1、A. t1 t2t3B . t1t2t3不同的“等時圓”【例1】傾角為30。的長斜坡上有C。B三點(diǎn)，CO= OB=10ml在C點(diǎn)豎直地固定長10 m的直桿AO A端與C點(diǎn)間和坡底B點(diǎn)間各連有一光滑的鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質(zhì)點(diǎn)），將兩球從A點(diǎn)由靜止開始、同時分別沿兩鋼繩滑到鋼繩末端，如圖1所示，則小球在鋼繩上滑行的時間tAc和tAB分別為（取g = 10m/s2）A . 2s 和 2s B . <12s 和 2sC. 72s 和 4s D . 4s 和 72s解析：由于 CO= OB=OA，故A、B、C三點(diǎn)共圓，O為圓心。又因直桿 AO豎直，A點(diǎn)是該圓的最高點(diǎn)，如圖 2所示。兩球由靜止

2、釋放，且光滑無摩擦，滿足“等時圓”條件。設(shè)鋼繩AB和AC與豎直方向夾角分別為“1、“2,該圓半徑為r,則對鋼球均有122r cos g cos ?t2解得：t ,史，鋼球滑到斜坡時間t跟鋼繩與豎直方向夾角a g無關(guān)，且都等于由A到D的自由落體運(yùn)動時間。 代入數(shù)值得t=2s ,選項(xiàng)A正確。【例2】如圖3所示，Oa Ob> Oc是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，O a、b、c四點(diǎn)位于同一圓周上，d點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，c為最低點(diǎn)，每根桿上套著一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)都從圖中O點(diǎn)無初速釋放，用 t1、t2、t3、依次表示滑到 a、b、c所用的時間，則c tl t2 t3 D. t3 ti

3、t2解析：如果不假思索，套用結(jié)論，就會落入“陷阱”，錯選A。必須注意，“等時圓”的適用條件是：光滑斜面上初速為零的勻加速直線運(yùn)動， 且運(yùn)動起點(diǎn)（或終點(diǎn)）應(yīng)在“等時圓”的最高（或最低）點(diǎn)。題圖中O不是最高點(diǎn)，題設(shè)圓不是“等時圓”。現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為最高點(diǎn)，取合適的豎直直徑 Oe作“等時圓”aOa> Of, Ocv交Ob于b,如圖4所示，顯然，O到f、b、g、e才是等時的，比較圖示位移圖7Og故可推知t1t2t3,正確的選項(xiàng)是Bo圖6【例3】如圖5所示，在豎直面內(nèi)有一圓，圓內(nèi)OM水平線，圓周上有三根互成300的光滑桿OA、OB、OC ,每根桿上套著一個小球 （圖中未畫出）。現(xiàn)讓一個小球分別沿三根桿頂

4、端無初速下滑到O所用的時間分別為tA、tB、tC ,則（）AtAtBtCBtAtBtCCtAtBtCD無法確定解析：題設(shè)圖中O點(diǎn)不在圓的最低點(diǎn)，故不是“等時圓”。延長OA 過B作B/BL BO ，則Q R B/在同一圓周上，B/處自由下落到 O的時 間和小球沿光滑桿由 B無初速滑到 O的時間相同。同理，過 C作CC CO則O C C在同一圓周上，C處自由下落到O的時間和小球沿光滑 桿由C無初速滑到 O的時間相同。C、B、A自由下落到 O的時間依次 遞減，故選項(xiàng)B正確。【例4】如圖7所示，在同一豎直平面內(nèi)，從定點(diǎn)P到固定斜面（傾角為。）搭建一條光滑軌道 PM使物體從P點(diǎn)釋放后,沿軌道下滑到斜面的

5、時間最短，則此軌道與豎直線的夾角“為多少解析：先用解析法求解。從定點(diǎn) P向斜面作垂線，垂足為 D,如圖8所示，設(shè)P到斜面距離為h,則軌道長度為PMhcos( )物體沿軌道下滑的加速度a g cos12由于PM -at2 2聯(lián)立解得：tg cos2h?cos( )令根式中分母y cos?cos( ),利用積化和差得:1y cos2cos(2),0一定，當(dāng)一時，分母y取得最大值，物體沿軌道下滑 2的時間t最小。再用“等時圓”作圖求解。以定點(diǎn) P為“等時圓”最高點(diǎn)，作出系列半徑 r不同(動態(tài)的)“等時圓”，所有軌道的末端均落在對應(yīng)的“等時圓”圓周上，如圖9中甲所示，則軌道長度均可表示為 PM 2Rc

6、os物體沿軌道下滑的加速度a g cos，一 719由于PM at2,故得：t24r欲t最小，則須“等時圓”的半徑 r最小。顯然，半徑最小的相切于M2點(diǎn)，如圖9中乙所示。再根據(jù)幾“等時圓”在圖中與斜面M乙甲何關(guān)系可知:在這里，用了轉(zhuǎn)化的思想，把求最短時間轉(zhuǎn)化為求作半徑最小的“等時圓”，避免了用解析法求解的復(fù)雜計(jì)算。【例5】如圖10所示，在同一豎直平面內(nèi)，地面上高H的定點(diǎn)P,到半徑為R的定圓的水平距離為L,從P搭建一條H光滑軌道到定圓的圓周上。現(xiàn)使物體從P點(diǎn)釋放后，沿軌道下滑到定圓的時間最短，該軌道與豎直方向夾角應(yīng)多大 H和L滿足題設(shè)要求。解析：先用解析法求解。如圖 11所示，延長 PMI與定圓

7、相交于 N,過N作水平線與 PD相交于K,則物體沿光滑軌道下滑的加速度為gsin 8 ,即a12PM -at2 ,2所以t22PM2PM ?PNg PK由圓的切割線定理得: 2PM ?PN PT =常數(shù),22 2PT所以t2 2P, g?PK2- 2PT式中2P為常數(shù)，PK為變量。當(dāng) M點(diǎn)的選擇不同時， PK的值也 g不同，當(dāng)PK=H時，其值最大，此時t最小。也就是軌道 PM延長線PQ與定圓相交于和地面的接觸點(diǎn)Q,物體沿軌道下滑的時間最短，軌道PM與豎直線的夾角“滿足tan QD 上或 arctan、PD HH再用“等時圓”作圖求解。以定點(diǎn)P為“等時圓”最高點(diǎn),作出系列半徑r不同（動態(tài)的）“等

8、時圓”，所有軌道的末端均落在對應(yīng)的“等時圓”圓周上。其中，剛好與定圓。 O外切于M的“等時圓”半徑最小,如圖12所示，由P沿軌道下滑到 M點(diǎn)的時間也最短。圖中PD和OCtB垂直于地面,由幾何關(guān)系可知，軌道PM的延長線OQ L D必與定圓。O的交于Q求得PM與豎直線的夾角a滿足圖12tan織上或PD H,Larctan 。H【例6】在豎直平面內(nèi)，固定一個半徑為R的大圓環(huán)，其圓心為 O在圓內(nèi)與圓心 O同一水平面上的 P點(diǎn)搭一光滑斜軌道 PM®大環(huán)上，如圖13所示，OP=dvR。欲使物體從 P點(diǎn)釋放后，沿軌道滑到大環(huán)的時間最短，求M點(diǎn)位置（用OM與水平面的夾角”的三角函數(shù)表達(dá))。解析：若用解析法求解，軌道長度由余弦定理求得22PM d2 R2 2dRcos設(shè)軌道PMW水平面夾角為0 ,則物體沿軌道下滑的加速度a g sin由正弦定理得：dRsin( ) sin( )12又 PMat22聯(lián)立以上四個方程，有“、。、 PM、a和t五個變量，可以建立起下滑時間 t與OM頃角”之間的函數(shù)關(guān)系，再利用數(shù)學(xué)工具求極值，但計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。圖14如果改用“等時圓”作圖求解，以定點(diǎn)P為最高點(diǎn)，可作出系列半徑r不同(動態(tài)的)“等時圓”，所有軌道的末端均落在對應(yīng)的“等時圓”圓周上。其中，剛好與大環(huán)內(nèi)切的“等時圓”半徑最小，如圖 14所示，該“等時圓”的圓心