1、離散數學試題及答案一、填空題 1 設集合A,B，其中A1,2,3, B= 1,2, 則A - B_; r(A) - r(B) _ .2. 設有限集合A, |A| = n, 則 |r(A×A)| = _.3. 設集合A = a, b, B = 1, 2, 則從A到B的所有映射是_ _, 其中雙射的是_.4. 已知命題公式GØ(P®Q)R，則G的主析取范式是_.5.設G是完全二叉樹，G有7個點，其中4個葉點，則G的總度數為_，分枝點數為_.6 設A、B為兩個集合, A= 1,2,4, B = 3,4, 則從AÇB_; AÈB_;AB _ .7. 設

2、R是集合A上的等價關系，則R所具有的關系的三個特性是_, _, _.8. 設命題公式GØ(P®(QÙR)，則使公式G為真的解釋有_，_, _.9. 設集合A1,2,3,4, A上的關系R1 = (1,4),(2,3),(3,2), R1 = (2,1),(3,2),(4,3), 則R1·R2 = _,R2·R1 =_,R12 =_.10. 設有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 則| |r(A´B)| = _.11 設A,B,R是三個集合，其中R是實數集，A = x | -1x1, xÎR, B = x | 0

3、x < 2, xÎR,則A-B = _ , B-A = _ , AB = _ , .13. 設集合A2, 3, 4, 5, 6，R是A上的整除，則R以集合形式(列舉法)記為_ _. 14. 設一階邏輯公式G = "xP(x)®$xQ(x)，則G的前束范式是_ _.15.設G是具有8個頂點的樹，則G中增加_條邊才能把G變成完全圖。16. 設謂詞的定義域為a, b,將表達式"xR(x)$xS(x)中量詞消除，寫成及之對應的命題公式是_.17. 設集合A1, 2, 3, 4，A上的二元關系R(1,1),(1,2),(2,3), S(1,3),(2,3),

4、(3,2)。則R×S_, R2_.二、選擇題1 設集合A=2,a,3,4，B = a,3,4,1，E為全集，則下列命題正確的是( )。(A)2ÎA (B)aÍA (C)ÆÍaÍBÍE (D)a,1,3,4ÌB.2 設集合A=1,2,3,A上的關系R(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)，則R不具備( ).(A)自反性(B)傳遞性(C)對稱性(D)反對稱性1234563 設半序集(A,)關系的哈斯圖如下所示，若A的子集B = 2,3,4,5,則元素6為B的( )。(A)下界 (B)上界(C)最小上

5、界 (D)以上答案都不對4 下列語句中，( )是命題。(A)請把門關上 (B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6 (D)下午有會嗎？5 設I是如下一個解釋：Da,b, 則在解釋I下取真值為1的公式是( ).(A)$x"yP(x,y) (B)"x"yP(x,y) (C)"xP(x,x) (D)"x$yP(x,y).6. 若供選擇答案中的數值表示一個簡單圖中各個頂點的度，能畫出圖的是( ).(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).7. 設G

6、、H是一階邏輯公式，P是一個謂詞，G$xP(x), H"xP(x),則一階邏輯公式G®H是( ).(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可滿足的 (D)前束范式.8 設命題公式GØ(P®Q)，HP®(Q®ØP)，則G及H的關系是( )。(A)GÞH (B)HÞG (C)GH (D)以上都不是.9 設A, B為集合，當( )時ABB.(A)AB(B)AÍB(C)BÍA(D)ABÆ.10 設集合A = 1,2,3,4, A上的關系R(1,1),(2,3),(2,4),(3,4), 則

7、R具有( )。(A)自反性 (B)傳遞性(C)對稱性 (D)以上答案都不對11 下列關于集合的表示中正確的為( )。(A)aÎa,b,c (B)aÍa,b,c(C)ÆÎa,b,c (D)a,bÎa,b,c12 命題"xG(x)取真值1的充分必要條件是( ).(A) 對任意x，G(x)都取真值1. (B)有一個x0，使G(x0)取真值1. (C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不對.13. 設G是連通平面圖，有5個頂點，6個面，則G的邊數是( ).(A) 9條 (B) 5條 (C) 6條 (D) 11條.14. 設G是

8、5個頂點的完全圖，則從G中刪去( )條邊可以得到樹.(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.15. 設圖G的相鄰矩陣為，則G的頂點數及邊數分別為( ).(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.三、計算證明題1.設集合A1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12，R為整除關系。(1) 畫出半序集(A,R)的哈斯圖；(2) 寫出A的子集B = 3,6,9,12的上界，下界，最小上界，最大下界；(3) 寫出A的最大元，最小元，極大元，極小元。2. 設集合A1, 2, 3, 4，A上的關系R(x,y) | x, yÎA 且 x ³ y, 求 (1)

9、畫出R的關系圖；(2) 寫出R的關系矩陣.3. 設R是實數集合，s,t,j是R上的三個映射，s(x) = x+3, t(x) = 2x, j(x) x/4,試求復合映射st，ss, sj, jt，sjt.4. 設I是如下一個解釋：D = 2, 3, abf (2)f (3)P(2, 2)P(2, 3)P(3, 2)P(3, 3)32320011試求 (1) P(a, f (a)P(b, f (b);(2) "x$y P (y, x).5. 設集合A1, 2, 4, 6, 8, 12，R為A上整除關系。(1) 畫出半序集(A,R)的哈斯圖；(2) 寫出A的最大元，最小元，極大元，極小元

10、；(3) 寫出A的子集B = 4, 6, 8, 12的上界，下界，最小上界，最大下界.6. 設命題公式G = Ø(PQ)(Q(ØPR), 求G的主析取范式。7. (9分)設一階邏輯公式：G = ("xP(x)$yQ(y)"xR(x)，把G化成前束范式.9. 設R是集合A = a, b, c, d. R是A上的二元關系, R = (a,b), (b,a), (b,c), (c,d),(1) 求出r(R), s(R), t(R)；(2) 畫出r(R), s(R), t(R)的關系圖.11. 通過求主析取范式判斷下列命題公式是否等價：(1) G = (PQ)(

11、ØPQR) (2) H = (P(QR)(Q(ØPR)13. 設R和S是集合Aa, b, c, d上的關系，其中R(a, a),(a, c),(b, c),(c, d), S(a, b),(b, c),(b, d),(d, d).(1) 試寫出R和S的關系矩陣；(2) 計算RS, RS, R1, S1R1.四、證明題1. 利用形式演繹法證明：PQ, RS, PR蘊涵QS。2. 設A,B為任意集合，證明：(A-B)-C = A-(BC).3. (本題10分)利用形式演繹法證明：ØAB, ØCØB, CD蘊涵AD。4. (本題10分)A, B為兩個

12、任意集合，求證：A(AB) = (AB)B .參考答案一、填空題1. 3; 3,1,3,2,3,1,2,3. 2. a1= (a,1), (b,1), a2= (a,2), (b,2),a3= (a,1), (b,2), a4= (a,2), (b,1); a3, a4.3. (PØQR).4. 12, 3. 5. 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2. 6. 自反性；對稱性；傳遞性.7. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).8. (1,3),(2,2),(3,1); (2,4),(3,3),(4,2); (2,2),(3,3).9. 2m´n

13、.10. x | -1x < 0, xÎR; x | 1 < x < 2, xÎR; x | 0x1, xÎR.11. 12; 6.12. (2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6).13. $x(ØP(x)Q(x).14. 21.15. (R(a)R(b)(S(a)S(b).16. (1, 3),(2, 2); (1, 1),(1, 2),(1, 3). 二、選擇題 1. C. 2. D. 3. B. 4. B.5. D. 6. C. 7. C.8. A. 9. D.

14、 10. B. 11. B. 13. A. 14. A.15. D三、計算證明題1. (1)(2) B無上界，也無最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) A無最大元，最小元是1，極大元8, 12, 90+; 極小元是1.2.R = (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1) (2)3. (1)sts(t(x)t(x)+32x+32x+3.(2)sss(s(x)s(x)+3(x+3)+3x+6,(3)sjs(j(x)j(x)+3x/4+3, (4)jtj(t(x)t(x)/42x/4 = x/2,(5)s

15、jts(jt)jt+32x/4+3x/2+3.4. (1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(2, f (2)= P(3, 2)P(2, 3)= 10= 0. (2) "x$y P (y, x) = "x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3)= (01)(01)= 11= 1.5. (1)(2) 無最大元，最小元1，極大元8, 12; 極小元是1.(3) B無上界，無最小上界。下界1, 2; 最大下界2.6. G = Ø(PQ)(Q(ØPR)= &

16、#216;(ØPQ)(Q(PR)= (PØQ)(Q(PR)= (PØQ)(QP)(QR)= (PØQR)(PØQØR)(PQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)= (PØQR)(PØQØR)(PQR)(PQØR)(ØPQR)= m3m4m5m6m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).7. G = ("xP(x)$yQ(y)"xR(x)= Ø("xP(x)$yQ(y)"xR(x)= (Ø"xP

17、(x)Ø$yQ(y)"xR(x)= ($xØP(x)"yØQ(y)"zR(z)= $x"y"z(ØP(x)ØQ(y)R(z)9. (1) r(R)RIA(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d),s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)

18、；(2)關系圖:11. G(PQ)(ØPQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)m6m7m3å (3, 6, 7)H = (P(QR)(Q(ØPR)(PQ)(QR)(ØPQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)(PQR)(ØPQR)(PQØR)(ØPQR)(PQR)m6m3m7å (3, 6, 7)G,H的主析取范式相同，所以G = H.13. (1) (2)RS(a, b),(c, d),RS(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d)

19、,(d, d), R1(a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1R1(b, a),(d, c).四 證明題1. 證明：PQ, RS, PR蘊涵QS(1) PRP(2) ØRPQ(1)(3) PQP(4) ØRQQ(2)(3)(5) ØQRQ(4)(6) RSP(7) ØQSQ(5)(6)(8) QSQ(7)2. 證明：(A-B)-C = (AB)C = A(BC)= A(BC)= A-(BC)3.證明：ØAB, ØCØB, CD蘊涵AD(1) AD(附加)(2) ØABP(3) BQ(1)(2)(

20、4) ØCØBP(5) BCQ(4)(6) CQ(3)(5)(7) CDP(8) DQ(6)(7)(9) ADD(1)(8)所以 ØAB, ØCØB, CD蘊涵AD.4. 證明：A(AB) = A(AB)A(AB)(AA)(AB)Æ(AB)(AB)AB而 (AB)B= (AB)B= (AB)(BB)= (AB)Æ= AB所以：A(AB) = (AB)B.離散數學試題（A卷及答案）一、（10分）某項工作需要派A、B、C和D 4個人中的2個人去完成，按下面3個條件，有幾種派法？如何派？(1)若A去，則C和D中要去1個人；(2)B

21、和C不能都去；(3)若C去，則D留下。解 設A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。則根據題意應有：A®CÅD，Ø(BC)，C®ØD必須同時成立。因此(A®CÅD)Ø(BC)(C®ØD)Û(ØA(CØ D)(ØCD)(ØBØC)(ØCØD)Û(ØA(CØ D)(ØCD)(ØBØC)(ØBØD)ØC(ØC

22、ØD)Û(ØAØBØC)(ØAØBØD)(ØAØC)(ØAØCØD)(CØ DØBØC)(CØ DØBØD)(CØ DØC)(CØ DØCØD)(ØCDØBØC)(ØCDØBØD)(ØCDØC)(ØCDØCØD)ÛFF(ØA

23、16;C)FF(CØ DØB)FF(ØCDØB)F(ØCD)FÛ(ØAØC)(ØBCØ D)(ØCDØB)(ØCD)Û(ØAØC)(ØBCØ D)(ØCD)ÛT故有三種派法：BD，AC，AD。二、（15分）在謂詞邏輯中構造下面推理的證明：某學術會議的每個成員都是專家并且是工人，有些成員是青年人，所以，有些成員是青年專家。解：論域：所有人的集合。()：是專家；()：是工人；()：是青年人；則推理化形

24、式為：下面給出證明：(1)() P(2)(c) T(1)，ES(3)()() P(4)( c)( c) T(3)，US(5)( c) T(4)，I(6)( c)(c) T(2)(5)，I(7)()() T(6) ，EG三、（10分）設A、B和C是三個集合，則AÌBÞØ(BÌA)。證明：AÌBÛ"x(xAxB)$x(xBxÏA)Û"x(xÏAxB)$x(xBxÏA)ÛØ$x(xAxÏB)Ø"x(xÏBxA)Þ

25、Ø$x(xAxÏB)Ø"x(xAxÏB)ÛØ($x(xAxÏB)"x(xAxÏB)ÛØ($x(xAxÏB)"x(xBxA)ÛØ(BÌA)。四、（15分）設A1，2，3，4，5，R是A上的二元關系，且R<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，求r(R)、s(R)和t(R)。解 r(R)RIA<2，1>，<2，

26、5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>s(R)RR1<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>R2<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>

27、，<5，4>R3<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>R4<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>R2t(R)Ri<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，&l

28、t;5，5>。五、（10分）R是非空集合A上的二元關系，若R是對稱的，則r(R)和t(R)是對稱的。證明 對任意的x、yA，若xr(R)y，則由r(R)RIA得，xRy或xIAy。因R及IA對稱，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是對稱的。下證對任意正整數n，Rn對稱。因R對稱，則有xR2yÛ$z(xRzzRy)Û$z(zRxyRz)ÛyR2x，所以R2對稱。若對稱，則xyÛ$z(xzzRy)Û$z(zxyRz)Ûyx，所以對稱。因此，對任意正整數n，對稱。對任意的x、yA，若xt(R)y，則存在m使得xRm

29、y，于是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是對稱的。六、（10分）若f：AB是雙射，則f1：BA是雙射。證明 因為f：AB是雙射，則f1是B到A的函數。下證f1是雙射。對任意xA，必存在yB使f(x)y，從而f1(y)x，所以f1是滿射。對任意的y1、y2B，若f1(y1)f1(y2)x，則f(x)y1，f(x)y2。因為f：AB是函數，則y1y2。所以f1是單射。綜上可得，f1：BA是雙射。七、（10分）設<S，*>是一個半群，如果S是有限集，則必存在aS，使得a*aa。證明 因為<S，*>是一個半群，對任意的bS，由*的封閉性可知，b2b*bS，b3b2*

30、bS，bnS，。因為S是有限集，所以必存在ji，使得。令pji，則*。所以對qi，有*。因為p1，所以總可找到k1，使得kpi。對于S，有*(*)*。令a，則aS且a*aa。八、（20分）（1）若G是連通的平面圖，且G的每個面的次數至少為l(l3)，則G的邊數m及結點數n有如下關系：m(n2)。證明 設G有r個面，則2mlr。由歐拉公式得，nmr2。于是， m(n2)。（2）設平面圖G<V，E，F>是自對偶圖，則| E|2(|V|1)。證明 設G*<V*，E*>是連通平面圖G<V，E，F>的對偶圖，則G* G，于是|F|V*|V|，將其代入歐拉公式|V|E|

31、F|2得，|E|2(|V|1)。離散數學試題（B卷及答案）一、（10分）證明(PQ)(P®R)(Q®S)SR證明 因為SRÛØR®S，所以，即要證(PQ)(P®R)(Q®S)ØR®S。(1)ØR 附加前提(2)P®R P(3)ØP T(1)(2)，I(4)PQ P(5)Q T(3)(4)，I(6)Q®S P(7)S T(5)(6)，I(8)ØR®S CP(9)SR T(8)，E二、（15分）根據推理理論證明：每個考生或者勤奮或者聰明，所有勤奮的人

32、都將有所作為，但并非所有考生都將有所作為，所以，一定有些考生是聰明的。設P(e)：e是考生，Q(e)：e將有所作為，A(e)：e是勤奮的，B(e)：e是聰明的，個體域：人的集合，則命題可符號化為："x(P(x)®(A(x)B(x)，"x(A(x)®Q(x)，Ø"x(P(x)®Q(x)$x(P(x)B(x)。(1)Ø"x(P(x)®Q(x) P(2)Ø"x(ØP(x)Q(x) T(1)，E(3)$x(P(x)ØQ(x) T(2)，E(4)P(a)Ø

33、Q(a) T(3)，ES(5)P(a) T(4)，I(6)ØQ(a) T(4)，I(7)"x(P(x)®(A(x)B(x) P(8)P(a)®(A(a)B(a) T(7)，US(9)A(a)B(a) T(8)(5)，I(10)"x(A(x)®Q(x) P(11)A(a)®Q(a) T(10)，US(12)ØA(a) T(11)(6)，I(13)B(a) T(12)(9)，I(14)P(a)B(a) T(5)(13)，I(15)$x(P(x)B(x) T(14)，EG三、（10分）某班有25名學生，其中14人會打籃球

34、，12人會打排球，6人會打籃球和排球，5人會打籃球和網球，還有2人會打這三種球。而6個會打網球的人都會打另外一種球，求不會打這三種球的人數。解 設A、B、C分別表示會打排球、網球和籃球的學生集合。則：|A|12，|B|6，|C|14，|AC|6，|BC|5，|ABC|2，|(AC)B|6。因為|(AC)B|(AB)(BC)|(AB)|(BC)|ABC|(AB)|526，所以|(AB)|3。于是|ABC|12614653220，25205。故，不會打這三種球的共5人。四、（10分）設A1、A2和A3是全集U的子集，則形如Ai¢(Ai¢為Ai或)的集合稱為由A1、A2和A3產生

35、的小項。試證由A1、A2和A3所產生的所有非空小項的集合構成全集U的一個劃分。證明 小項共8個，設有r個非空小項s1、s2、sr(r8)。對任意的aU，則aAi或a，兩者必有一個成立，取Ai¢為包含元素a的Ai或，則aAi¢，即有asi，于是UÍsi。又顯然有siÍU，所以Usi。任取兩個非空小項sp和sq，若spsq，則必存在某個Ai和分別出現在sp和sq中，于是spsqÆ。綜上可知，s1，s2，sr是U的一個劃分。五、（15分）設R是A上的二元關系，則：R是傳遞的ÛR*RÍR。證明 (5)若R是傳遞的，則<x，y&

36、gt;R*RÞ$z(xRzzSy)ÞxRccSy，由R是傳遞的得xRy，即有<x，y>R，所以R*RÍR。反之，若R*RÍR，則對任意的x、y、zA，如果xRz且zRy，則<x，y>R*R，于是有<x，y>R，即有xRy，所以R是傳遞的。六、（15分）若G為連通平面圖，則nmr2，其中，n、m、r分別為G的結點數、邊數和面數。證明 對G的邊數m作歸納法。當m0時，由于G是連通圖，所以G為平凡圖，此時n1，r1，結論自然成立。假設對邊數小于m的連通平面圖結論成立。下面考慮連通平面圖G的邊數為m的情況。設e是G的一條邊，從G中刪去e后得到的圖記為G¢，并設其結點數、邊數和面數分別為n¢、m¢和r