1、第三章第三章3.13.1四種收斂性四種收斂性主要內(nèi)容主要內(nèi)容 幾乎處處收斂幾乎處處收斂依概率收斂依概率收斂 依分布收斂依分布收斂r-階收斂階收斂車貝曉夫不等式車貝曉夫不等式一、車貝曉夫不等式一、車貝曉夫不等式 Xr設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)( (變變馬馬爾爾量量【引引理理有有可可夫夫不不等等式式) )】階階絕絕對對矩矩，()rrE XP X X( ),F x設(shè)設(shè) 的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為【證證明明】則則有有：( )rrxxdF x -1( )rrx dF x =rrE X rE X, 0 則則對對任任意意有有()P X ( )xdF x X-E(X)X 取取r r= =2 2，并并以以引引理理代代替替 得得

2、車車貝貝的的曉曉特特殊殊情情況況：夫夫不不等等式式 2X2E X-E(X),0 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 有有 階階中中車車貝貝心心矩矩，則則曉曉夫夫不不等等式式對對任任意意( () )【定定理理】有有2()()D XP XE X 2X( ),()( )F xDXxE XdF x 設(shè)設(shè) 的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為則則有有：【證證明明】2()()( )x E XxE XdF x 2()( )x E XdF x 2()PXE X 2()()D XP XE X 從從而而2()()1D XP XE X ()rrE XP X 由車貝曉夫不等式可以看出，假設(shè)由車貝曉夫不等式可以看出，假設(shè) 越小，越小，那么事件那

3、么事件|X-E(X)|0, 當(dāng)當(dāng)方差越小時，事件方差越小時，事件|X-E(X)|發(fā)生的概率也越小，發(fā)生的概率也越小，即即X的取值越集中在的取值越集中在E(X)附近這進(jìn)一步闡明方差確附近這進(jìn)一步闡明方差確實(shí)是一個描畫隨機(jī)變量與其期望值離散程度的一個實(shí)是一個描畫隨機(jī)變量與其期望值離散程度的一個量量 當(dāng)當(dāng)D(X)知時，車貝曉夫不等式給出了知時，車貝曉夫不等式給出了X與與E(X)的偏的偏向小于向小于 的概率的估計值的概率的估計值 車貝曉夫不等式的用途：車貝曉夫不等式的用途： 1證明大數(shù)定律；證明大數(shù)定律；2估計事件的概率。估計事件的概率。2()|()|D XPXE X2)(1| )(|XDXEXP 例

4、例1： 設(shè)電站供電網(wǎng)有設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率均為燈的概率均為0.7，假定燈的開、關(guān)是相互獨(dú)立的，運(yùn)，假定燈的開、關(guān)是相互獨(dú)立的，運(yùn)用車貝曉夫不等式估計夜晚同時開著的燈數(shù)在用車貝曉夫不等式估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800到到7200盞之間的概率。盞之間的概率。 解解 令令X表示在夜晚同時開著的燈數(shù)目，表示在夜晚同時開著的燈數(shù)目，()7000,E Xnp()2100.D Xnpq2680072002100|7000 |20010.95200PXPX由車貝曉夫不等式可得由車貝曉夫不等式可得:那么那么X服從服從n=10000，p=0.7的二項(xiàng)分布，這時

5、的二項(xiàng)分布，這時例例2：知正常男性成人血液中：知正常男性成人血液中 ，每一毫升白細(xì)胞，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是數(shù)平均是7300，規(guī)范差是，規(guī)范差是700 . 利用切比雪夫不等利用切比雪夫不等式估計每毫升白細(xì)胞數(shù)在式估計每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率之間的概率 .解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X依題意，依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為所求為 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400) = P(-2100 X-E(X) 2100) = P |X-E(X)| 21002)2100()(1XD由車貝曉夫不等式由車貝曉夫不等式 P |X-E(X

6、)| 21002)2100700(198911即估計每毫升白細(xì)胞數(shù)在即估計每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率不之間的概率不小于小于8/9 . 例例3：在每次實(shí)驗(yàn)中，事件：在每次實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 0.75, 利用車貝曉夫不等式求：利用車貝曉夫不等式求：n需求多么大時，才干使得需求多么大時，才干使得在在n次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中, 事件事件A出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.740.76之間的概率至少為之間的概率至少為0.90?解：設(shè)解：設(shè)X為為n 次實(shí)驗(yàn)中，事件次實(shí)驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，出現(xiàn)的次數(shù)，E(X)=0.75n, 的最小的的最小的n .(0.740.76

7、)0.90XPn 那么那么 XB(n, 0.75)所求為滿足所求為滿足D(X)=0.750.25n=0.1875n =P(-0.01nX-0.75n 0.01n)2)01. 0()(1nXD = P |X-E(X)| 0.01n20001. 01875. 01nnn18751 P(0.74n X0.76n )76. 074. 0(nXP)76. 074. 0(nXP可改寫為可改寫為在車貝曉夫不等式中取在車貝曉夫不等式中取n，那么，那么0.01 = P |X-E(X)| 0.01n187509 . 011875n解得解得依題意，取依題意，取9 . 018751n 即即n 取取18750時，可以使

8、得在時，可以使得在n次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中, 事件事件A出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.740.76之間的概率至少為之間的概率至少為0.90 .二、分布函數(shù)弱收斂二、分布函數(shù)弱收斂 定義1：)()(limxFxFnn F (x),n對對于于分分布布函函數(shù)數(shù)列列如如果果存存在在一一個個非非降降函函數(shù)數(shù)( )F x 使使()()(nFxF xF x在在的的每每一一個個連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)都都成成立立，弱弱收收斂斂于于則則稱稱( )( )WnFxF x 記記為為三、依分布收斂三、依分布收斂 定義2：的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 ), 2 , 1)( nxFn和和),(xF假設(shè)假設(shè)在在的一切延續(xù)點(diǎn)的

9、一切延續(xù)點(diǎn) x上都有上都有 )()(limxFxFnn 那么稱隨機(jī)變量序列那么稱隨機(jī)變量序列 nY依分布收斂于隨機(jī)變量依分布收斂于隨機(jī)變量Y Y，簡記為簡記為LnYY (1,2,)nY n 和隨機(jī)變量和隨機(jī)變量Y 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量依分布收斂表示：當(dāng)依分布收斂表示：當(dāng)n充分大時，充分大時， nY的分布函數(shù)的分布函數(shù) )(xFn收斂于收斂于Y 的分布函數(shù)的分布函數(shù) ),(xF它是概率論中它是概率論中較弱的一種收斂性較弱的一種收斂性.四、依概率收斂四、依概率收斂 定義定義3 3：恣意實(shí)數(shù)恣意實(shí)數(shù), 0 有有或或0|lim YYPnn( )nY 和隨機(jī)變量和隨機(jī)變量Y()，假設(shè)對，假設(shè)對設(shè)隨機(jī)變量

10、序列設(shè)隨機(jī)變量序列1|lim YYPnn那么稱隨機(jī)變量序列那么稱隨機(jī)變量序列 nY依概率收斂于隨機(jī)變量依概率收斂于隨機(jī)變量Y，簡記為簡記為PnYY 依概率收斂表示：依概率收斂表示：nY 與與Y 的絕對誤差小于恣意小的正數(shù)的絕對誤差小于恣意小的正數(shù) 的概率將隨著的概率將隨著n增大而愈來愈大，直至趨于增大而愈來愈大，直至趨于1五、五、r-階收斂階收斂lim|0rnnE YYrnnrYYYY則則稱稱，并并記記為為階階收收斂斂于于 定義4：,rrnnYYYY 設(shè)設(shè)對對隨隨機(jī)機(jī)變變量量及及 有有E EE E0r 其其中中為為常常數(shù)數(shù)，如如果果 特別的有1-1-階收斂又稱為平均收斂，階收斂又稱為平均收斂，

11、2-2-階收斂又稱為均方收斂。階收斂又稱為均方收斂。均方收斂一定平均收斂均方收斂一定平均收斂六、以概率六、以概率1收斂幾乎處處收斂收斂幾乎處處收斂)( Y，假設(shè)，假設(shè)1)()(lim: YYPnn1lim YYPnn或簡記為或簡記為收斂于隨機(jī)變量收斂于隨機(jī)變量Y Y ，nY那么稱隨機(jī)變量序那么稱隨機(jī)變量序列列以概率以概率1 1或幾乎處處或幾乎處處. .a snYY簡簡記記為為：Y ()n 定定：設(shè)設(shè)有有隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列和和義義5 5隨隨機(jī)機(jī)變變量量下面定理提示了四種收斂之間的關(guān)系。下面定理提示了四種收斂之間的關(guān)系。nY和隨機(jī)變量和隨機(jī)變量定理定理 4.2 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列Y

12、. .a snYY (1)假設(shè)，那么，那么;PnYY rnYY(2) 假設(shè)假設(shè)，那么，那么;PnYY PnYY .LnYY 。(3) 假設(shè)，那么，那么rr-幾幾乎乎處處處處收收斂斂依依概概率率收收斂斂依依分分布布收收斂斂階階收收斂斂依依概概率率收收斂斂依依分分布布收收斂斂幾幾乎乎處處處處收收斂斂和和 階階收收斂斂之之間間不不存存在在推推導(dǎo)導(dǎo)關(guān)關(guān)系系rnYY(2) 假設(shè)假設(shè)，那么，那么;PnYY 0, 由由馬馬爾爾可可夫夫引引理理有有，對對任任意意【證證明明】 有有()rnnrE YYP YY ,rnYY又又因因?yàn)闉閯t則由由定定義義有有：lim|0rnnE YY所所以以0|lim YYPnn即即

13、：PnYY 例題例題11-2-1(2019，數(shù)一，數(shù)一X2( X(X)2)_PE 設(shè)設(shè)變變量量 的的方方差差為為 ，根根據(jù)據(jù)切切比比雪雪夫夫不不等等式式估估計計1 1、222(X)2(X)21( X(X)2)22DDPE 解解；在在車車貝貝曉曉夫夫不不等等式式中中，令令，由由已已知知所所以以11X (1,2, )11lim()1inniiniiinPXE Xnn 已已知知相相互互獨(dú)獨(dú)立立，且且方方差差：有有限限證證明明證證明明1111221111Z,111(Z)()()()=E()111(Z)()()()()niinnniiiiiinnniiiiiiXXnEE XEXEXXnnnDD XDXDXD Xnnn 證證：設(shè)設(shè)量量明明隨隨機(jī)機(jī)變變2122111()1()1,1111 () 1 ()n