1、第五章 解析函數的洛朗展式與孤立奇點§1 解析函數的洛朗展式教學目的與要求: 了解雙邊冪級數,了解洛朗級數與泰勒級數的關系,掌握解析函數在孤立奇點鄰域內的洛朗展式的求法.重點: 解析函數的洛朗展式;解析函數在孤立奇點鄰域內的洛朗展式的求法.難點：解析函數的洛朗展式的證明.課時：2學時定義 級數稱洛朗級數，稱為的系數.對于點，如果級數 收斂于，且級數 收斂于，則稱級數在點收斂，其和函數為當時，即變為冪級數.類似于冪級數，我們有定理 設在圓環內解析，則在內 其中 ，且，系數被及唯一確定.稱為的洛朗展式.證明：對作，（其中） 且使：，（如圖5.1）由柯西積分公式，有 +圖5.1對于第一個積

2、分，只要照抄泰勒定理證明中的相應部分，即得：= 其中對于第二個積分： 當 時 （右邊級數對于是一致收斂）上式兩邊乘上得：=右邊級數對 仍一致收斂，沿逐項積分，可得=其中=于是：， 其中= （n=0,）下面證明展式唯一，若在H內另有展開式右邊級數在上一致收斂，兩邊乘上得：=，右邊級數在上仍一致收斂，沿逐項積分，可得：= 即展式是唯一的.注：1）定理中的展式稱為洛朗展開式，級數稱為洛朗級數. 稱為洛朗系數.2）泰勒展式是洛朗展式的特例.例1求在（1）中的洛朗展開式.解：(1）= ().(2) . ()(3) . ()(4). () 此例子說明：同一個函數在不同的圓環內的洛朗展式可能不同.例2 求及

3、在內的洛朗展式 解 例3 在內的洛朗展式為解 作業: 第217頁 1 (1) (3), 2(1)(3)§2解析函數的孤立奇點教學目的與要求: 掌握洛朗定理及孤立奇點的分類及判斷方法.重點:孤立奇點的分類及判斷方法.難點：函數在本質奇點的鄰域的性質.課時：2學時一 . 定義：1設在點的某去心鄰域內解析，但在點不解析，則稱為的孤立奇點.例如，以為孤立奇點.以為奇點，但不是孤立奇點，是支點.以為奇點（又由，得故不是孤立奇點）2設為的孤立奇點，則在的某去心鄰域內，有稱為在點的主要部分，稱為在點的正則部分，當主要部分為時，稱為的可去奇點；當主要部分為有限項時，設為稱為的級極點；當主要部分為無限

4、項時，稱為本性奇點.二判定1可去奇點定理5.3 設為的孤立奇點,則下列條件等價為的可去奇點在的某去心鄰域內有界證明:設條件成立,則在的某一去心鄰域內,有顯然成立.設在的去心鄰域內以為界考慮在點的主要部分:為可去奇點.例：說明是的可去奇點法一：法二：2極點定理 設為的孤立奇點則下列條件等價：為的級極點在的某去心鄰域：內可表示為其中在內解析，且從為m級零點(可去奇點作為解析點看)證明：設條件成立，即在的某去心鄰域內有： （為冪級數的和函數，故解析）其中在的某鄰域內解析，且從：設條件成立，即在的某去心鄰域內有，其中滿足已知的兩個條件.由例知存在，使得在內.故在內解析，且.即為的級零點.設條件成立，即

5、其中在的某領域內解析，且，由的例知使在內在內解析.由定理，在內有在內有 作業: 第218-219頁 4(1) (3) (5), 5(1) (3).§3解析函數在無窮遠點的性質教學目的與要求:掌握解析函數在無窮遠點的性質.重點: 解析函數在無窮遠點的性質.難點：解析函數在無窮遠點的性質.課時：2學時1. 基本概念定義1：設在的去心領域： 內解析.則稱點為的孤立奇點（是任何函數的奇點）.如，以為孤立奇點，但以為非孤立奇點.定義2：設為的孤立奇點，令若為的可去奇點（看作解析點）.m級極點.本性奇點，則相應地，稱是的可去奇點（解析點）.m級極點，本性奇點.當為的可去奇點時，若是的m級零點，稱

6、為的m級零點.定義3：設為的孤立奇點，則在的去心領域內有 稱上式為在點的洛朗展式，并稱為在的主要部分.為在的正則部分.2、 結論：命題1. 設是的孤立奇點,則以為可去奇點主要部分0.以為m級極點主要部分為.以為本性奇點主要部分有無窮多項. 命題2、以為m級零點在的去心領域內可表示為其中在的領域內解析，且. 以為m級零點以為m級零點. 其中在的領域內解析且 .3. 主要定理： 定理5.3' 設為的孤立奇點,則下面三個條件等價： 1）為的可去奇點， 2） 3）在的去心領域內有界. 定理5.4' 設為的孤立奇點.則下面三個條件等價： 1）以為m級極點， 2）在的去心領域內可表示為其中

7、在的領域內解析， 且 . 3）以為m級零點. 定理5.5' 的孤立奇點為極點. 定理5.6' 的孤立奇點為本性極點不存在.§4整函數與亞純函數的概念及許瓦茲引理教學目的與要求: 了解整函數與亞純函數的概念;掌握為可去奇點；為極點的充要條件；了解許瓦茲引理.重點: 整函數與亞純函數的概念;為可去奇點;為極點的充要條件.難點：為可去奇點及極點的充要條件.課時：2學時1. 整函數定義4：在z平面上解析的函數稱為整函數.定理5.10 設為整函數，,則1） 為的奇點可去奇點2） 為的m級極點3） 為的本性奇點有無窮多個（稱為超越整函數）2. 亞純函數：定義5：在Z 平面上除極點

8、外無其他類型奇點的單值解析函數稱為亞純函數：如定理5.11為有理函數在擴充復平面上除了極點外無其他類型的奇點.證: “” 設，其中，為互質的多項式，次數分別為m，n. a）的點是的極點. b）當mn時，是的極點. c）當mn時，是的可去奇點（解析點）. “” 若所設條件成立，則在擴充復平面上的極點有限個.若不然這些極點在擴充平面上必有聚點.它是函數的非孤立奇點，與假設矛盾. 故可設為的極點，其級分別為.令，則為整函數，且以為極點或可去奇點，從而為多項式或常數.數為有理數.定義6：非有理數的亞純函數叫超越亞純函數：如.3. 許瓦茲引理：引理：設在K：內解析，且則a） ， b）， c）若，或，使則.證明：由已知得： 令則在內解析. 對取，使