1、第二章 力矩 有固定轉動軸物體的平衡本章學習提要1理解力矩概念和定義，會運用力臂和力矩的定義計算力矩。2會利用力矩盤進行實驗，探究有固定轉動軸的物體的平衡條件。3理解有固定轉動軸的物體的平衡，知道有固定轉動軸的物體的“力矩平衡條件 ”，能運用力矩平衡條件求解有關問題，解釋生活和生產中的實際問題。本章內容從基礎型物理課程中的質點問題 （質點受力、 共點力平衡條件） 拓展到剛體問 題（力矩、力矩平衡條件） 。在日常生活和生產中所見到的物體的運動，以及分子、原子這 樣的微觀粒子和宇宙天體的運動都包括轉動， 因此關于力矩和力矩平衡條件的討論具有普遍 意義。 認識怎樣根據實際需要引進力矩， 以及力矩的定

2、義方法和它的物理意義。 通過力矩和 力矩平衡條件的學習和應用， 體會物理學與技術、 社會的聯系， 了解運用力矩平衡條件設計 出各類工具，以及千姿百態、風格迥異的各種橋梁和大型建筑，領略科學美。A 力矩一、學習要求理解力臂和力矩概念，會用力臂和力矩的定義計算力矩。從實際例子的分析中， 明白引進力矩的必要性； 認識力矩的定義方法以及力矩的物理意 義。通過從實際需要中引進力矩概念，了解力矩概念與常用工具和生活、生產的聯系， 體會 物理學與實際的密切關系。二、要點辨析1為什么要引進力矩力對質點運動的作用效果取決于它的大小和方向。 而力對物體轉動的作用效果不僅與力 的大小和方向有關， 還與力的作用點的位

3、置有關， 為了描寫力的大小、 方向和作用點對物體 轉動的作用效果，需要引進力矩這個物理量。力臂：力的作用線與轉動軸之間的距離稱為力臂。力矩：力（F）和力臂（L）的乘積稱為力對轉動軸的力矩。2關于力的作用線與轉動軸的距離力的作用線是力的方向上的一條假想的直線。 力的作用線與轉動軸的距離實際上涉及到 兩條線之間的距離。 一般情況下確定空間中任意兩條直線間的距離比較麻煩。我們所討論的僅限于力的作用線都在同一個與轉動軸相垂直的平面內，若該平面與轉動軸的交點稱為O，那么我們需考慮的空間中兩條直線 （力的作用線與轉動軸線） 間距離的問題便簡化為一個點 （O 點）與一條直線（力的作用線）間距離的問題。3求力

4、矩的兩種基本方法（ 1）先求力臂的方法：先求力臂，再求力矩的方法計算力臂的要點是，從轉動軸作力 的作用線的垂線，其垂線長即為該力對于轉動軸的力臂。力臂的計算通常要用到三角函數。（ 2）力的分解方法：先將力正交分解為兩個分力，然后分別計算兩個分力對轉動軸的 力矩，該力的力矩就等于這兩個分力力矩的代數和 （注意力矩正負的判斷） 。在一般情況下， 可使其中一個分力的作用線過轉動軸， 其力臂為零， 因而力矩為零， 這時只要計算另一個分 力的力矩即可。二、例題分析【示例】如圖2-1 (a)所示，長度為1 = 1m的桿0B可繞通過0點垂直于紙面的軸轉 動，繩AB的拉力為20N，桿0B剛好水平，AB與0B的

5、夾角為30°求拉力的力矩。bHu,J8 / 10【解答】分別用先求力臂的方法和力的分解方法計算。(1) 先求出拉力F的力臂。如圖2-1 (b)所示，對于轉軸 0來說，力F的力臂為L = Isin 0,其中0= 30 °因此拉力F對于轉軸0的力矩為M = FL = Flsin 0= 20 X1 冶in30 N m = 10N -m。(2) 先將拉力F分解為垂直于桿方向的分力Fi= Fsin 0,以及沿桿方向的分力 F?= Feos 0,如圖2-1 ( c)所示。其中沿桿方向的分力Fi指向轉軸，相應的力臂為零，所以相應的力矩也為零。而垂直于桿方向的分力F1的力臂就等于 0B的長

6、度I，因此相應的力矩為M = F1I = Fsin 0 = 20 冶泊30 °1N m = 10N -m。兩者結果完全相同。四、基本訓練1.用一把柄的長度為 25cm的扳手擰緊一尺汽車輪胎上的螺帽， 如圖所示。如果你在扳手的一端沿與扳手柄成60°角的方向上用200N的力拉扳手，則所施的力矩是多少？2圖中各物體都受到幾個力的作用，并且可以分別繞通過0點且垂直于紙面的軸轉動，畫出圖中各個力以 0點為轉動軸的力臂；哪些力矩是引起順時針方向轉動的力矩？哪些是引 起逆時針方向轉動的力矩？哪些力對0點的力矩為零？(C)3. OA是一根長為I，質量為m的均勻鐵棒，可繞 O點的軸自 由轉動

7、，問：當恒定外力F將它拉到如圖所示位置的過程中，該棒所受的重力是否改變？重力對O點的力臂和力矩是否改變？怎樣改變？ F對O點的力臂和力矩是否改變？怎樣改變？4. 如圖所示，直桿0A可繞通過0點，且垂直于紙面的軸轉 動，桿的A端分別受到Fi、F2、F3、F4的作用。已知力的作 用線都在紙面內，且這四個力的矢量末端均落在一條與0A平行的虛線上，設它們對 0軸的力矩分別為 Mi、M2、M3、 M4,則這四個力矩大小的關系是()(A ) M1 > M2> M3> M4(B) M1= M2= M3= M4(C) M1< M2v M3v M4(D) 以上說法都不對5. 在如圖所示的

8、絞盤的把手上，應至少施以多大的力，才能使緊繞 在滾筒上的繩子產生 2500N的拉力？滾筒和把手的尺寸如圖中所示。 與水平面的夾角為 0;轉軸在C點，BC長L/4,問：這根金屬桿的 AC段和CB段的重力對H-lOcin6聯系本節課本開頭的蹺蹺板游戲情景，求解如下問題：如圖所示，杠桿 AB可繞通過O點，且垂直于 紙面的軸轉動。它受到兩個力作用，力Fa的大 小為80N，其作用線與 AO的夾角為0= 60°Fb的大小為30N，方向與 OB垂直。AO = 0.8m,OB = 2.2m。求Fa和Fb對于轉軸O的力矩。7根長為L、重為G的均勻桿，一端擱在光滑水平地面上，另一端為轉軸，如圖所示。桿與

9、水平地面的夾角為0,則桿所受重力對轉軸的力矩為 。如果地面對桿的支持力為 F,則支持力F對轉軸的力矩為 。8如圖所示，AB是一根質量為 m、長度為L的均勻 金屬桿，靜止在水平位置，其 A端用細繩懸掛，細繩C點的力矩分別是多少？如果細繩的拉力為T,那么該拉力對 C點的力矩又是多少？9如圖所示，小型臂式起重設備的吊桿質量為150kg ,其重心與轉2軸O的距離是吊桿長度的。當吊桿與水平方向的夾角為0= 30°5時，最大安全負載為3000N。如果這一最大負載是由 O處的轉軸所 能承受的最大力矩所確定的，那么當0= 45。和60°時，這臺起重機的最大安全負載分別是多少？10. 如圖所

10、示，重為 G的L型勻質桿的一端 O通過鉸鏈與墻體 連接，一個力F作用在B端，當F與水平面成a= 45°角時，桿 的OA邊恰好靜止在水平方向。已知OA長為2L, AB長為L。試分別用先求力臂的方法和力的分解方法計算力對轉軸O的力矩M。11. 有一塊均勻的直角三角形木板ABC，可繞通過C點且垂直于紙面的軸轉動，如圖（a）所示。現用力使它的 BC邊從水平位置轉至豎直位置，在此過程中，重力對轉軸的力矩大小 隨a角變化的圖線是圖（b）中的（）F1和12將一個橫臥的油桶推上高為h的臺階。油桶的半徑為R（ R> h），豎直向上的推力 F1作用在桶的最左邊的一點， 同時F2作用在桶的最高點，如

11、圖所示。則推力 對轉動軸O的力矩各是多少？B有固定轉動軸物體的平衡條件、學習要求理解有固定轉動軸的物體的平衡，知道轉動平衡狀態，理解有固定轉動軸的物體的力矩平衡條件”；會利用力矩盤實驗探究有固定轉動軸的物體的平衡條件；會運用力矩平衡條 件求解有關問題，解釋生活和生產中的實際問題。通過力矩盤實驗，經歷和感受從實驗中歸納出力矩平衡條件的探究過程,了解運用力矩平衡條件設計出千姿百態、風格迥異的各種橋梁和大型建筑，領略科學美。、要點辨析1理解力矩平衡條件有固定轉動軸的物體處于平衡狀態(即靜止或勻速轉動狀態) 時，施加在該物體上所有力的力矩應當滿足的條件稱為力矩平衡條件”。力矩平衡條件可用公式表示為：M

12、逆=M順，其中M逆和M順分別表示從轉軸的一個方向上看，能引起物體沿逆時針和順時針方向轉動的所有力矩之和。2運用力矩平衡條件解決問題的一般步驟 明確作為研究對象的物體，以及轉動軸； 分析物體上所受的力的大小、方向、作用點，畫出受力圖。凡是其作用線通過轉軸的力可不考慮(通過轉軸的力的力臂為零，因此力矩為零)； 得出每個力對轉動軸的力臂和力矩，確定每個力矩究竟是順時針力矩還是逆時針力矩； 列出力矩平衡條件方程，解出未知量。3.關于轉動軸的確定在我們所討論的問題中，固定轉動軸”比較明顯，如杠桿的支點、圓盤的軸心，但是在實際中，有些問題中的轉動軸并不十分明顯，有些甚至沒有明顯的轉動軸(見A節基本訓練中的

13、第12題、本節基本訓練中的第 9題)，這時常常需要根據 轉動趨勢”來確定轉動軸。三、例題分析【示例】如圖2-2 (a)所示，一根長4m的 木桿，假定下端用鉸鏈固定在地面上，桿 的頂端有根水平電線向左拉，拉力Ft恒為500N。桿的右邊用一根長度為4m的鋼繩將桿垂直固定在地面上。(1) 如果鋼繩上端 A離地面的高度為3.5m, 此時鋼繩受到的拉力是多少？(2) 為了使鋼繩受到的拉力最小，其上端A離地面的高度應是多少？此時鋼繩受到的拉力又是多少？【解析】設桿長為L ;鋼繩的拉力為F;鋼繩的長度為I，其上端A離地面的高度為X, 下端B到鉸鏈的距離為y,鋼繩與桿的夾角為 a,如圖2-2 (b)所示。(1

14、)有三個力作用在桿上：水平電線對桿的拉力Ft，鋼繩的拉力F，在鉸鏈處地面對桿的支持力。其中地面對桿的支持力對轉軸的力矩為零；Ft對轉動軸的力矩為 M逆=FtL ;F對轉軸的力矩為 M順=Fxsina。由力矩平衡條件，得Fxsin a= F tL考慮到sin a=由上式可得解：l，并將已知量Ft = 500N、L = 4m、x = 4m、x= 3.5m 代入,_Ft Ll_x J2-x2500 >4 >43.5 X 42- 3.52N = 1180.3N。(2)由上面的力矩平衡條件，考慮到 sina=；，可得FtLIF = xy為了得到最后結果，需應用 F最小的條件。要使 F最小，x

15、y必需最大。考慮到2xy= x2l因此,4=m= 2.83m。l 2FtLF =_2 >500 X4N=1000N。即鋼繩應固定在桿上離地面高度為2.83m處，此時鋼繩受到的拉力最小，為1000N。四、基本訓練1 如圖所示，T型架ABO可繞過O點且垂直于紙面的軸自由轉動， 現在其A端和B端分別施以力F!和F2,它們的方向如圖所示。貝U 關于這兩個力的力矩 Mi和M2的下列說法正確的是()(A) 都會引起物體順時針方向轉動(B) 都會引起物體逆時針方向轉動(C) Mi會引起物體逆時針方向轉動，M2會引起物體順時針方向轉 動(D) Mi會引起物體順時針方向轉動，M2會引起物體逆時針方向轉動2

16、.如圖所示，一根均勻直桿 OA可繞過O點且垂直于紙面的軸 轉動。為了測量桿的質量，用一個F = 12N的水平力在 A端將它拉到與豎直方向成 30°角的位置并處于靜止狀態，桿的質量是多少？G3一架簡單的起重機結構示意圖如圖所示。設均勻桿OB長為L,重為Gi, B端所掛物件的重力為 G2。桿可 繞過O點且垂直于紙面的軸自由轉動。 桿的B端用輕質 鋼繩緊拉，系于地面上的 A點。桿與地面成 60°角，鋼 繩與地面成30°角。此時鋼繩 AB的拉力對O點的力臂 為;懸掛物體輕質鋼繩的拉力對 O點的力矩為，鋼繩AB的拉力為。4 道路上有時使用的交通指示牌及其支架如圖所示。若指示

17、牌的質量為5kg，它懸掛在長度為 3m的水平桿AB的一端，桿CD的 長度為2m, 0= 30°,這些桿的質量都不計，求 CD桿中的拉力。+ y2( x- y) 2= l2( x-y) 2,可見要使 xy 最大，應取 x= y,故5從圖（a）起重吊車工作時的情景可抽象出一個如圖（ b）所示的關于力矩平衡的物理問 題。質量為m= 500kg,長度OA = 6m的均質吊桿OA可繞通過O點且垂直于紙面的軸轉動，吊桿與地面的夾角為a= 45° A處吊掛物件的質量為 M = 2000kg。撐桿BC此時與吊桿間的夾角為3= 30° OC= 2.5m。求撐桿的支撐力 Ft。6如圖

18、所示，已知 O為桿的中點，G= 200N，桿的質量忽略不 計。分別沿DA （水平向左）、DB （與桿垂直）、DC （豎直向上） 三個不同方向用力拉住桿， 使其靜止，問：此時的拉力各是多少？ 哪一種情況最省力？為什么？7單臂斜拉橋示意圖如圖所示。均勻橋板重為 G,可繞通過O點且垂直于紙面的軸轉動， 三根平行鋼索與橋面成 30° 角，間距 AB = BC = CD = DO。如果每根鋼索所受拉力大 小相等，求拉力的大小。&如圖所示，均質桿每米重30N，現有一重量為 W= 300N的物件掛在離轉軸 O的距離為2m處，問：選用多長的桿才 能使需要在另一端施加的平衡力F最小？此最小值為

19、多少？9.圖（a）是雜技芭蕾天鵝舞中的一個動作，為了估算扮演王 子的男演員右手需用拉力的大小，如圖（b）所示，可將被托舉的白天鵝女演員簡單地抽象為一個可繞通過O點且垂直于紙面的軸轉動的物體 AOB，其中OB與水平方向之間的夾角為0=45 °設AO段的質量為 m1 = 36kg，其重心C與O點的距離為9 / 10OC0= 0.4m;女演員的腿部長 OB = 0.7m，質量為m2= 8kg，且均勻分布，試計算水平拉力F的大小。10.如圖所示，均勻木板 AB長12m，重200N。 在距A端3m處有一固定轉動軸 0。B端用繩拴 住，繩與AB的夾角為30°板AB呈水平位置。 已知繩能

20、承受的最大拉力為200N。試確定重600N的人在該板上行走的安全范圍。11.如圖所示，力矩盤的重心在轉軸0處，半徑0A恰水平，0B丄'0A。在A、B處各掛一個相同的砝碼，則力矩盤轉過的角度為 （時平衡。若 A處掛兩個相同的砝碼， B處掛一個相同的砝碼，則力I '矩盤轉過的角度為 時平衡。12. 一根木料長3m,提起它的右端要用 600N的力；提起它的左端要用 800N的力。問：這 根木料有多重？這根木料的重心在何處？13如圖（a）所示，長度為L、重為G的均勻橫桿，A端通過鉸鏈固定在墻面上，另一端 用鋼絲繩拉成水平狀態，鋼繩與橫桿的夾角為0o從開始時刻起，一個質量為 m，可視為質

21、點的物體沿桿以速度 v從A端勻速滑向B端。問：在小物體滑動過程中鋼絲繩的拉力Ft隨時間有怎樣的變化關系？在圖（b）上作出Ft圖。14. STS關于人體某些部位的力矩平衡問題13 / 10（1） 如圖（a）所示。手臂水平伸直，手中握有一個重100N的重物，此時手臂主要由三角肌支承，根據圖中所示尺寸計算三角肌中的總張力F。（受力圖中，G/弋表手臂自身重量，它作用于手臂的重心處；Fh, Fv代表肩部的作用力）（2） 圖（b）中畫出了一個人正在彎腰提取G = 250N重物的情景，在受力圖上，A點處附加的G1= 20N代表手和臂部分所受的重力；B點處的G2 = 200N代表身體軀干部分所受 的重力，它作用于軀干的重心處，試根據這一簡化模型示意圖，計算提起重物時勃起脊柱肌中的張力F。（受力圖中Fh, Fv表示骨盆對脊柱底部的作用力。這個問題使人聯想起為什么 醫生建議應保持脊柱豎直，盡量用腿部肌肉的力量提起重物）* （3）圖（c）中畫出了一位體重 640N、體態勻稱的人體及一位體重900N、過度肥胖的人體示意圖，圖中還給出了人體臀部以上部分的受力情況。W是臀部以上部分所