1、圓幕定理STEP 1:進門考理念：1.檢測垂徑定理的基本知識點與題型2. 垂徑定理典型例題的回顧檢測。3. 分析學生圓部分的薄弱環節。（1）例題復習。1. （2015夏津縣一模）一副量角器與一塊含 30銳角的三角板如圖所示放置， 三角板的直角頂點C落在量角器的直徑MN1,頂點A，B恰好都落在量角器的圓弧上, 且AB/ MN若AB=8cm則量角器的直徑 MN cm.【考點】M3:垂徑定理的應用； KQ勾股定理；T7:解直角三角形.【分析】作CD丄AB于點D,取圓心O,連接OA作OE!AB于點E,首先求得CD的長，即OE的長, 在直角 AOE中，利用勾股定理求得半徑 OA的長，貝U MN即可求解.

2、【解答】 解：作CDLAB于點D,取圓心O,連接OA作OELAB于點E.在直角 ABC中，/ A=30，則BCAB=4cm在直角 BCD中，/ B=90 -Z A=60，CD=BCsi nB=4X=2寸月(cm) OE=CD=2；，在厶 AOE中, AE=AB=4cm則 0A= 廣- | y -=2 (cm), 則 MN=2OA=4( cm). 故答案是：.【點評】本題考查了垂徑定理的應用，在半徑或直徑、弦長以及弦心距之間的計算中，常用的方法 是轉化為解直角三角形.2. （2017阿壩州）如圖將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經過圓心0,則折痕AB的長為（）A. 2cmB. . cm C

3、. 2 口cm D. 2、f fem【考點】M2垂徑定理；PB:翻折變換（折疊問題）【分析】通過作輔助線，過點 0作ODL AB交AB于點D,根據折疊的性質可知 0A=20D根據勾股定 理可將AD的長求出，通過垂徑定理可求出AB的長.【解答】解：過點0作ODL AB交AB于點D,連接0A/ OA=2OD=2cm 二 AD= 11= I .- = : 1 （cm）,/ ODL AB, AB=2AD=2 :;cm.故選：D.【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理的運用，正確應用勾股定理是解題關鍵.3. （2014瀘州）如圖，在平面直角坐標系中，O P的圓心坐標是（3, a） （a3）,半徑為3,函數

4、y=x的圖象被O P截得的弦AB的長為1爲則a的值是（）A. 4 B . 丫 C .:D . I 一;【考點】M2垂徑定理；F8: 次函數圖象上點的坐標特征；KQ勾股定理.【專題】11 :計算題；16 :壓軸題.【分析】PC丄x軸于C,交AB于D,作PEL AB于E,連結PB,由于OC=3 PC=a易得D點坐標為（3, 3），則 0。助等腰直角三角形， PED也為等腰直角三角形.由 PEL AB根據垂徑定理得AE=BE=AB=2.：，在Rt PBE中，利用勾股定理可計算出PE=1,則PD=：PE= 一：，所以a=3+ :.【解答】 解：作PC丄x軸于C,交AB于D,作PEL AB于E,連結PB

5、,如圖，O P 的圓心坐標是（3, a）,OC=3 PC=a把x=3代入y=x得y=3, D點坐標為（3, 3）, CD=3, OCE為等腰直角三角形，PED也為等腰直角三角形，/ PEL AB, AE=BE丄 AB亍 X 4 .二=2;：、；：弓, 在 Rt PBE 中，PB=3, PE寸（2近）2二 1， PD2PeV2, a=3+. 故選：B.【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了 勾股定理和等腰直角三角形的性質.4. （2013內江）在平面直角坐標系xOy中，以原點0為圓心的圓過點A（ 13, 0）,直線y=kx - 3k+4與O 0交于

6、B、C兩點，則弦BC的長的最小值為.【考點】FI :一次函數綜合題.【專題】16 :壓軸題.【分析】根據直線y=kx - 3k+4必過點D(3, 4)，求出最短的弦 CB是過點D且與該圓直徑垂直的 弦，再求出 0D的長，再根據以原點 0為圓心的圓過點 A (13，0)，求出0B的長，再利用勾股定 理求出BD,即可得出答案.【解答】 解：t直線 y=kx - 3k+4=k (x - 3) +4,/ k (x - 3) =y - 4,T k 有無數個值， x - 3=0, y - 4=0,解得 x=3 , y=4,直線必過點 D( 3, 4),最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦，點D的坐標是

7、(3, 4), 0D=5以原點0為圓心的圓過點 A (13, 0),圓的半徑為13, 0B=13 - BD=12 - BC的長的最小值為 24;故答案為：24.【點評】此題考查了一次函數的綜合,用到的知識點是垂徑定理、勾股定理、圓的有關性質，關鍵 是求出BC最短時的位置.STEP 2:新課講解1、熟練掌握圓幕定理的基本概念。2、熟悉有關圓幕定理的相關題型，出題形式與解題思路3、能夠用自己的話敘述圓幕定理的概念。4、通過課上例題，結合課下練習。掌握此部分的知識。一、相交弦定理相交弦定理(1) 相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等(經過圓內一點引兩條線,各弦被這點所分成的兩

8、段的積相等).|幾何語言：若弦 AB、CD交于點P,貝U PAPB=PCPD (相交弦定理).(2) 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.-V幾何語言：若 AB是直徑，CD垂直AB于點P,則PC2=PAPB (相交弦定理推論)基本題型:【例1】（2014秋江陰市期中）如圖，。O的弦AB CD相交于點P,若AP=3 BP=4CP=2則CD長為（）A. 6B. 12 C. 8D.不能確定【考點】M7：相交弦定理.【專題】11 :計算題.【分析】由相交線定理可得出 APBP=CPD,再根據AP=3, BP=4, CP=2可得出PD的長，從而得出CD即可.【解答

9、】解：I APBP=CPDP PD二CP/ AP=3 BP=4, CP=2 PD=6 CD=PC+PD=2+6=8故選C.【點評】本題考查了相交線定理，圓內兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等.【練習1】（2015南長區一模）如圖，矩形 ABCD為O O的內接四邊形，AB=2 BC=3 點E為BC上一點，且BE=1延長AE交。O于點F,則線段AF的長為（）A 匕- B. 5 C. -+1D. . 【考點】M7:相交弦定理.【分析】由矩形的性質和勾股定理求出AE,再由相交弦定理求出 EF，即可得出AF的長.【解答】解：四邊形 ABCD是矩形，:丄 B=90， AE=/乩肓豐 J - ；=.

10、! ，/ BC=3 BE=1，. CE=2,由相交弦定理得：AEEF=BEC，.EF上DCE 1X25r， AF=AE+EF古-;故選：A.【點評】本題考查了矩形的性質、勾股定理、相交弦定理；熟練掌握矩形的性質和相交弦定理，并 能進行推理計算是解決問題的關鍵.綜合題型【例2】（2004福州）如圖，AB是。O的直徑，M是上一點，MNL AB,垂足為N. P、Q分別是2、卩上一點（不與端點重合），如果/ MNP/MNQ下面結論：/仁/ 2;/ P+Z Q=180 ;/QN PMN PM=QMMlN=PNQN其中正確的是（）A.B.CD.【考點】M7:相交弦定理；M2垂徑定理；M4:圓心角、弧、弦的

11、關系； M5:圓周角定理；S9:相 似三角形的判定與性質.【專題】16 :壓軸題.【分析】根據圓周角定理及已知對各個結論進行分析，從而得到答案.【解答】解：延長MN交圓于點 W延長QN交圓于點E，延長PN交圓于點F，連接PE, QF/Z PNMZ QNM MNL AB, Z仁Z 2 （故正確），/Z 2與Z ANE是對頂角， Z 仁Z ANE/ AB是直徑，可得PN=EN同理NQ=NF/點N是MW的中點，mnnw=Mpnnf=ennq=pnq故正確）， MN NQ=PN MN/Z PNMZ QNM NPMTA NMQ/ Q=Z PMN（故正確）.故選B.【點評】本題利用了相交弦定理，相似三角形

12、的判定和性質，垂徑定理求解.與代數結合的綜合題【例3】（2016中山市模擬）如圖，正方形ABCD內接于。O,點P在劣弧AB上，連接DP交AC于點Q若QP=QO則単的值為（）QAA. _-1 B. _ :C : - .: D.【考點】M7:相交弦定理；KQ勾股定理.【專題】11 :計算題.【分析】 設O O的半徑為r, QO=m貝U QP=m QC=r+m QA=r- m利用相交弦定理，求出m與r的關系，即用r表示出m,即可表示出所求比值.【解答】 解：如圖，設O O的半徑為r， QO=m則QP=m QC=r+mQA=r- m.在O O中，根據相交弦定理，得 QAQC=QPQD2_ 2即(r -

13、 m)( r+m) =mQD 所以 QD 連接DO由勾股定理，得 qD=dO+qO,解得IP所以,故選D.各弦被這點所分得的兩線段的長【點評】本題考查了相交弦定理，即“圓內兩弦相交于圓內一點, 的乘積相等” 熟記并靈活應用定理是解題的關鍵.需要做輔助線的綜合題【例4】（2008秋蘇州期末）如圖，O O過M點，O M交O0于A,延長O O的直徑AB交OM于 C,若 AB=8 BC=1 貝U AM=【考點】M7:相交弦定理；KQ勾股定理；M5圓周角定理.【分析】 根據相交弦定理可證 ABBC=EBBF= EM+MB （ MF- MB =aM- mB=8，又由直徑對的圓周角 是直角，用勾股定理即可求

14、解AM=6【解答】解：作過點M B的直徑EF,交圓于點E、F,貝U EM=MA=MF由相交弦定理知， ABBC=EBBF= EM+MB （ MF- MB =aM- mB=8,TAB是圓O的直徑，/ AMB=90 ,由勾股定理得， AM+MB=A=64, AM=6【點評】本題利用了相交弦定理，直徑對的圓周角是直角，勾股定理求解.、割線定理割線定理割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積 相等.幾何語言： PBA , PDC是O O的割線 PDPC=PAPB （割線定理） 由上可知：PT2=PAPB=PCPD .基本題型【例5】（1998紹興）如圖，過點P作O

15、 O的兩條割線分別交O O于點A B和點C、D, 已知PA=3 AB=PC=2則PD的長是（）A. 3 B. 7.5 C . 5 D. 5.5【考點】MH切割線定理.【分析】由已知可得PB的長，再根據割線定理得 PAPB=PCP即可求得PD的長.【解答】解：I PA=3, AB=PC=2 PB=5/ PAPB=PCPD PD=7.5,故選B.【點評】主要是考查了割線定理的運用.【練習2】（2003天津）如圖，Rt ABC中, Z C=90 , AC=3 BC=4以點C為圓心、CA為半徑的圓與 AB BC分別交于點 D E.求AB AD的長.【考點】MH切割線定理；KQ勾股定理.【分析】Rt A

16、BC中，由勾股定理可直接求得 AB的長；延長BC交O C于點F,根據割線定理，得 BEBF=BDBA由此可求出 BD的長，進而可求得 AD的長.【解答】 解：法1:在Rt ABC中，AC=3, BC=4根據勾股定理，得 AB=5.延長BC交O C于點F，則有：EC=CF=AC=3 O C 的半徑），BE=BG EC=1, BF=BC+CF=7由割線定理得，BEBF=BDBA于是BE-BF 7BD= BA 5所以AD=AB- BD法2 :過C作CML AB,交AB于點M如圖所示，由垂徑定理可得 M為AD的中點，1|1口/ ab詩ACBC青ABCM 且 AC=3 BC=4, AB=5,CMU5在R

17、t ACM中，根據勾股定理得:aC=aM+cM,即卩 9=aiM+（）2,解得：AM呂,AD=2AM=5【點評】此題主要考查學生對勾股定理及割線定理的理解及運用.16 n，過小圓上綜合題型【例6】(2015武漢校級模擬)如圖，兩同心圓間的圓環的面積為任意一點P作大圓的弦AB,貝U PAPB勺值是()A. 16 B. 16n C. 4D. 4n【考點】MH切割線定理.【分析】過P點作大圓的直徑 CD如圖，設大圓半徑為 R,小圓半徑為r，根據相交弦定理得到 PAPB=(OC- OP) ( OP+OD =於r2,再利用 n 於n r2=16n 得到 於r2=16，所以 PAPB=16【解答】解：過P

18、點作大圓的直徑 CD如圖，設大圓半徑為 R小圓半徑為r，/ PAPB=PCPD.PAPB= ( OC- OP ( OP+OD=(R- r)( R+r)=R r2，兩同心圓間的圓環(即圖中陰影部分)的面積為16n，.n R n=16 n ，.於r2=16， PAPB=16故選A.【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧也考查了相交弦定理.【思考】觀察講義課后練習最后一道題，是否有思路？三、切割線定理切割線定理切割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.幾何語言：反nAC PBA，PDC是O O的割線v J PDPC=PA

19、PB （割線定理）由上可知：PT2=PAPB=PCPD .m【例7】（2013長清區二模）如圖，PA為O O的切線，A為切點，。O的割線PBC過點 O與O O分別交于B、C, PA=8cm PB=4cm求O O的半徑.【考點】MH切割線定理.【專題】11 :計算題.【分析】連接OA設O O的半徑為rcm,由勾股定理，列式計算即可.【解答】解：連接OA設O O的半徑為rcm，（ 2分）則 r 2+82= （r+4 ） 2，（ 4 分）解得r=6，.O O的半徑為6cm.（ 2分）【點評】本題考查的是切割線定理，勾股定理，是基礎知識要熟練掌握.【練習3】（2013秋東臺市期中）如圖，點P是OO直徑

20、AB的延長線上一點，PC切O O于點C,已知OB=3 PB=2則PC等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【考點】MH切割線定理.【專題】11 :計算題.【分析】根據題意可得出 PCf=PBPA再由OB=3 PB=2則PA=8代入可求出PC.【解答】 解： PC PB分別為O O的切線和割線， pC=pbpaOB=3 PB=2,. PA=8,. PC=PBPA=2 8=16，. PC=4.故選C.P=PBPA【點評】本題考查了切割線定理，熟記切割線定理的公式四、切線長定理切割線定理（1 ）圓的切線長定義：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.（2）切線長定理

21、：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連 線，平分兩條切線的夾角.（3）注意：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的IV長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.（4）切線長定理包含著一些隱含結論： 垂直關系三處； 全等關系三對； 弧相等關系兩對，在一些證明求解問題中經常用到.【例8】（2015秦皇島校級模擬）如圖，一圓內切四邊形 ABCD且BC=10 AD=7則四邊形的周長為（）A. 32 B. 34 C. 36 D. 38【考點】MG切線長定理.【分析】根據切線長定理，可以證明圓外切四邊形的性質：圓外切四邊形的兩組對邊和相等，從

22、而可求得四邊形的周長.【解答】解：由題意可得圓外切四邊形的兩組對邊和相等，所以四邊形的周長=2X（ 7+10） =34.故選：B.【點評】此題主要考查了切線長定理，熟悉圓外切四邊形的性質：圓外切四邊形的兩組對邊和相等是解題關鍵.【練習4】（2015岳池縣模擬）如圖，PA PB切。O于A，B兩點，CD切O O于點E交PA PB于C, D,若O O的半徑為r， PCD的周長為3r，連接OA OP貝U爭的值PA是（ ）A 十B丄 C- D-【考點】MG切線長定理；MC切線的性質.【分析】利用切線長定理得出 CA=CF DF=DB PA=PB進而得出PAr，求出即可.【解答】 解： PA PB切OO于

23、A B兩點，CD切O 0于點E交PA PB于C, D, CA=CF DF=DB PA=PB PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r PA-r2則鬻的值是：訐=| 故選：D.【點評】此題主要考查了切線長定理，得出PA的長是解題關鍵.【例9】（2014秋夏津縣校級期末）如圖，P為O 0外一點，PA PB分別切O 0于A,B, CD切O 0于點E,分別交PA PB于點C, D.若PA=5則厶PCD的周長和/ COD 分別為（）+Z P)B. 7, 90D. 10, 90。召 / P【考點】MG切線長定理.=2PA連接0A【分析】根據切線長定理，即可得到PA=PB ED=AD CE=BC從而

24、求得三角形的周長0E0B根據切線性質，/ PR AO。，再根據CD為切線可知/ C0D= / A0B【解答】解：I PA PB切O0于A B, CD切O 0于E, PA=PB=10 ED=AD CE=BC PCD的周長=PD+DE+PC+CE=2PAJ卩厶 PCD的周長=2PA=10,;如圖，連接0A 0E 0B由切線性質得， 0AL PA 0BL PB, 0EL CD DB=DE AC=CE / A0=0E=0B易證 A0C E0C( SAS , E0D B0D(SAS ,/ AOCM EOC / EOD=/ BOD./ COH/ AOB2/ AOB=180 -Z P,/ COD=90 -

25、Z P.2故選：C.常通過作輔助線連接圓心和【點評】本題考查了切線的性質，運用切線的性質來進行計算或論證, 切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題，是基礎題型.五、圓幕定理請嘗試解出下列例題:【例10】(2005廣州)如圖，在直徑為6的半圓AB上有兩動點 M N,弦AM BN相交于點P,貝U APAM+BPBN值為.【考點】M7:相交弦定理；KQ勾股定理；M5圓周角定理.【專題】16 :壓軸題；25 :動點型.【分析】連接AN BM根據圓周角定理，由AB是直徑，可證Z AMB=90 ,由勾股定理知，Bh=MP+BM, 由相交弦定理知，APPM=BPPN,原式=AP ( AP+PM ) +BP

26、 ( BP+PN ) =AP+APPM+BP)BPPN=AP+BF2+2APPM=APMP+BM+2APPM=Ai+ (AP+PMI 2=Ah+AM=AB=36.【解答】解：連接AN BM/ AB是直徑， Z AMB=90 . Bh=MP+BM / APPM=BPPN原式=AP (AP+PMI +BP ( BP+PN =AP+APPM+B+BPPN =aP+bP+2appm2 2 2=AP+MP+BM+2APPM=bM+ ( ap+pmi 2=bM+aM=aB=36.【點評】本題利用了圓周角定理和相交弦定理，勾股定理求解.以上四條定理統稱為圓幕定理。（部分參考書以前三條為圓幕定理）圓幕定理：過

27、平面內任一點P （P與圓心0不重合）做。O的（切）割線，交。O與點A B,則恒有PAPB=OP2r2。（“ OP2 r2 ”被稱為點P到OO的幕。）STEP 3:落實鞏固一一查漏補缺理念：找到自己本節課的薄弱環節。STEP 4:總結理念：本結課復習了什么？學到了什么？方法：學生口述+筆記記錄。STEP 5:課后練習一 選擇題（共5小題）1如圖所示，已知O 0中，弦AB, CD相交于點P, AP=6 BP=2 CP=4貝U PD的長是（ ）A. 6 B. 5C. 4 D. 3【分析】可運用相交弦定理求解，圓內的弦AB, CD相交于P,因此APPB=CPPD代入已知數值計算即可.【解答】解：由相交

28、弦定理得 APPB=CPPD/ AP=6 BP=2, CP=4, PD=APP孑 CP=6X 2 - 4=3.故選D.【點評】本題主要考查的是相交弦定理“圓內兩弦相交于圓內一點，各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等”.2.O 0的兩條弦 AB與 CD相交于點 P, PA=3cm PB=4cm PC=2cm 貝U CD=（）A. 12cmB. 6cm C. 8cm D. 7cm【分析】根據相交弦定理進行計算.【解答】解：由相交弦定理得：PAPB=PCP,.dp=- =_-_L=6cm CD=PC+PD=2+6=8cm故選 C.PC 2【點評】本題主要是根據相交弦定理“圓內兩弦相交于圓內一點，各

29、弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等”進行計算.3.如圖，O O中，弦AB與直徑CD相交于點P ,且PA=4 PB=6 PD=2則O O的半徑為（ ）A. 9B. 8C. 7 D. 6【分析】根據相交弦定理得出 APX BP=CP DP求出CP求出CD即可.【解答】解：由相交弦定理得：APX BP=CP DP/ PA=4, PB=6, PD=2.CP=12 DC=12+2=14CD是O O直徑， O O半徑是7.故選C.【點評】本題考查了相交弦定理的應用，關鍵是能根據定理得出APX BP=CX DP.4.如圖,A是半徑為1的圓O外的一點,OA=2 AB是O O的切線,B是切點,弦BC/OA連接

30、AC,則陰影部分的面積等于（）【分析】連接OB, OC易證： BOC是等邊三角形，且陰影部分的面積= BOC的面積，據此即可求解.【解答】解：連接OB OC/ AB是圓的切線， / ABO=90 , 在直角 ABO中，OB=1, OA=273V324/ OAB=30，/ AOB=60 ,/ OA BC, / COBM AOB=60，且 S 陰影部分=Sboc, BOC是等邊三角形，邊長是 1, S陰影部分=Sa bo X 1 X2故選A.【點評】本題主要考查了三角形面積的計算，以及切割線定理，正確證明BOC是等邊三角形是解題的關鍵.5.如圖，PA PB分別是。0的切線，A, B分別為切點，點E

31、是。O上一點，且/AEB=60 , 則/P為（ ）A. 120B. 60C. 30D. 45【分析】連接OA B0由圓周角定理知可知/ AOB=2/ E=120， PA PB分別切O O于點A、B,利 用切線的性質可知/ OAPM OBP=90，根據四邊形內角和可求得/ P=180 -Z AOB=60 .【解答】解：連接OA B0/Z AOB=Z E=120， Z OAPZ OBP=90， Z P=180 -Z AOB=60 .故選B.【點評】本題考查了切線的性質，切線長定理以及圓周角定理，禾U用了四邊形的內角和為360度求解.解答題（共3小題）丄，求PC的長.【分析】延長CP交O O于D.由

32、垂徑定理可知 CP=DP由AB=8AP13，得到 APAB=2,4AB=6.再6. 如圖，P為弦AB上一點，CP丄OP交O O于點C, AB=8根據相交弦定理得出 PCPD=APP,B代入數值計算即可求解.【解答】解：如圖，延長 CP交OO于D./ CP丄 OF, CP=DP/ AB=8 丄,PB 31113 AP丄AB=2, PB二AB=644AB CD是O O的兩條相交弦，交點為 P, PCPD=APPB PC=2X 6, PC=2 ：:.【點評】本題考查了相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等同時考查了垂徑定理，準確作出輔助線是解題的關鍵.7. 如圖，AB, BC CD分別與O 0相切于 E, F, G,且 AB/ CD BO=6cm CO=8cm 求 BC的長.【分析】根據切線長定理和平行線的性質定理得到BOC是直角三角形再根據勾股定理求出BC的長.【解答】解： AB,