1、小學數(shù)學教師的學科專業(yè)知識及其拓展一、關于給小學數(shù)學教師進行學科知識及其拓展的培訓意見1、培訓內容（1）幫助教師們系統(tǒng)地掌握小學數(shù)學知識體系及其結構，包括能夠解答教科書（如人教版12冊）所有的練習題和復習題。（2）幫助教師們正確理解小學數(shù)學知識中容易誤解的數(shù)學概念與有關知識，使他們的小學數(shù)學知識得到橫向拓展。（3）立足于教學的需要，幫助教師們開闊知識視野，使他們的小學數(shù)學知識得到一定的縱向延伸。例如一些數(shù)學史知識。如數(shù)學王子高斯巧算1+2+100的故事；哥德巴赫猜想；祖沖之與圓周率等等。特別是，市場經(jīng)濟要求人們掌握更多有用的數(shù)學，成本、利潤、投入、產(chǎn)出、貨款、效益、市場預測、風險評估等一系列經(jīng)

2、濟名詞將成為人們社會生活中使用最為頻繁的詞匯，與這一系列經(jīng)濟活動相關的數(shù)學，如估算、比和比例、利息與利率、運籌與優(yōu)化以及統(tǒng)計與概率等，理應成為數(shù)學課程中的組成部分，要求教師要有所掌握。2、培訓方式（1）集中培訓輔導：可根據(jù)實際情況，分段分塊進行輔導，幫助教師們解決小學數(shù)學知識體系中的疑難問題。（2）校本培訓學習：布置學習任務和作業(yè)任務，讓教師們各自完成學習任務，自我提高。3、評價與考核建議小學數(shù)學教師的學科知識拓展培訓的評價可分為：第一、學習態(tài)度和完成作業(yè)情況評價，占一定比例；第二、小學數(shù)學知識過關考試（卷面考試），占比例大些。考試內容：以小學數(shù)學新課程的內容標準所涉及的小學數(shù)學知識作為考試基

3、本內容。試題設計：（1）基本數(shù)學概念及計算題，（2）綜合題（中等難度），（3）知識拓展題。二、關于小學數(shù)學教師的學科專業(yè)知識及其拓展的認識1、小學教師的知識結構：教育知識、學科知識、學科教學知識三大部分。教育知識包括教育學、心理學、學生思想工作（班主任）等方面的知識。它是教師在職前教育學習和平時工作實踐學習積累而成的；學科知識是指本學科專業(yè)知識，包括了本學科知識體系及其思想方法，也是教師的學科專業(yè)功底涵養(yǎng)所在。它主要來源于教師的在接受教育期間學習和職前教學學習打下基礎，以及平時教學實踐學習的充實提高；學科教學知識體現(xiàn)了教師的專業(yè)獨特性,是本專業(yè)教學實踐性的知識。從數(shù)學專業(yè)的角度看，數(shù)學家不一定

4、具有這種知識；從教學經(jīng)驗來看，高中語文教師也不具有小學數(shù)學教學的這種知識。這是教師將特定的學科知識與學生思維、學習特點等教學法的知識融合起來而形成的教學實踐性知識。2、小學數(shù)學教師的學科專業(yè)知識我們在林崇德（北京師范大學教授，博士生導師）和申繼亮（申繼亮教授現(xiàn)任北師大心理學院黨委書記、教育部人文社科重點研究基地發(fā)展心理研究所所長，中國心理學會常務理事、中國心理學會教育心理專業(yè)委員會主任，博士生導師）關于教師知識結構劃分的基礎上，結合新課程改革的發(fā)展及數(shù)學學科的特點，把數(shù)學教師的知識結構分為“教什么”的本體性知識，“如何教”的條件性知識和在教育教學實踐中大量積累起來的實踐性知識三個主要方面：（1

5、）本體性知識，即學科專業(yè)知識。小學數(shù)學教師應具有的學科知識是特定的數(shù)學知識，主要包括教學所需要的數(shù)學理論知識、 數(shù)學應用性知識 、數(shù)學思想方法知識和數(shù)學史知識。（2）條件性知識，指個體在何種條件下，為什么傳授數(shù)學知識以及如何更好地傳授數(shù)學知識的一種知識類型，主要包括教育學和心理學的知識， 其中教育學知識包括教育理論知識、 教育技術知識 、數(shù)學課程知識 、數(shù)學教學知識；心理學知識包括教師心理知識和學生心理知識，教師心理知識又分為教學監(jiān)控知識教學效能感 、教學風格知識 、教師品德知識；學生心理知識又分為數(shù)學認知的知識、數(shù)學學習的元認知知識、數(shù)學學習的非認知知識 、學習風格知識。（3）實踐性知識，指

6、關于數(shù)學課堂情景及與之相關的知識，主要包括數(shù)學課堂教學管理知識和教材處理知識。教師要在自己的教學工作中不斷增長自己的學科知識，也包括對已有知識的不斷改進或必要重組。從另一角度說，數(shù)學學科知識主要包括：知識的內涵及多重表示、知識的發(fā)生和發(fā)展過程、知識之間的聯(lián)系、知識所蘊含的數(shù)學思想和思維方式。小學數(shù)學教師要具有豐厚的數(shù)學知識、扎實的數(shù)學技能和成熟的數(shù)學思想。三、小學數(shù)學教師的學科專業(yè)知識及其拓展（一）小學數(shù)學知識體系中“數(shù)與代數(shù)”的知識及其拓展1、小學數(shù)學中的“數(shù)的認識及其運算” 數(shù)的認識數(shù)的運算數(shù)學思考一上20以內數(shù)的認識20以內加減法、進位加法求和應用題求差應用題圖示加減兩步應用題

7、一下100以內數(shù)的認識20以內的退位減法100以內的加法與減法圖文應用題表格應用題（在練習中）加減、比多少應用題二上 100以內的加法和減法表內乘法幾個幾的乘法應用題求一個數(shù)的幾倍的二下萬以內數(shù)的認識表內除法整百、整千數(shù)加減法萬以內數(shù)的加法和減法（一）解決問題三上分數(shù)的初步認識萬以內數(shù)的加法和減法（二）有余數(shù)的除法多位數(shù)乘一位數(shù)分數(shù)的簡單計算有余數(shù)除法的應用題鞏固兩步應用題三下小數(shù)的初步認識除數(shù)是一位數(shù)的除法兩位數(shù)乘兩位數(shù)簡單的小數(shù)加減法鞏固除法應用題連乘應用題解決問題四上大數(shù)的認識三位數(shù)乘兩位數(shù)除數(shù)是兩位數(shù)的除法速度問題四下小數(shù)的意義和性質四則運算運算定律小數(shù)的加法和減法相應的兩三

8、步應用題五上循環(huán)小數(shù)小數(shù)乘法小數(shù)除法解決問題每一種方程對應一種應用題五下因數(shù)和倍數(shù)分數(shù)的意義和性質分數(shù)的加法和減法 分數(shù)兩三步應用題六上倒數(shù)的認識百分數(shù)分數(shù)乘法分數(shù)除法解決問題按比例分配用百分數(shù)解決問題六下負數(shù) 用比例解決問題關于數(shù)的認識的知識要點：（1）整數(shù)十進制計數(shù)法：一（個）、十、百、千、萬都叫做計數(shù)單位。其中“一”是計數(shù)的基本單位。10個1是10，10個10是100每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是十。這種計數(shù)方法叫做十進制計數(shù)法整數(shù)的讀法：從高位一級一級讀，讀出級名（億、萬），每級末尾0都不讀。其他數(shù)位一個或連續(xù)幾個0都只讀一個“零”。整數(shù)的寫法：從高位一級一級寫，

9、哪一位一個單位也沒有就寫0。四舍五入法：求近似數(shù)，看要求近似到哪一位數(shù)，再看其后一位的數(shù)是幾，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾數(shù)向前一位進1。這種求近似數(shù)的方法就叫做四舍五入法。整數(shù)大小的比較：位數(shù)多的數(shù)較大，數(shù)位相同最高位上數(shù)大的就大，最高位相同比看第二位較大就大，以此類推。 （2）小數(shù)小數(shù)表示：把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份這樣的一份或幾份是十分之幾、百分之幾、千分之幾這些分數(shù)可以用小數(shù)表示。如1/10記作0.1,66。小數(shù)計數(shù)：小數(shù)點右邊第一位叫十分位，計數(shù)單位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，計數(shù)單位是百分之一（0.01）小數(shù)部分最大的計數(shù)單位是十分之一，沒有最小的計

10、數(shù)單位。小數(shù)部分有幾個數(shù)位，就叫做幾位小數(shù)。如0.56是兩位小數(shù)，4.067是三位小數(shù)。數(shù)位順序表：整數(shù)部分小數(shù)點小數(shù)部分億級萬級個級數(shù)位千億位百億位十億位億位千萬位百萬位十萬位萬位千位百位十位個位·十分位百分位千分位計數(shù)單位千億百億十億億千萬百萬十萬萬千百十一（個）十分之一百分之一千分之一小數(shù)的讀法：整數(shù)部分整數(shù)讀，小數(shù)點讀點，小數(shù)部分順序讀。小數(shù)的寫法：小數(shù)點寫在個位右下角。小數(shù)的性質：小數(shù)末尾添0去0大小不變。化簡小數(shù)點位置移動引起大小變化：右移擴大左縮小，1十2百3千倍。小數(shù)大小比較：整數(shù)部分大就大；整數(shù)相同看十分位大就大；以此類推。（3）分數(shù)和百分數(shù)分數(shù)和百分數(shù)的意義分數(shù)的

11、意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)，叫做分數(shù)。在分數(shù)里，表示把單位“1”平均分成多少份的數(shù)，叫做分數(shù)的分母；表示取了多少份的數(shù)，叫做分數(shù)的分子；其中的一份，叫做分數(shù)單位。百分數(shù)的意義：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分數(shù)。也叫百分率或百分比。百分數(shù)通常不寫成分數(shù)的形式，而用特定的“%”來表示。百分數(shù)一般只表示兩個數(shù)量關系之間的倍數(shù)關系，后面不能帶單位名稱。百分數(shù)表示兩個數(shù)量之間的倍比關系，它的后面不能寫計量單位。成數(shù)：幾成就是十分之幾。分數(shù)的種類按照分子、分母和整數(shù)部分的不同情況，可以分成：真分數(shù)、假分數(shù)、帶分數(shù)分數(shù)和除法的關系及分數(shù)的基本性質除法是一種運算

12、，有運算符號；分數(shù)是一種數(shù)。因此，一般應敘述為被除數(shù)相當于分子，而不能說成被除數(shù)就是分子。由于分數(shù)和除法有密切的關系，根據(jù)除法中“商不變”的性質可得出分數(shù)的基本性質。分數(shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變，這叫做分數(shù)的基本性質，它是約分和通分的依據(jù)。約分和通分分子、分母是互質數(shù)的分數(shù)，叫做最簡分數(shù)。把一個分數(shù)化成同它相等但分子、分母都比較小的分數(shù)，叫做約分。約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分數(shù)為止。把異分母分數(shù)分別化成和原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)，叫做通分。通分的方法：先求出原來幾個分母的最小公倍數(shù)，然后把各分數(shù)化成用這個最小

13、公倍數(shù)作分母的分數(shù)。倒數(shù)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。求一個數(shù)（0除外）的倒數(shù)，只要把這個數(shù)的分子、分母調換位置。1的倒數(shù)是1，0沒有倒數(shù)。分數(shù)的大小比較分母相同的分數(shù)，分子大的那個分數(shù)就大。分子相同的分數(shù)，分母小的那個分數(shù)就大。分母和分子都不同的分數(shù)，通常是先通分，轉化成通分母的分數(shù)，再比較大小。如果被比較的分數(shù)是帶分數(shù)，先要比較它們的整數(shù)部分，整數(shù)部分大的那個帶分數(shù)就大；如果整數(shù)部分相同，再比較它們的分數(shù)部分，分數(shù)部分大的那個帶分數(shù)就大。百分數(shù)與折數(shù)、成數(shù)的互化：例如：三折就是30，七五折就是75，成數(shù)就是十分之幾，如一成就是10%，則六成五就是65%。納稅和利息：稅率：應納稅額與各種收入的比

14、率。利率：利息與本金的百分率。由銀行規(guī)定按年或按月計算。利息的計算公式：利息=本金×利率×時間百分數(shù)與分數(shù)的區(qū)別主要有以下三點：意義不同。百分數(shù)是“表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。”它只能表示兩數(shù)之間的倍數(shù)關系，不能表示某一具體數(shù)量。如：可以說1米是5米的 20，不可以說“一段繩子長為20米。”因此，百分數(shù)后面不能帶單位名稱。分數(shù)是“把單位1平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)”。分數(shù)不僅可以表示兩數(shù)之間的倍數(shù)關系，如：甲數(shù)是3，乙數(shù)是4，甲數(shù)是乙數(shù)的?；還可以表示一定的數(shù)量。應用范圍不同。百分數(shù)在生產(chǎn)、工作和生活中，常用于調查、統(tǒng)計、分析與比較。而分數(shù)常常是在測量、

15、計算中，得不到整數(shù)結果時使用。書寫形式不同。百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而采用百分號“”來表示。如：百分之四十五，寫作：45；百分數(shù)的分母固定為100，因此，不論百分數(shù)的分子、分母之間有多少個公約數(shù)，都不約分；百分數(shù)的分子可以是自然數(shù)，也可以是小數(shù)。而分數(shù)的分子只能是自然數(shù)，它的表示形式有：真分數(shù)、假分數(shù)、帶分數(shù)，計算結果不是最簡分數(shù)的一般要通過約分化成最簡分數(shù)，是假分數(shù)的要化成帶分數(shù)。（4）數(shù)的整除整除的意義整數(shù)a除以整數(shù)b（b0），除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除（也可以說b能整除a）除盡的意義 甲數(shù)除以乙數(shù)，所得的商是整數(shù)或有限小數(shù)而余數(shù)也為0時，我們就說甲數(shù)能被乙數(shù)除盡

16、，（或者說乙數(shù)能除盡甲數(shù)）這里的甲數(shù)、乙數(shù)可以是自然數(shù)，也可以是小數(shù)（乙數(shù)不能為0）。約數(shù)和倍數(shù)如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫b的倍數(shù)，b就叫a的約數(shù)。一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它本身。一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的是它本身，它沒有最大的倍數(shù)。奇數(shù)和偶數(shù)能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)。例如：0、2、4、6、8、10注：0也是偶數(shù) 2、不能被2整除的數(shù)叫奇數(shù)。例如：1、3、5、7、9整除的特征能被2整除的數(shù)的特征：個位上是0、2、4、6、8。能被5整除的數(shù)的特征：個位上是0或5。能被3整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)之和能被3整除，這個數(shù)就能被3 整除。質數(shù)和

17、合數(shù)在正整數(shù)集合里分為質數(shù)、合數(shù)和1。一個數(shù)只有1和它本身兩個約數(shù)，這個數(shù)叫做質數(shù)（素數(shù)）。質數(shù)有無窮多個。一個數(shù)除了1和它本身外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。合數(shù)有無窮多個。1既不是質數(shù)，也不是合數(shù)。自然數(shù)按約數(shù)的個數(shù)可分為：質數(shù)、合數(shù)自然數(shù)按能否被2整除分為：奇數(shù)、偶數(shù)分解質因數(shù)每個合數(shù)都可以寫成幾個質數(shù)相乘的形式，這幾個質數(shù)叫做這個合數(shù)的質因數(shù)。例如：18=3×3×2，3和2叫做18的質因數(shù)。把一個合數(shù)用幾個質因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質因數(shù)。通常用短除法來分解質因數(shù)。幾個數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個叫這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。公因數(shù)只有1的兩

18、個數(shù)，叫做互質數(shù)。幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)。其中最大的一個叫這幾個數(shù)的最大公倍數(shù)。特殊情況下幾個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。（1）如果幾個數(shù)中，較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，則較大數(shù)是它們的最小公倍數(shù)，較小數(shù)是它們的最大公約數(shù)。（2）如果幾個數(shù)兩兩互質，則它們的最大公約數(shù)是1，小公倍數(shù)是這幾個數(shù)連乘的積。奇數(shù)和偶數(shù)的運算性質相鄰兩個自然數(shù)之和是奇數(shù)，之積是偶數(shù)。奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)-奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)-偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)-奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。

19、關于數(shù)的四則運算的知識要點：（1）四則運算的法則 加法：整數(shù)和小數(shù)：相同數(shù)位對齊，從低位加起，滿十進一。同分母分數(shù)：分母不變，分子相加；異分母分數(shù)：先通分，再相加減法：整數(shù)和小數(shù)：相同數(shù)位對齊，從低位減起，哪一位不夠減，退一當十再減。同分母分數(shù)：分母不變，分子相減；異分母分數(shù)：先通分，再相減乘法：整數(shù)和小數(shù)：用乘數(shù)每一位上的數(shù)去乘被乘數(shù)，用哪一位上的數(shù)去乘，得數(shù)的末位就和哪一位對起，最后把積相加，因數(shù)是小數(shù)的，積的小數(shù)位數(shù)與兩位因數(shù)的小數(shù)位數(shù)相同。分數(shù)：分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。能約分的先約分，結果要化簡除法：整數(shù)和小數(shù)：除數(shù)有幾位，先看被除數(shù)的前幾位，（不夠就多看一位），除到被

20、除數(shù)的哪一位，商就寫到哪一位上。除數(shù)是小數(shù)是，先化成整數(shù)再除，商中的小數(shù)點與被除數(shù)的小數(shù)點對齊b、甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)除以乙數(shù)的倒數(shù) （2）運算定律加法交換律 ab=ba     結合律 （ab）c=a（bc） 減法性質 abc=a（bc）        a（bc）=abc乘法交換律 a×b=b×a     結合律 （a×b）×c=a×（b×c）     分配律 （ab）&#

21、215;c=a×cb×c 除法性質 a÷（b×c）=a÷b÷ca÷（b÷c）=a÷b×c   （ab）÷c=a÷cb÷c（ab）÷c=a÷cb÷c    商不變性質m0     a÷b=（a×m）÷（b×m） =（a÷m）÷（b÷m） 積的變化規(guī)律：在乘法中，一個因數(shù)不變，另一個

22、因數(shù)擴大（或縮小）若干倍，積也擴大（或縮小）相同的倍數(shù)。推廣：一個因數(shù)擴大A倍，另一個因數(shù)擴大B倍，積擴大AB倍。一個因數(shù)縮小A倍，另一個因數(shù)縮小B倍，積縮小AB倍。商不變規(guī)律：在除法中，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大（或縮小）相同的倍數(shù)，商不變。推廣：被除數(shù)擴大（或縮小）A倍，除數(shù)不變，商也擴大（或縮小）A倍。被除數(shù)不變，除數(shù)擴大（或縮小）A倍，商反而縮小（或擴大）A倍。利用積的變化規(guī)律和商不變規(guī)律性質可以使一些計算簡便。但在有余數(shù)的除法中要注意余數(shù)。如：8500÷200= 可以把被除數(shù)、除數(shù)同時縮小100倍來除，即85÷2=42（余1），商不變，但此時的余數(shù)1是被縮小1

23、00被后的，所以還原成原來的余數(shù)應該是100，即8500÷200=42100。關于簡易方程的知識要點：（1）用字母表示數(shù) 用字母表示數(shù)是代數(shù)的基本特點。既簡單明了，又能表達數(shù)量關系的一般規(guī)律。用字母表示數(shù)的注意事項 ：數(shù)字與字母、字母和字母相乘時，乘號可以簡寫成“·“或省略不寫。數(shù)與數(shù)相乘，乘號不能省略。 當1和任何字母相乘時，“1”省略不寫。數(shù)字和字母相乘時，將數(shù)字寫在字母前面。（2）含有字母的式子及求值 求含有字母的式子的值或利用公式求值，應注意書寫格式 （3）等式與方程 表示相等關系的式子叫等式。含有未知數(shù)的等式叫方程。判斷一個式子是不是方程應具備兩個條件：一是含有未

24、知數(shù)；二是等式。所以，方程一定是等式，但等式不一定是方程。（4）方程的解和解方程 使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解。求方程的解的過程叫解方程。在列方程解文字題時，如果題中要求的未知數(shù)已經(jīng)用字母表示，解答時就不需要寫設，否則首先演將所求的未知數(shù)設為x。（5）解方程的方法直接運用四則運算中各部分之間的關系去解。如x-8=12加數(shù)+加數(shù)=和   一個加數(shù)=和另一個加數(shù) 被減數(shù)減數(shù)=差   減數(shù)=被減數(shù)差   被減數(shù)=差減數(shù) 被乘數(shù)×乘數(shù)=積   一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù) 被除數(shù)÷除

25、數(shù)=商   除數(shù)=被除數(shù)÷商   被除數(shù)=除數(shù)×商 先把含有未知數(shù)x的項看作一個數(shù)，然后再解。如3x+20=41先把3x看作一個數(shù)，然后再解。按四則運算順序先計算，使方程變形，然后再解。如2.5×4-x=4.2，要先求出2.5×4的積，使方程變形為10-x=4.2，然后再解。利用運算定律或性質，使方程變形，然后再解。如：.x.x先利用運算定律或性質使方程變形為（.）x，然后計算括號里面使方程變形為x，最后再解。2、小學數(shù)學中數(shù)的結構；零自然數(shù)正整數(shù)負整數(shù)整數(shù)正分數(shù)有理數(shù)分數(shù)負分數(shù)無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)。如， 等實數(shù)

26、有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都能化為分數(shù)。在自然數(shù)的基礎上負數(shù)概念引進后，“整數(shù)集”完整地形成了，并使“加法、減法、乘法”在整數(shù)集內永遠實施。在自然數(shù)的基礎上分數(shù)概念的引進，首先形成了“非負理數(shù)集”，使除法（0不作除數(shù)）在這個數(shù)集內永遠實施；再引進負數(shù)后，有理數(shù)集就完整地形成，使“加、減、乘、除”四則運算在有理數(shù)集內永遠實施。也可理解為：加法和乘法的實施使“非0自然數(shù)集”擴充為“自然數(shù)集”；再實施減法，使“自然數(shù)集”擴充為“整數(shù)集”，也即“負整數(shù)”加入；又再實施除法（0不作除數(shù)），使“整數(shù)集”擴充為“有理數(shù)集”，也即“分數(shù)”的加入。3、小學數(shù)學中對于數(shù)及其運算的幾點深入理解 （1）對“自然數(shù)”的理解

27、0為什么規(guī)定為自然數(shù)上世紀90年代以前人們習慣的自然數(shù)不包括0，1993年中華人民共和國國家標準頒布，規(guī)定了0屬于自然數(shù)。因為，自然數(shù)有三大功能，一是基數(shù)，二是序數(shù)，三是能加法和乘法運算。缺少了0就不完善了。在基數(shù)上，0表示沒有，是“空集”這個有限集合的元素個數(shù)；在順序上，有時當著起點，如尺子的0厘米；在加乘運算上，如果沒有0的自然數(shù)，不能運算。在小學數(shù)學中所指的整數(shù)就是自然數(shù)。（2）對于分數(shù)的理解 小學數(shù)學中分數(shù)的定義是：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)。因此，分數(shù)的分子、分母都是非0自然數(shù)，并且分母不能是1。在小學數(shù)學中，像0/3，2/1，0.1/3，4/0.2等

28、的數(shù)都不是分數(shù)。但是，有時在計算中會出現(xiàn)分子是0的分數(shù)，就叫零分數(shù)，或分母是1的分數(shù)是整數(shù)。所以，分數(shù)補充定義：當分數(shù)m/n的 n=1時,m/n=m/1=m；當分數(shù)m/n的m=0時，m/n=0/n=0。另一方面，在過去的小學數(shù)學里，有繁分數(shù)這個概念，可把0.1/3或4/0.2等看成是繁分數(shù)。繁分數(shù)可化成整數(shù)或分數(shù)。（3）分數(shù)和小數(shù)的關系 任何一個分數(shù)都可化為小數(shù)，即是化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。但是，并非任何小數(shù)都能化成分子、分母都是整數(shù)的分數(shù)，如無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分數(shù)。（4）關于0為什么不能做除數(shù)整數(shù)除法定義：如果bq=a，那么a÷b=q 。這說明除法是乘法的逆運算，已知積和一

29、個因數(shù)，求另一個因數(shù)。當a=0，b0時，b 0=0，0÷b=0。如果除數(shù)b=0，那么：當被除數(shù)a不為零時，由于任何數(shù)乘0都不可能等于a，所以a÷0的商是不存在的；當被除數(shù)a為零時，因為任何數(shù)乘0都等于0，所以a÷b的商是不能確定的。因此，規(guī)定除法中，除數(shù)不能為零。（5）對小學數(shù)學整除性的理解 因數(shù)和倍數(shù)。小學數(shù)學是在非0整數(shù)（自然數(shù)）范圍內研究因數(shù)和倍數(shù)的。在小學數(shù)學中的非0自然里，a×b=c,a和b都是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)；從數(shù)的整理除性來看，0能被任何非0自然數(shù)整除，故0是任何非0自然數(shù)整除的倍數(shù)，任何非0自然數(shù)也都是0的因數(shù)，所以在研究因數(shù)和

30、倍數(shù)時，把0包括在內就沒有什么實際意義，因此，小學數(shù)學中的0不作為因數(shù)、倍數(shù)的研究范圍。（學習負數(shù)后，一個數(shù)的倍數(shù)可以是負整數(shù)）因0不能當除數(shù)，任何整數(shù)都不是0的倍數(shù)，故0沒有倍數(shù)。奇數(shù)和偶數(shù)。小學數(shù)學是在自然數(shù)中定義奇數(shù)和偶數(shù)的，所以0是偶數(shù)。奇數(shù)性質：兩個奇數(shù)的和或差是偶數(shù)；兩個奇數(shù)的積是奇數(shù)；一奇一偶的和或差是奇數(shù)；一奇一偶的積是偶數(shù)。偶數(shù)性質：兩偶的和、差、積是偶數(shù)。在自然數(shù)中，最小的偶數(shù)的0，最小的奇數(shù)的1。數(shù)擴充到全體整數(shù)時，就沒有最小的整數(shù)，也沒有最小的奇數(shù)（偶數(shù)）。人教版五下P22練習題11奇數(shù)與偶數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？奇數(shù)與奇數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？偶數(shù)與偶數(shù)的和呢？（設奇數(shù)為

31、2n-1，nN，設偶數(shù)為2n-1，nN，可以證明）質數(shù)和合數(shù)一個數(shù)除了1和它本身外，還有其他的因數(shù)，這樣的數(shù)叫合數(shù)，合數(shù)至少有3個因數(shù)。一個數(shù)除了1和它本身外，不再有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫質數(shù)，質數(shù)都有2個因數(shù)。0雖然能被1整除，但不能被它本身整除（0÷0無意義），故O不是質數(shù)也不是合數(shù)。1不是質數(shù)也不是合數(shù)。（6）為什么要引進負數(shù)？一是人們在生產(chǎn)生活中經(jīng)常會遇到各種相反意義的量，二是使減法運算永遠可以實施。負數(shù)的引進，是中國古代數(shù)學家對數(shù)學的一個巨大貢獻。在九章算術中，除了引進正負數(shù)的概念外，還完整地記載了正負數(shù)的運算法則，實際上是正負數(shù)加減法的運算法則。如負數(shù)出現(xiàn)在方程的系數(shù)和常數(shù)

32、項中，把“賣（收入錢）”作為正，則“買（付出錢）”作為負，把“余錢”作為正，則“不足錢”作為負。劉徽第一次給出了正負區(qū)分正負數(shù)的方法。他說：“正算赤，負算黑；否則以邪正為異”意思是說，用紅色的小棍擺出的數(shù)表示正數(shù)，用黑色的小棍擺出的數(shù)表示負數(shù)；也可以用斜擺的小棍表示負數(shù)，用正擺的小棍表示正數(shù)。在國外，負數(shù)出現(xiàn)得很晚，直至公元1150年（比九章算術成書晚l千多年），印度人巴土卡洛首先提到了負數(shù)，而且在公元17世紀以前，許多數(shù)學家一直采取不承認的態(tài)度。如法國大數(shù)學家韋達，盡管在代數(shù)方面作出了巨大貢獻，但他在解方程時卻極力回避負數(shù)，并把負根統(tǒng)統(tǒng)舍去。有許多數(shù)學家由于把零看作“沒有”，他們不能理解比“

33、沒有”還要“少”的現(xiàn)象，因而認為負數(shù)是“荒謬的”。直到17世紀，笛卡兒創(chuàng)立了坐標系，負數(shù)獲得了幾何解釋和實際意義，才逐漸得到了公認。從上面可以看出，負數(shù)的引進，是我國古代數(shù)學家貢獻給世界數(shù)學的一份寶貴財富。（7）對近似數(shù)和近似值的理解與實際數(shù)相接近的數(shù)稱為近似數(shù)。如海南省人口860萬，是個近似數(shù)。近似等于精確值的數(shù)值稱為近似值。如除法運算時，求到某一位數(shù)上四舍五入所得的數(shù)值，是商的近似值。近似數(shù)和近似值不是一回事的。（8）關于估算（從二上P31開始有“加減法估算”）。小學數(shù)學的估算有三類；一是對大數(shù)目的估算，如254×196大約是多少？；二是對日常口算、筆算的驗算；三是對日常生活中一

34、些最簡單的推算，如100萬張紙有多厚？對大數(shù)目的估算：通常用四舍五入方法保留最高位或次高位，用“湊整”的方法口算出近似數(shù)。如上式254×196可看成大約250×200=50000。具有現(xiàn)實生活背景的估算問題：依據(jù)實際情況而定，有時估大些或估小些。如某人要去商店買熱水瓶29元，水壺44元，水杯24元，他需要大約帶多少錢？4、對小學數(shù)學中的解決問題理解（解決問題與傳統(tǒng)的應用題的區(qū)別）（1）重視過程的教學。應用題更多的強調盡快獲得答案，而解決問題強調一個過程，就是尋求解決問題方式方法的過程。重視解決問題的過程，尋求解決問題的方法和策略比獲得一個結論本身來得更重要。（2）不僅僅依附

35、一個知識點。應用題往往是結合某一個具體的知識點，例如今天講加法，就是加法應用題，明天學乘法是乘法應用題，應用題常常是依附在某一個知識點的背景下；而解決問題是強調針對一個具體的真實的情境，它更多地強調綜合解決問題的過程。例如今天講完加法后，解決問題的情境可能不局限于用加法，也不局限于用減法，它要調動學生已有的知識來解決問題。它是不僅僅依附于某一個知識點的。（3）具體問題具體分析。應用題教學把應用題歸成類，集中一類問題進行思考，強調速度和技巧；而解決問題強調的是具體問題具體分析，換句話說就是在一種新的情境中如何運用所學知識解決問題，使問題更具挑戰(zhàn)性，可能是一個問題接著一個問題。學生面臨的具體情境不

36、同，問題就不同，學生要具體問題具體分析。要尋求解決這個問題的方法，它更具有挑戰(zhàn)性，更具有新意。（4）問題的開放性和多元性。應用問題強調廣泛性，即從生活中、從兒童已有的經(jīng)驗出發(fā)、從現(xiàn)在的科技和社會發(fā)展的過程中發(fā)現(xiàn)問題和提煉問題。問題本身的開放性和多元性也是其很重要一個特征。5、常見的量 上學期下學期一年級鐘表的認識（時針、分針）認識人民幣； 認識時間二年級長度單位克和千克三年級毫米、分米、千米的認識； 噸的認識； 時、分、秒年、月、日； 24時計時法（1）關于量與計量及的計算事物的多少、長短、大小、輕重、快慢等，這些可以測定的客觀事物的特征叫做量。把一個要測定的量同一個作為標準的量相比

37、較叫做計量。用來作為計量標準的量叫做計量單位。數(shù)+單位名稱=名數(shù) 只帶有一個單位名稱的叫做單名數(shù)。帶有兩個或兩個以上單位名稱的叫做復名數(shù)高級單位的數(shù)如把米改成厘米 低級單位的數(shù)如把厘米改成米只帶有一個單位名稱的數(shù)叫做單名數(shù)。如：5小時， 3千克（只有一個單位的） 帶有兩個或兩個以上單位名稱的叫做復名數(shù)。如：5小時6分，3千克500克（有兩個單位的）56平方分米=(0.56)平方米 就是單名數(shù)轉化成單名數(shù) 560平方分米=(5)平方米(60平方分米) 就是單名數(shù)轉化成復名數(shù)的例子.高級單位與低級單位是相對的.比如,"米"相對于分米,就是高級單位,相對于千米就是低級單位. 1年

38、12個月(31天的月份有1、3、5、7、8、10、12月份，30天的月份有4、6、9、11月份，平年2月28天，閏年2月29天 閏年年份是4的倍數(shù)，整百年份須是400的倍數(shù)。平年一年365天，閏年一年366天。公元1年100年是第一世紀，公元19012000是第二十世紀。（2）對北京時間的理解格林尼治時間也稱為“世界時”。 格林尼治是英國倫敦南郊原格林尼治天文臺的所在地，它又是世界上地理經(jīng)度的起始點。對于世界上發(fā)生的重大事件，都以格林尼治的地方時間記錄下來。一旦知道了格林尼治時間，人們就很容易推算出相當?shù)谋镜貢r間。例如，某事件發(fā)生在格林尼治時間上午8 時，我國在英國東面，北京時間比格林尼治時同

39、要早8小時，我們就立刻知道這次事情發(fā)生在相當于北京時間16時，也就是北京時間下午4時。國際上把地球表面按經(jīng)線分為24時區(qū)，規(guī)定每一時區(qū)內使用它的中央子午線的地方時為該區(qū)的“標準時間”。 各國的標準時間一般以首都所處的時區(qū)來確定。我國采用首都北京所在的東八時區(qū)的區(qū)時作為標準時間，稱為北京時間。就是東8區(qū)的中央子午線東經(jīng)120°的地方時，相當于山海關以東的地方時，并非北京市的地方時。北京城中心大約在東經(jīng)116°25，其地方時比北京時間晚14分17秒左右。我國有些城市處在東經(jīng)120°位置，如山東膠縣、江蘇常州、福建霞浦，它們的地方時和北京時間一致。  

40、;  北京時間=世界時+8小時。（3）質量和重量的區(qū)別質量是物體所含物質的多少。是物體的一種屬性，質量不隨物體的形狀、溫度、狀態(tài)而改變，質量也不隨物體的位置而改變。質量沒有方向。重量是物體受到地心引力作用，而具有向下的力，這個力的大小叫做這個物體的重量。重量在各地區(qū)因地心引力的不同而有微小的差別，在地球兩極比在赤道大些，高處比低處小些。一個物體的重力與質量有如下關系：重力=質量×g（g是重力加速度），在不同地點g略有變化，所以同一個物體，在不同的地點的重力略有差異。質量的單位有噸（t）、千克（kg）克（g）、毫克等，重力與質量有如下關系：重力=質量×g。

41、測量質量的工具有天平，磅秤等。（4）名數(shù)與不名數(shù)在書的后面富有數(shù)量單位名稱的數(shù)叫做名數(shù)。例如:3米,8元,10張,100千克等.；4角5分、15分30秒等叫做復名數(shù)。在數(shù)的后面沒有數(shù)量單位名稱的數(shù),叫做不名數(shù)。例如:45，3/4，32 等；在8加5乘以6的積是多少,這里的三個數(shù)都是不名數(shù)。6、比和比例知識內容分布：小學數(shù)學六上學期學習：比；六下學習：比例，正、反比例、比例尺， 圖形的放大與縮小。（1)關于比和比例的知識要點表示兩個比相等的式子叫做比例。在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積，這叫做比例的基本性質。應用比例的基本性質可以解比例、組比例，還可以求兩個數(shù)的比。圖上距離和實際距離的比，

42、叫做比例尺。兩種相關聯(lián)的量。若比值一定，則成正比例；若積一定，則成反比例。若比值和積都不一定，則不成比例。應用比例知識解答應用題，要先判斷兩種相關聯(lián)的量成什么比例，找出這兩種相關聯(lián)的量的對應數(shù)值，再根據(jù)正、反比例的意義列方程解答。(2)比和比例應用題 在工業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常要把一個數(shù)量按照一定的比例來進行分配，這種分配方法通常叫“按比例分配”。 (3)比例的解題策略按比例分配的有關習題，在解答時，要善于找準分配的總量和分配的比，然后把分配的比轉化成分數(shù)或份數(shù)來進行解答 (4)正、反比例應用題的解題策略第一、審題，找出題中相關聯(lián)的兩個量 ；第二、分析，判斷題中相關聯(lián)的兩個量是成正比例關系還

43、是成反比例關系；第三、設未知數(shù)，列比例式；第四、解比例式；第五、檢驗，寫答語。（5）分數(shù)、除法和比三者之間的聯(lián)系和區(qū)別聯(lián)系：在分數(shù)中，分子相當于除法算式中的被除數(shù),分母相當于除數(shù), 分數(shù)線相當于除號,分數(shù)值相當于商；把分數(shù)放在“比”中,分子相當 于前項，分母相于后項，分數(shù)線相當于比號，分數(shù)值相當于比值；比 的前項相當于除法中的被除數(shù)，比的后項相當于除法中的除數(shù)，比號相當于除法中的除號，比值相當于除法中的商。 區(qū)別：分數(shù)是一種數(shù)；除法是數(shù)與數(shù)之間運算；比是一種關系。（6）對相關聯(lián)的量一定成正比例或反比例的理解有些量是相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，但它們卻不成正比例也不成反比例。例如

44、，圓的面積隨著半徑的變化而變化，變化的方向相同，好象是正比例關系，而它們實際上是不成正比例的。又如，一要繩子長度一定，剪去的長度與剩下的長度也不成反比例關系。正比例：x：y=k（常數(shù)），即y= k x。 反比例：xy=k（常數(shù)），即y= k /x。7、探索規(guī)律第一學段（13年級）發(fā)現(xiàn)給定的事物中隱含的簡單規(guī)律（一年級下冊、二年級下冊找規(guī)律單元）第二學段（46年級）探求給定事物中隱含的規(guī)律或變化趨勢小學數(shù)學探索規(guī)律有四種情況：算式中的規(guī)律 算式規(guī)律：如一個數(shù)乘11，101的計算。數(shù)列中的規(guī)律 123×11=1353，58734×101=5932134探索規(guī)律 數(shù)列規(guī)律：考慮相

45、鄰兩項的關系，或一組數(shù)，的關系，找到規(guī)律。“式”的規(guī)律 式的規(guī)律：幾個算式排列在一起，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)形結合的規(guī)律 數(shù)形結合的規(guī)律從圖形對稱或排列找規(guī)律（1）電話聯(lián)系人的問題（五下打電話）每增加一分鐘新接到通知的隊員數(shù)正好是前面所有接到通知的隊員和老師的總數(shù)，也就是第n分鐘新接到通知的隊員數(shù)等于前（n-1）分鐘內接到通知的隊員和老師的總數(shù)。因而到第n分鐘所有接到通知的隊員和老師的總數(shù)就是一個等比數(shù)列，通項公式為an=2n，到第n分鐘所有接到通知的隊員總數(shù)就是（2n-1）人。隨著時間的增加，所有接到通知的隊員數(shù)分別為1，3，7，15，31因此要通知完15個隊員，只需要4分鐘。根據(jù)這個規(guī)律算一算5

46、分鐘最多可以通知多少人，以及如果一個合唱團有50人，最少花多少時間就能通知到每個人。這些問題利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律都能輕松地解決。（2）因數(shù)是11，101的規(guī)律123×11=1353 58734×101=5932134(雙交叉)（二）小學數(shù)學知識體系中“空間與圖形”知識的拓展1、內容介紹（1）幾何形體內容分布與說明年級內容分布詳  細  內  容說    明一上認識物體和圖形（立體圖形、平面圖形名稱認識）1.長方體、正方體2.圓柱、球3.長方形、正方形4.三角形、圓1.先立體后平面的認識順序，直觀的認識方法2.涂色、數(shù)個數(shù)

47、、分類等二上認識線段角的初步認識2.直角，和畫法2.名稱，和畫法二下銳角和鈍角 銳角比直角小，鈍角比直角大。三上四邊形四邊形平行四邊形周長的概念長方形和正方形的周長估計1.畫、剪等活動2.封閉圖形一周的長度，是它的周長3.教材沒有呈現(xiàn)“長”“寬”的概念。沒有呈現(xiàn)計算公式，只有算式。三下面積面積的概念長方形和正方形的面積計算1.物體表面或封閉圖形的大小，就是它們的面積2.有歸納公式，、出現(xiàn)先求面積再求別的的兩步計算應用題四上角的度量直線、射線、和角角的度量角的分類畫角1一束的光線近似看成射線，一端無限延伸。2.下面兩條是直線，可以向兩端無限延伸。3.從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角

48、。“”，“度°”4.平角、周角和相應度數(shù)。平行四邊形和梯形垂直和平行，距離平行四邊形和梯形的概念韋恩圖（從屬關系）1.兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2.只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。四下三角形三角形的特性三角形的分類三角形的內角和三角形的三邊關系1由三條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連）叫做三角形2底、高，穩(wěn)定性3按角分，按邊分在練習中出現(xiàn)五上多邊形的面積平行四邊形的面積三角形的面積梯形的面積組合圖形的面積 驗證推導平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積的計算公式。五下長方體和正方體1.特征、2.體積、容積、表面積的概念物體所占空間的大小在練習中出現(xiàn)六聯(lián)

49、方和用排水法求體積的題目。六上圓圓的認識圓的周長圓的面積圓心、半徑、直徑六下圓柱和圓錐圓柱的認識、表面積、體積圓錐的認識、體積展開圖 驗證推導圓柱、圓錐體積計算公式（2）圖形與變換內容分布及說明年級內容 舉例說明一下圖形的拼組 剪一剪、擺一擺、拼一拼。初步感知數(shù)學的美。二下 平移和旋轉 平移向上、下、左、右、平移（ ）格子。旋轉認識旋轉現(xiàn)象，如：風車。區(qū)別旋轉和平移。四下圖形的拼組 用三角形擺圖形五下 圖形的變換 軸對稱畫對稱軸的另一半旋轉繞“O”旋轉30°到A點，或其他角度，如90°等。（3）

50、圖形與位置內容分布及說明年級內  容  分  布說     明一下位置1.上、下2.前、后3.左、右在什么的上面，在什么的下面。在什么的前面，在什么的后面。左手、右手第幾組第幾個二上觀察物體2.對稱，對稱軸1.看恐龍，說出是誰看的？3.認識，會剪，會畫對稱軸4.倒影，鏡子，區(qū)別鏡像三下位置與方向東、南、西、北怎么走2.向東走200米，在向北走100米等四下位置與方向 東偏北35°，距離100米等五上觀察物體 從不同角度看物體六上位置 用（2，3）表示第二列第三排的同學（4）測量的內容分

51、布二上長度單位（厘米、米）三上測量（毫米、分米、千米的認識，長方形、正方形等圖形的周長）三下面積（面積的含義、面積單位及進率、單位換算、長、正方形的面積公式）四上角的度量五上多邊形的面積（探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式）五下長方體和正方體（體積的意義及度量單位、簡單的單位換算、長方體和正方體的表面積、體積等）2、平面圖形認識和計算的知識要點三角形 三角形是由三條線段圍成的圖形。它具有穩(wěn)定性。從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。一個三角形有三條高。三角形的內角和是180度三角形按角分，可以分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三角形按邊分，

52、可以分為：等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形 四邊形四邊形是由四條線段圍成的圖形。任意四邊形的內角和是360度。只有一組對邊平行的四邊形叫梯形。兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形，它容易變形。長方形、正方形是特殊的平行四邊形；正方形是特殊的長方形。 圓圓是平面上的一種曲線圖形。同圓或等圓的直徑都相等，直徑等于半徑的2倍。圓有無數(shù)條對稱軸。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。 扇形 由圓心角的兩條半徑和它所對的弧圍成的圖形。扇形是軸對稱圖形。軸對稱圖形 如果一個圖形沿著一條直線對折，兩邊的圖形能夠完全重合，這個圖形叫做軸對稱圖形；這條窒息那叫做對稱軸。線段、角、等腰三角形、長方形、正方形等都

53、是軸對稱圖形，他們的對稱軸條數(shù)不等。 周長和面積 平面圖形一周的長度叫做周長。平面圖形或物體表面的大小叫做面積。常見圖形的周長和面積計算公式如下：(1)長方形面積=長×寬，計算公式s=a ×b (2)正方形面積=邊長×邊長，計算公式s=a × a (3)長方形周長：(長+寬)× 2，計算公式s=(a+b)× 2 (4)正方形周長=邊長× 4，計算公式s=4 ×a (5)平形四邊形面積=底×高，計算公式s=a × h (6)三角形面積=底×高÷2，計算公式s=a×h&

54、#247;2 (7)梯形面積=(上底+下底)×高÷2，計算公式s=(a+b)×h÷2（8）圓：直徑 ：d = 2r ，半徑 ：r = d÷2，圓的周長：C圓= d ， d = C÷C圓= 2r    r = C÷÷2圓的面積 ：S圓= r      圓環(huán)的面積：S圓環(huán) = ×（Rr）組合圖形的面積 由兩個或兩個以上的簡單圖形組合而成的比較復雜的圖形，叫做組合圖形。解題方法：合并求和法，去空求差法3、對小學數(shù)學空間與圖

55、形的幾點深入理解（1）對直線、射線和線段的理解。直線在小學數(shù)學教材中是通過實例（雙手拉緊的線）說明的，不是定義的概念。直線沒有端點，沒有方向，可以向兩方無限延伸，無頭無尾來可度量。射線：在直線上某一點一旁的部分叫做射線。射線有一個端點，可向一個方向無限延伸，不可度量。線段；直線上任意兩點間的部分叫做線段。線段有長短，可度量。這三者的區(qū)別：從端點的情況來區(qū)分。它們的聯(lián)系：線段是直線或射線的一部分，射線又是直線的一部分。（2）對數(shù)學中的點、線、面的理解點只有位置，沒有大小；線只有長短，沒有粗細；面只有長、寬，沒有厚薄。（3）對確定左右位置的理解第一要了解確定左、右的標準。一是“向誰說”、“問誰”就

56、以誰為判斷主體，如叫學生向“左”轉；二是沒有明確誰是判斷主體時，應指誰觀察就應以誰為判斷主體，如路牌。第二注意左、右是相對性。（4）對位置的理解有序數(shù)對（，）有序數(shù)對：用含有兩個數(shù)的詞表示一個確定的位置，其中各個數(shù)表示不同的含義，我們把這種有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作（a,b）。常見的確定平面上的點位置常用的方法：一是以某一點為原點（0，0）將平面分成若干個小正方形的方格，利用點所在的行和列的位置來確定點的位置。二是以某一點為觀察點，用方位角、目標到這個點的距離這兩個數(shù)來確定目標所在的位置。（三）小學數(shù)學知識體系中“統(tǒng)計與概率”的知識及其拓展1、統(tǒng)計知識分布年級內容分布主要內容知識要點一上分類 分物體、分圖形一下以一代一 二上以一代二1.用“正”法統(tǒng)計數(shù)量每格代表（ ）人二下統(tǒng)計表以一代多 用統(tǒng)計表收集數(shù)據(jù) 用統(tǒng)計表收集數(shù)據(jù)三下簡單的數(shù)據(jù)分析平均數(shù)完成統(tǒng)計圖平均數(shù)能較好的反映一組數(shù)據(jù)的總體情況。最多最少（14+12+11+15）÷4=13（個）四上完成條形統(tǒng)計圖單式、復式條形統(tǒng)計圖條形統(tǒng)計圖是用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的直條，然后把這些直條按一定的順序排列起來。四下折線統(tǒng)計圖 折線統(tǒng)計圖&#