬元科技成本并 計劃以后每年比上一年多投入 100萬元科技成本.預計產量每年遞增1萬件，每件水晶產品8

21、0的固定成本 g(n)與科技成本的投入次數n的關系是g(n)=.若水晶產品的銷售價格不需n + 1變，第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1) 求出f(n)的表達式；80n + 1元，科(2) 求從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？解(1)第n次投入后，產量為(10+ n)萬件，銷售價格為 100元，固定成本為技成本投入為100n萬元.f 80 、*所以，年利潤為 f(n) = (10 + n)j00 需扁丿100n(n N ). ( 80 、由(1)知 f(n) = (10 + n) 100 100n=1 000 80_9_=一+ n+ 1 0, b 0,且 a + b= 1,1

22、1 2 又a+ 221 1，而ab三4斎4,/ 2【示例】？已知a 0, b 0，且a + b = 1,求* 1 + 2的最小值. a b錯因 兩次基本不等式成立的條件不一致. + - 2 8 = 4 2，故1 + -的最小值為4 2. a ba b正解/ a 0, b 0,且 a + b= 1,.1 2a+ b=b 2aa+ b)= 1 + 2 + b+3+ 2a 2f=3+22a + b = 1,當且僅當b 2aia =石，1+ 2的最小值為3+ 2 2.a b7 ；時,、b= 2 農【試一試】嘗試解答1 1(2010四川)設ab0，則a2+的最小值是().ab a(a b jB. 2C.

23、 3D. 42 i 1 i121.1a += a ab + ab +ab a (a b)ab a(a b)=a(a b)+ ab+ 1 2 a a b+ 2 -a(a b)ab 丫 丿a(a b j=2 + 2 = 4.abab當且僅當a（a-b）=古且ab=ab，即a=2b時，等號成立.答案 D基礎檢測1 .已知函數解析:f(x)= log2(x 2).若實數 m, n 滿足 f(m) + f(2n) = 3，則 m + n 的最小值是 .、4法一：由題得 log2(m 2) + log2(2n 2) = 3,即(m 2)(n 1) = 4,則 m=+ 2,n 1所以m + n44+ 2+

24、n=+ (n 1) + 32,4 + 3 = 7,當且僅當 n = 3 時取等號，故 m +n 1n1n的最小值為7.法二：同法一，可得（m 2）（n 1） = 4.m 2+ “ 1 2,所以(m+ n 3)2 16.、2 丿又 m2, n 1，所以 m + n3，所以 m+ n 34, 即卩 m+ n7,當且僅當m = 4, n = 3時取等號.答案：72.若a, b均為大于1的正數，且 ab= 100,則lg a lg b的最大值是 解析：Ta1 , b1. /-lg a0, lg b0.lg a lg b J叫=(lg ：b)=.又(m 2)(n 1) 1)的最小值是x 1解析：x110.2 2x + 2 x 2x + 2x+ 2.y =x 1x 1x 1 2+2x1 +33=x1+22x 1x2 2x+ 1 +