1、第六章布萊克-舒爾斯期權定價模型一、影響期權價值的主要因素由前面的分析知道決定期權價值（價格）匕的因素是到期的 股票市場價格S,“和股票的執行價格X。但是到期S”是未知的，它 的變化還要受價格趨勢和時間價值等因素的影響。1）標的股票價格與股票執行價格的影響。標的股票市場價格 越高，則買入期權的價值越高，賣出期權的價值越低；期權的執 行價越高，則買入的期權價值越低，賣出期權的價值越高。2）標的股票價格變化范圍的影響。在標的股票價格變動范 圍增大的，雖然正反兩方面的影響都會增大，但由于期權持有者 只享受正向影響增大的好處，因此，期權的價值隨著標的股價變股票的價格由密度函數/）變為“2），S>

2、X的可能性增大， 買入期權的價值增大，對賣出期權的價值則相反。3）到期時間距離的影響。距離愈長，股價變動的可能性愈 大。由于期權持有者只會在標的股價變動屮受益，因此，距離期 權到期的時間越長，期權的價值就越高。4）利率的影響。利率越高，則到期的現值就越低，使得 買入期權價值提高，而賣出期權價值降低。5）現金股利的影響。股票期權受到股票分割或發放股票股 利的保護，期權數量也適應調整，而不受影響，但是期權不受現 金股利的保護，因此當股票的價格因公司發放現金股利而下降 時，買入期權的價值下降，賣出期權的價值便上升。二、布萊克-舒爾斯期權定價模型的假設條件B-S模型是反映歐式不分紅的買入期權定價模型，

3、它的假定 條件，除了市場無摩擦（例如無稅、無交易成本、可以無限制自 由借貸等）以外，還有：1. 股票價格是連續的隨機變量，所以股票可以無限分割。2T時期內各時段的預期收益率匚和收益方差。i保持 不變。3. 在任何時段股票的復利收益率服從對數正態分布，即 在ti-t?時段內有： "（“億 Tjb?億G）因為股票的價格可以用隨機過程$（聊=12.表示，其中S（t） 表示第t日股票的價格，它是一個隨機變量.則第t日股票的收S（f） I &益率（年收益率）為也和八益股票的年收益率（單利）R應該是:我二沖沖 生電)7+電) S(0)S (0)5(1) 5(364 )365365365為

4、了簡化計算兩邊同時取自然對數可得：365R加(1+& = 2>(1+怕)=1設r, s, r2,，ms為和R, Ri, &,，R365相對應的連續復利。則根據單復利之間的關系In(l+R)-r有:365R1 365r = In( + R) = In( + ) = t=S3503 /=同理，對任何時間間隔T都有:爲)專帥誅T拿由屮心極限定理知加號)服從正態分布。即有:加翳)式中“，/分別為的數學期望和方差令 尸加(騾),則yN(“2T),而S(T) = S(0)ey進行簡5 (U)單的變量替換，可以求岀S (T)的數學期望為:£(S(T) = 5(0) exp(/

5、T + -cr2T)對于股票的二叉樹定價來說，如果從t=0時刻到t二T,時刻, 所分的階段數趨于無限大時，股票的價格也趨于對數正態分布。即股票的二叉樹定價和對數正態分布定價是一致的。因為二叉樹定價時股票的價格變化的規律是：S(r)按照概率gS(t -1) b按照概率 1-q_- , S(/) . lnw按照概率勺川以s(r-l) Ind按照概率1 q即ln(S(f)S(1)12服從兩點分布且相互獨立.所以皿¥)= 1>(芒、)服從二項分布當TT+s，二項5(u) z=i1 丿分布趨近于正態分布。即在一定的條件下，股票的二叉樹定價和 對數正態分布定價是一致的。B-S定價模型是二叉

6、樹定價模型的極限式。三、布萊克-舒爾斯期權定價模型的直觀理解作為無現金股利的歐式買權定價模式是：C = S()N a) _ XL N 仏)式中C是買權價格，S。是期初股票價格，N ( )是累計正態分布函數,T1 2丿+ r-Ind產o/tT= d-b眉為了更容易從經濟意義上理解B-S定價模型，我們可以從現 實直觀的角度來作一些解釋:已知 C7 = max(5r -X,0)式中G為到期T時買權的價格，s為到期標的股票市場價格X為期權協定的執行價格。則有 E(Ct) = Emax( ST-X,0)設到期s八x的概率為P,此時max( ST-X,0) = ST-X 則有 £(Cr) = P

7、E(Sr|Sr >X)-X + (l-P)xO= PxE(SrST>X)-X考慮到期初的期權合理定價等于E(G)的現值而有C 二列EG)= Pxe,1 xE(StSt>X)-X (1)式屮C:期初期權合理價格，r：無風險連續復利率，t到期時間 長度 這里關鍵的問題，要找出P和e(stst > X)的表達式。St等價S X1) 由于P(»>x)=代收益率子>(=) =1 卩 5()ln(一)-(r)T瓦廠2二 AW這是由于正態分布的對稱性其中服從對數正態分布芻服從對數正態分布(S。為常數)5()一咱服從正態分布。收益率平均為“，-V或而且啲d是以年為

8、基礎計算的，但期權通常不超一年。T為 分數，應用代替/和R。即為新正態分布的期望值。2”折為新分布的標準差。002)由于 EStSt > X = J STf(ST)dSTX其中/（S為對數正態分布密度函數ST e 0 dSTSj*其中u為lnS的均值,/是叫的方差-X c (5-2/)2eIn x9+ M +2esedS = -= SoK厲b舊厲b丄W2)其中注意到：S_“幾"(")令 In ST = S2cr2并且，<宀丁 = S。JS ln(-) + (r + )r 式中 d =7=.d2 = d -(Ty/t將以上計算結果代入（1）式，得占船X= S（）N

9、（J-X廠叫）這便是有名的Black-Scholes期權定價公式。舉例：已知股票期初市價S。=50 ,協議執行價X二45,距到期日時間t二3個月=0.25年無風險利率 r=10%, /二0. 16, 0=0.4°ln(Il)+(廣 + £l)r ln() + (0.1 + ) xO.25則有:d嚴一丄= 0.7520ay/t0.4xV025d2 =d,-(y4t= 0.7520 - 0.4x7025 = 0.5520查正態分布表:N(J=N(0. 7520)二0. 7740N(厶)=N(0. 552)=0. 7095C = 50x0.7740-45e-° lx0-

10、25 x0.7095 = 7.56一般地，期權交易市場上買入的價格即由B-S公式定價，如 果實際市場價格比計算的價值低，說明期權的價格被低估，存在 套利機會，可以買入期權。四、B-S期權定價模型微分方程推導的基本思路隨機方程（某變量以某種不確定的方式隨時間變化）> 馬爾可夫過程（隨機過程變量的未來預測值只與該變量的當前值有關，而與該變量的過去值無關時，該隨機過程稱為馬爾可夫過程）> 基本維納過程（在A/內變量Z的變化滿足： 伍,其中£滿足標準正態分布N（0, 1）的一個隨機值。且兩個不同的MAZ的值相互獨立）一般維納過程（變量 X 滿足：dx = cult + bdz =

11、 adt + byfKts ）如圖:> 伊騰過程(S遵循ITO過程,即有S = o(Sj)df+b(S,f)Z變量G是S、t的函數，G二F(S, t),則G也是ITO過程，并且 有：(竺卄竺+丄空沖+竺述as dt 2 dS2OS>股票價格的ITO過程(股價S的變動可用瞬時期望漂移率為：瞬時方差率為Rs，的IT0過程，即JS = uSdt + aSdz T=udt + OiJz其屮當股價的方差率恒為0時，則有dSuSdt,得s = s()/說明當方差率為0時，股價得單位時間為“的連續復利方式增長。五、關于對數正態分布我們已經知道很多獨立同分布的隨機變量之和趨于正態分 布。那么許多獨立同分布隨機變量的連乘積便服從于對數正態分 布，即對數正態分布x = linn nn>oo / = 1因為令y = lnx則y = lnx = lnfl“=f InK這是n個隨機變數之和，根據中心極 i=/=!限定理，y趨于正態分布，如圖：設s° = ioo,每年增長10%則有