1、第一講極限與連續一.內容提要1函數(1) 定義；(2)性質(有界性，單調性，奇偶性，周期性)；(3)復合函數；(4)反函 數；(5)隱函數；(6)初等函數等。注意 函數(分段函數)的復合運算、反函數的計算、 函數符號的計算。數列極限的定義；函數極限的定義；左、右極限；lim f(x) = 2I lim /(x)= lim j 二 Alim f(x)二乂 0 lim f(x)= lim /(x) = A jix4-0；極限的性質(注意極限的保號性，數列與子列的收斂情況)；無窮小量與無窮大量：定義；關系；無窮小量比較；定義：設空與P為X在同一變化過程中的兩個無窮小量，若血，就說P是比a高階的無窮小

2、量，記為 卩二。紂；r 0Em 00a2. 極限(怎么求極限，見后面歸納的常用方法)(1)(I)(2)(II )a ,，就說P是比a低階的無窮小量；Em = (7 0rt(III )若,，就說P是比a同階的無窮小量；(IV)若庇撫就說P與a是等價無窮小量，記為 匚zp。 注意兩個無窮小量的階的比較是通過計算極限來進行的。無窮小量與極限存在的關系；(5 )兩個極限存在準則與兩個重要極限；(6) 極限的四則運算與復合運算(注意有理分式在自變量趨于無窮大時的極限)；(7) 洛必達法則在極限運算中的應用；(各種未定式是怎么用的)3. 連續與間斷(1 )連續的定義：設 /-JW在叫的某鄰域內有定義，若，

3、就稱函數7 =倫)在k 點處連續。在點連續 呂fS在則點既左連續，又右連續。(2 )開(閉)區間上連續； (3 )連續函數的運算、初等函數的連續性；)5心 振蕩不存在，Q為 曲/學lim /W(4) 閉區間上連續函數的性質；(應用零點定理來找方程的根lim /(J)=00 r(5) 函數的間斷點及分類:f, iDl為無窮間斷點；振蕩間斷點；,0為可去間斷點；T相等否去判別間斷點類型但兩者存在，0為跳躍間斷點。(應該從左、右極限存在否，.常考的知識點及題型 ?？嫉闹R點：函數及其表示方法；極限、左極限與右極限； 續與右連續的概念與性質； 函數間斷點類型的判斷；求極限的方法；運用閉區間上連續函數的

4、性質證明命題(如證明方程根的存在性)等。題型：函數記號的運算；分段函數的運算；簡單反函數的定義域及表示；考查函數在一 點處連續或極限存在的充要條件；判別函數的間斷點及類型； 無窮小量的比較；判斷函數的性質（有界性、單調性、奇偶性、周期性）；禾U用閉區間上連續函數的性質證明命題，主要 是方程根的存在性；求極限（利用定義、等價無窮小、極限的運算法則、極限存在準則、兩 個重要極限、函數連續性、羅比達法則、導數定義、定積分定義等）。三.求極限的方法總結1.解原式=Inn J F= lini約公因子法（約去趨于0或K的公因子）F -1 lim,松丹 eM1.1擅_1。（約去趨于0的公因子）十 Z , （

5、1）（乳2+1）,孟】+1燉 km= bin= lim =3尸一1（兀一 1）（/+1） a於+1月十+1 +亦lim j例2. f 劃 + “2 -血。（約去趨于無窮大的公因子）1 + （+# lim V K _陛. 卡2.分子、分母有理化lim (J +才 + - Jr - x + 1) 例3. XT咼。2x解：原式=1-Jcosjflim 例4.2曠兀(1-C0 J工)。 1-cos J 1lim -z=-20+ 1 3 /、 2-z (1+VcOSX)解：原式=23.等價無窮小量替換(注意：要等價的無窮小量；一般替換的是因子項)X T 0: sm X tan X -1 ln( 1+ X

6、)2 arcsin x - arctan x x;1 一co5xlj;1+x-l- X2；用等。Vl + xsin X - Tcosx Em例 5. xo。Jl+xsin Jt-Jcosx Vl+jsin j-1 +1 -/cos j km二 lim解：tO 7 tan 2x2?limjmO71+X Sin X -1 +曲2工23 2x （1+Juos X）1-cosx例6.J1+ 3x #1+ 才Em5 V1 + 2a - VP7 o（注意寫法）J1+3/ 1+1 - 2/1+ Xlim ,= hm解：原式=3a 1C9E 1, 1202 6V sm X .如處）lim二 12 - 1 n4

7、利用IQ X（注意飆;X），只要在取極限過程中 慾）TU）lim 2 sin 例 7. z2 olim 2門 X X解：原式=f2” 25利用瞰(l+x) K(幕指函數的f未定式，注意變形，如lim (1+殊)嚴二總一)=S優Q，只要在取極限過程中03)Tlim (1 +只要在取極限過程中久Q T 0 ；2 liml+ln(l + x)r例& H O1 :則1+打解：原式輒屮(出)嚴1 (OS1-1 血 COf-1I原式=即+5】嚴網/時腫. I , sinxlim pin例 1008 數三:20/ X,宀 sinx _ln（l+1）lim卜解原式=Xcos X-1二 hm= W 3?例111

8、2數三:Inn (tan畫嚴心訶Jsinx1=liiii一0卞2Sin= lim=：lim （1+tan X - 1嚴宀5 =嚴1-原式=*lim （工1）皿例1210數三:2畑limXT如-Jcir血紂 -1）lim其中-Ilx叫戸 -Dlim二嚴 Mt丄hiK 護 -1坤 H -1）lim -二嚴皿丄hm!t-P-In IfwhiifX 紂-1）1 -111 Xp=lun = -lJn X2-3cos!fg -e hm 例1312數三:計算5解：原式=liiTi 直7= liinJTTfl石一2+2cG3K6.利用兩邊夾法則2;v-2 sin 盂ItnilO 4x1-tcsr= limsZ

9、6/1214 設0 0常數,原式=1 兀二 nZ J（M +）伽 +lc +1） 旳I，求帆心3 + 1H冷a+冷-血二J（礎斗 l）3a+2） 1- （；3! + 用）（0 + 片+1） V 旳t5f+2 +?3 +1；77 + 1+limz= limSTSBlim ST曲a+2 + 滋+ + 1所以a-vf込+沁= limHT2 1廠=a +/ 23 仗 + 2）（卑+1）.舄+-1=盤+22 7 n7利用單調有界有極限例15設xj滿足0兀兀+1二池召 ，證明（1）虬冊1存在，并求極限;0 X ；r,= sin 召 1 -i Sin jr(r+l- 1)*-*-i sin 7r(z + l

10、)所以! = -是可去間斷點lim yw = lim xd(l + x)=2血 d =2 jwL=r-*i sinTrCz-1+1) -*Lsin Jr(l-x) jt所以X二1是可去間斷點0,-11Em = lim 一竺空一 =0 f （或 z（i一兀）（1+或lim /（X）= 00所以X二片是無窮間斷點魚、X-工/W = -sm加的可去間斷點個數有 3個帶17 - I/ W - f 仆11例 30:XO+1)1 咔x(x+1)111 X 二 0X=-lJi的可去間斷點個數二 T,x 二 Qx 二 1lim所以x=-l是無窮間斷點占斗h7(x + TllI 卜=-litn穴-】(工+l)l

11、n X= m(liin xlfi X = 0)!rr-l1=0lifii即fO 耳x+51ll|x|所以 X=0 是可去間斷點嚴 kl_i=11 mhO A：In A11 m0(H+1)111 X=IQirn xlti h|= limif- 0* ktOX= 1hmZ 推+l)ln X 2 所以 1=1 是可去間斷點 X IZ In |a訕-1 xlnx = limj z ln|Ax(x+l)h z的可去間斷點個數有 2個。小例31.解: X二 1sm XIX -11 ，求7 W的間斷點并說明類型。蚪丿理目5胡出芒F他亍如lim /(j) = lim E*上sin x= sin blim 戈込

12、=sin 1 lini = sin 1 jfTr*yte*疋一1F-r X 13f-r |所以X二1是跳躍間斷點/(X)二lim竺玄 和、例32.設滋+ 1，求丿09的間斷點。Clf/W = lini =ljm E 淋 + 1 f解:X二0是無窮間斷點3.閉區間上連續函數的性質主要是零點定理（介值定理）例33 . 設妙 在0 , 1上連續， / 乂加 ,證明子E（）存在，使得證明Fan：（在0,1上連續且 F(0X-k0f(i)二 10由零點定理知，至少存在一孑亡（0）存在，使得諾。例 34.設 /（Q 在qb 上連續，a c d0常數。證明：因 妙在詞上連續，從而 /X）在 kd上連續，即

13、佝在M 上存在最大值M和最小值m衢 0常數。 六、漸近線（三類）曲線羞-1例35:的漸近線條數為2解:lim=f X 1y-1是一條水平漸近線例36:解:1 一H + Xlim =00 Q一 1X二1 是一條鉛直漸近線y 二+也（1+孑）曲線 兀的漸近線條數為 3lim (-+111(1 + /)二 0+ 7y=是一條水平漸近線lim(+111(1+*)二 00X二0是一條鉛直漸近線-+血(1+小lim 2= lim她TTfT 咼ln(l+/) + x丄3=limX2r 1 ,-lim +一-1I 地?T2l+xln(l+/)Xln(l+h) e-lim +J 2x 2(l+r)i=lim 丄

14、+ hi(l+m iim 1 +血(1 + /) Y2廠1+止1+廠)=lim=lmi+1門(1+不*)=02+0 Zy二兀是一條斜漸近線例37：求曲線丿二兀於的漸近線1QQ. 尹.E .2逗lim = lim = lini= oo解.ftO ?- I ?- 11= 0是一條鉛直漸近線七、函數性質a sin(X- 2)y(x)=2例38:函數心-1)(2)在下列哪個區間內有界(A)(70)(B) (0,1)(C)(A sin a-2) |a sm(A-2)= 00 = km 2心心-1)仿-2)，limi 同x l)(x-2)(A)設/(X)在(8血)內有定義，且5(A ) = 0 必是的第一

15、類間斷點(C) X二0必是 的連續點例39:/ 一 *兀丿0, * ，(B)工二0必是的第二類間斷點(D)朗 在點1 = 0處的連續性與a的值有關1練習:_;| Jll1. 1小1,則 MW Em匸迴g2. XT則 fl =J 0 3型 lim(l+V)盂 13 x-a2Em兀3. 3A. 2解 儀=Jn 2二)oD.不存在，不為CO1 (B. 0 C. CO*1丄 lim J 嚴 g】+ X1曲-_E A-1t-L4. yW = (l+j)* 在(0, 2 開)打3打5開7開X 二解： 4 4 4 4內的間斷點及類型。tm(吊斗hm /U) = bn (1+方 * =4聊誥TC 科hm ln xlnf 1+工一)6.In 北lim In jlnCl+) s lim ln f -Oi)s lim xln a 解:+In AInz Inz甘滬曲 =甌厶=0=g 屮 x KT 護-X7 xhQJ(Q二 Q+Rg,要使/x)在x = 0處連續,f(O)=(A. OB. e C .1 D .護y(0)二 fci (1+ 滬=fci (1+x卩驗二 e解：jf-OzOsin x(sin z- sin(sin x)EmJ& 3X。sin x(sin x- sin(sin i) sin x-sinCsin x) cosx-cos(sin x)co