1、定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用二零零四級理學院二班二零零四級理學院二班 孫陽孫陽 PB04203034PB04203034定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用v本幻燈片參考材料：力學，楊維纮，中國科學技術大學級理學院教材。其他便沒有了。限于客觀原因，作者并沒有準備充分資源。日后若條件允許，也許能做出更有價值的成果。版權所有，商用付酬。定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用v本文擬得出定軸轉動下剛體的動能表達式，并討論教材例6.4中電熨斗模型的改良及其他一些簡單應用。定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用我們已知，定軸轉動剛體的轉動慣量I、角速度分別與直線運

2、動中剛體的質量M、速度v對應，但教材上并未給出計算剛體旋轉動能的公式。我們猜想剛體的動能是否為下面來證明此公式：2 2k kI I2 21 1E E定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用設所有剛體均勻，密度為1，則質量和體積在數值上相等。考慮半徑為的圓環繞軸線轉動：.2 22 23 32 22 20 0k k3 32 2I I2 21 1R RR RR Rd d2 21 1E ER R2 2m mR RI I成立。定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用半徑為R的圓盤繞軸線轉動：成立。.2 22 24 42 22 20 0R R0 0k k4 42 2I I2 21 12 2R Rr rrdRdrd

3、Rd2 21 1E E2 2R RmRmR2 21 1I I定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用長為l的直細棒繞中垂線轉動：成立。.2 22 23 32 22 2l l2 2l lk k3 32 2I I2 21 1l l24241 1l ldldl2 21 1E El l12121 1mlml12121 1I I定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用不規則的物體繞任意定軸轉動：成立。.2 2k k2 22 2k kd dm m2 2d dm mk k2 2d dI I2 21 1d dE Ed dm md d2 21 1d dE Ed dv vv vd dm m2 21 1d dE Ed dm

4、 md dd dI I即，定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用這便證明了剛體定軸轉動的動能公式。下面是一些分析：1這個動能是剛體在視軸為靜止的參考系下“所有”的動能。若轉軸亦運動，求剛體的總動能只需再加上剛體關于軸速度的動能，即.2 2k kv vM M2 21 1E EE E軸剛體定軸定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用).(距離是ABABr rMrMr2 21 1E EE EABAB2 22 2kAkAkBkBABAB2由可知，既然能量是線性的，定軸轉動的剛體的轉動慣量也是線性的。3若剛體在軸A的轉動慣量IA已知，由分析2及平行軸定理，將軸移到B點時剛體的動能為221IdEk定軸轉動剛體的

5、動能計算及一些簡單應用4由分析2及正交軸定理可求出剛體作定點轉動的動能公式：.2 2z z2 2y y2 2x xk kz zk ky yk kx xk kv vv vv vM M2 21 1E EE EE EE E軸軸軸5由分析14可得剛體作任意運動的一般的動能公式：其中包含剛體質心系中剛體的動能，這里不再推了。k kz zk ky yk kx xE EE EE E.2 2z zz z2 2y y2 2x xk kz zk ky yk kx xk kO OI II II I2 21 1E EE EE EE Ey yx x定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用在教材例6.4中我們知半徑r、自轉角

6、速度、平動速度v 、滑動摩擦系數、對地面壓力N的圓盤受阻力N.N.r rv vf f摩擦力集中在上半個月牙形內。v v2 2定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用由于滑動摩擦力N與接觸面積無關，若切去盤中心O半徑為的小圓盤，如圖易知摩擦力增加2 2v vr r v v2 2.N Nr r2v2vf f2 21 1其中f是區域P、Q的摩擦力，P、Q的圓心分別是C和C。定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用在吸塵器模型中，設吸塵器使用距離為s，采用開孔的底盤，增加了摩擦力，卻減少了驅動底盤轉動的能量。當時，即時整體來講是節省了能量的。v v2 2N N4 4v vr rm ms s3 31 13 3小

7、盤r1為小盤半徑。2 22 21 11 1r r2 2m ms sr r1 1N Nv v2 2小盤定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用在實際生活中，各項數值如下：N N4v4vr rm ms s3 31 13 3小盤v v2 2m小盤：2kg：8(4Hz)r1：0.25mr：0.3mv：0.2m/s：0.3N：5kgg50N解得：s最大值是41.28m這樣的距離不用說是家用吸塵器，除草都行了。因此，吸塵器底部做成圓環更節能。定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用由本文前面特殊情況剛體動能公式，半徑為r，環壁厚為1(r1)的圓環與半徑為R的圓柱繞軸線轉動的情況如下：.2 22 22 22 24

8、42 21 12 21 13 31 1R Rm mI I2 21 1E E2 2R RI I) )( (1 1. .r r2 2m mI I2 21 1E Er r2 2I I：盤圓柱圓環：定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用當轉動周期、密度相同時，若，則II，EE亦即，半徑的圓環與半徑的圓柱如此旋轉時有相同動能，但4 43 3r r2 2R R .1 1r rm mm m1 12 2可見角速度一定時，欲使較小質量剛體獲得較多轉動動能，須使其質量遠離轉軸；反之，使剛體得到較少能量就達到某轉速，質量需向軸集中。定軸轉動剛體的動能計算及一些簡單應用若圓盤剖面如圖，質量向軸集中，則使其轉速達到所需的能量就較少。將這種情況應用于吸塵器，平動摩擦阻力f仍不變。故將底盤質量向軸集