1、動點問題一二次函數中等腰三角形存在性問題方法總結：假設結論成立;當所給條件中沒有說明哪條邊是等腰三角形的底、哪條是腰時，要對其進行分類討論，假 設某兩條邊相等，等到三種情況；設未知量，求邊長，在每種情況下，直接或間接設出所求點的坐標，并用所設點坐標表示 出假設相等的兩條邊的長或第三邊的長；計算求解，根據等腰三角形的性質或利用勾股定理或相似三角形的性質列等量關系式，根據等量關系式求解即可。典型例題：例1.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交坐標軸于A ( - 1, 0) , B ( 4, 0) , C (0, - 4)三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點.(1)求這個二次函數的解析式；(

2、2)是否存在點P,使APOC是以0C為底邊的等腰三角形若存在，求出P點坐標；若不存在，請說 明理由；(3)動點P運動到什么位置時， PBC面積最大，求出此時P點坐標和4PBC的最大面積.%,X2例2如圖，拋物線y= -2+mXn與*軸交于人、B兩點，與y軸交于點C ,拋物線的對稱軸交x 軸于點D,已知A ( - 1, 0) , C (0, 2)(1)求拋物線的表達式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使 PCD是以CD為腰的等腰三角形如果存在，直接寫出P 點的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當點E運動到什么位置 時，四邊

3、形CDBF的面積最大求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標.例3.如圖，二次函數y LX2 bx c的圖象經過A（2, 0） , B （0, 6）兩點. 2（1）求這個二次函數的解析式；（2）設該二次函數的對稱軸與x軸交于點C,連接BA, BC,求4ABC的面積.（3）在x軸上是否存在一點P,使4ABP為等腰三角形，若存在，求出P的坐標，若不存在，說明理 由.例4. （2014?綿陽）如圖，拋物線y=ax2+bx+c （aWO）的圖象過點M （ - 2, 3）,頂點坐標為N （-1,3 ）,且與軸交于A > B兩點，與y軸交于C點.（1）求拋物線的解析式；（2）點P為拋物線對稱軸上

4、的動點，當 PBC為等腰三角形時，求點P的坐標；（3）在直線AC上是否存在一點Q ,使QBl的周長最小若存在，求出Q點坐標；若不存在，請 說明理由.例5. 2014年四川資陽)如圖，已知拋物線產ax2+bx+c與x軸的一個交點為A (3, 0),與y軸的交點 為B (0, 3),其頂點為C,對稱軸為x=l.(1)求拋物線的解析式；(2)已知點M為y軸上的一個動點，當 ABM為等腰三角形時，求點M的坐標；例6.如圖，已知二次函數的圖象經過點A ( 3, 3)、B (4, 0)和原點O.P為二次函數圖象上的一 個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為D ( m , 0),并與直線0 A交于點C.(1)求

5、出二次函數的解析式；(2)當點P在直線OA的上方時，用含m的代數式表示線段PC的長，并求線段PC的最大值；(3)當m>0時，探索是否存在點P,使得APCO為等腰三角形，如果存在，請直接寫出所有P的坐標; 如果不存在，請說明理由.例7. （ 2014年浙江義烏12分）如圖，直角梯形ABC 0的兩邊0A, 0C在坐標軸的正半軸上，BC x 軸，0A=0C=4,以直線x=l為對稱軸的拋物線過A, B, C三點.（1）求該拋物線線的函數解析式.（2）已知直線1的解析式為yx m ,它與x軸的交于點G ,在梯形ABCO的一邊上取點P.當m=0時，如圖1,點P是拋物線對稱軸與BC的交點，過點P作PH

6、L直線1于點H,連結OP,試 求aOPH的面積.當m 3時，過P點分別作x軸、直線1的垂線，垂足為點E, F.是否存在這樣的點P,使以P, E, F為 頂點的三角形是等腰三角形若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.y小n小£小圖工圖2菌用圖例8.6如圖，拋物線一3 2y x廠3與 軸交于點，將線段 繞點八逆時針旋轉 x XA0 A0至0 B的位 0置.12063B為頂點的三角形是等腰三角形若存（1）點B在拋物線上；（2）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P,使得以點P、0、X例9.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx - 4 (aWO)的圖象與x軸交于A ( -

7、2, 0)、C(8, 0)兩點，與y軸交于點B,其對稱軸與x軸交于點D.(1)求該二次函數的解析式；(2)如圖1,連結BC,在線段BC上是否存在點E,使得4CDE為等腰三角形若存在，求出所有符 合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2,若點P (m , n)是該二次函數圖象上的一個動點(其中m >0, n<0),連結PB, PD, BD, 求4BDP面積的最大值及此時點P的坐標.例10.如圖，拋物線y ax2 5ax 4經過 ABC的三個頂點，已知BCx軸, 點A在x軸上，點C在y軸上，且AC BC .（1）求拋物線的對稱軸；（2）求拋物線的解析式；（3）探究：若點P

8、是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點，是否存在4PAB是等腰三角形.若存在，求 出所有符合條件的點P坐標；不存在，請說明理由.例11 .如圖11所示，在梯形ABCD中，已知ABCD, AD，D B , AD=D C=C B , AB=4.以AB所在直線為x軸，過D且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標系.（1）求NDAB的度數及A、D、C三點的坐標；（2）求過A、D、C三點的拋物線的解析式及其對稱軸L.（3）若P是拋物線的對稱軸L上的點，那么使PDB為等腰三角形的點P有幾個（不必求點P的坐標,只需說明理由）f7ABCD的三個頂點B ( , )、C(,)、D(,)拋例12.如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形4 08 08 8 .物線y=ax2+bx過A、C兩點.(1)直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；(2) 動點P從點A出發.沿線段AB向終點B運動，同時點Q從點C出發，沿