1、第二十四、二十五講 空間角與距離Oab600高考在考什么【考題回放】1如圖，直線a、b相交與點O且a、b成600，過點O 與a、b都成600角的直線有（ C ）A1 條 B2條 C3條 D4條2（江蘇理）正三棱錐P-ABC高為2，側(cè)棱與底面所成角為，則點 到側(cè)面的距離是（ B ）A B C6 D3（全國理）如圖，正四棱柱中，則異面直線所成角的余弦值為（ D ）ABCD4已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于5（四川理）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角是 6在棱長為的正方體ABCDA1B1

2、C1D1， E、F分別為BC與A1D1的中點， (1) 求直線A1C與DE所成的角；(2) 求直線AD與平面B1EDF所成的角；(3) 求面B1EDF 與 面ABCD所成的角。【專家解答】(1)如圖，在平面ABCD內(nèi)，過C作CP/DE交直線AD于P，則（或補角）為異面直線A1C與DE所成的角。在中，易得，由余弦定理得。故異面直線A1C與DE所成的角為。（2）， AD在面B1EDF內(nèi)的射影在EDF的平分線上。而B1EDF是菱形，DB1為EDF的平分線。故直線AD與面B1EDF所成的角為ADB1在RtB1AD中，則。故直線AD與平面B1EDF所成的角為。O（3）連結(jié)EF、B1D，交于點O，顯然O為

3、B1D的中點，從而O為正方體ABCDA1B1C1D1的中心，作OH平面ABCD，則H為正方形ABCD的中心。再作HMDE，垂足為M ，連結(jié)OM，則OMDE（三垂線定理），故OMH為二面角B1-DE-A的平面角。在RtDOE中，則由面積關(guān)系得。在RtOHM中。故面B1EDF 與 面ABCD所成的角為高考考什么【考點透視】異面直線所成角,直線與平面所成角,求二面角每年必考,作為解答題可能性最大.【熱點透析】1轉(zhuǎn)化思想：將異面直線所成的角,直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為平面角,然后解三角形 2求角的三個步驟：一猜,二證,三算猜是關(guān)鍵,在作線面角時,利用空間圖形的平行,垂直,對稱關(guān)系,猜斜線上一點或斜線本身

4、的射影一定落在平面的某個地方,然后再證3二面角的平面角的主要作法：定義 三垂線定義 垂面法距離【考點透視】判斷線線、線面、面面的平行與垂直，求點到平面的距離及多面體的體積。【熱點透析】 轉(zhuǎn)化思想： ；異面直線間的距離轉(zhuǎn)化為平行線面之間的距離，平行線面、平行面面之間的距離轉(zhuǎn)化為點與面的距離。2空間距離則主要是求點到面的距離主要方法：體積法； 直接法,找出點在平面內(nèi)的射影高考將考什么【范例1】如圖，在中，斜邊可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角動點的斜邊上（I）求證：平面平面；（II）當(dāng)為的中點時，求異面直線與所成角的大小；（III）求與平面所成角的最大值解法一：（I）由題意，是二面角是

5、直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中，又在中，異面直線與所成角的大小為（III）由（I）知，平面，是與平面所成的角，且當(dāng)最小時，最大，這時，垂足為，與平面所成角的最大值為解法二：（I）同解法一（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，異面直線與所成角的大小為（III）同解法一【點晴】本題源于課本，高于課本，不難不繁，體現(xiàn)了通過平移求線線、通過射影求線面角的基本方法。【變式】如右下圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2 E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB= FB=1(1

6、) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直線EC1與FD1所成的余弦值解：（I）以A為原點，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),故設(shè)向量與平面C1DE垂直，則有（II）設(shè)EC1與FD1所成角為，則【點晴】空間向量在解決含有三維直角的立體幾何題中更能體現(xiàn)出它的優(yōu)點，但必須注意其程序化的過程及計算的公式，本題使用純幾何方法也不難，同學(xué)不妨一試。【范例2】如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點。（）求證：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大小；分析：本小題

7、主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力解答：解法一：（）取中點，連結(jié)為正三角形，正三棱柱中，平面平面，ABCDOF平面連結(jié)，在正方形中，分別為的中點，在正方形中，平面（）設(shè)與交于點，在平面中，作于，連結(jié)，由（）得平面，為二面角的平面角在中，由等面積法可求得，又，所以二面角的大小為（）中，在正三棱柱中，到平面的距離為設(shè)點到平面的距離為由得，點到平面的距離為解法二：（）取中點，連結(jié)為正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中點，以為原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，xzABCDOFy，平面（）設(shè)平面的法向量為，令得為

8、平面的一個法向量由（）知平面，為平面的法向量，二面角的大小為【點晴】由線線、線面、面面的位置尋找滿足某些條件的點的位置，它能考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，兩種方法各有優(yōu)缺點，在向量方法中注意動點的設(shè)法，在方法二中注意用分析法尋找思路。【變式】在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，沿對角線AC將折起，使點B在平面ACD內(nèi)的射影O恰在AC上。（1）求證：AB平面BCD（2）求異面直線BC與AD所成的角。解：(1)在梯形ABCD中,AD=2，又平面ACD，故又，且平面BCD（2）因為BA=BC，為AC中點，取CD中點E，AB中點F，連結(jié)OE、OF、EF，則OE/AD，OF/BC，所以AD與

9、BC所成的角為或其補角.作FH/BO交AC于H，連結(jié)HE, 則FH平面ACD在三角形EOF中，又，EO=1由余弦定理知故異面直線BC與AD所成的角為【點晴】折疊問題必須注意折疊前后之間的關(guān)系和區(qū)別，本題使用空間向量的方法也不失一種好方法。【范例3】在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA面ABCD，PAABa，E為BC中點.（1）求平面PDE與平面PAB所成二面角的大小；（2）求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小解：（1）延長AB、DE交于點F，則PF為平面PDE與平面PAD所成二面角的棱，PA平面ABCD，ADPA、AB, PAAB=ADA平面BPA于A,過A作AOPF于O，連結(jié)O

10、D,則AOD即為平面PDE與平面PAD所成二面角的平面角。得，故面PDE與面PAD所成二面角的大小為（2）解法1（面積法）如圖ADPA、AB, PAAB=ADA平面BPA于A, 同時BC平面BPA于B,PBA是PCD在平面PBA上的射影, 設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為,cos=SPAB/SPCD=/2 =450，即平面BAP與平面PDC所成的二面角的大小為45。解法2（補形化為定義法）如圖將四棱錐P-ABCD補形得正方體ABCD-PQMN，則PQPA、PD，于是APD是兩面所成二面角的平面角。在RtPAD中，PA=AD，則APD=45。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45

11、。【點晴】求線面角、面面角關(guān)鍵在于準(zhǔn)確作出角，同樣遵循一作二證三計算的步驟，但應(yīng)用面積射影法求二面角可避免找角，同學(xué)們注意經(jīng)常使用。【范例4】如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，（I）求證：平面BCD；（II）求異面直線AB與CD所成角的大小；（III）求點E到平面ACD的距離。方法一：（I）證明：連結(jié)OC在中，由已知可得而即平面（II）解：取AC的中點M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點知直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角在中，是直角斜邊AC上的中線，異面直線AB與CD所成角的大小為（III）解：設(shè)點E到平面ACD的距離為在中，而點E到平面ACD的

12、距離為方法二：（I）同方法一。（II）解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則異面直線AB與CD所成角的大小為（III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則令得是平面ACD的一個法向量。又點E到平面ACD的距離【點晴】本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。【變式】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN2C1N（）求二面角B1AMN的平面角的余弦值；（）求點B1到平面AMN的距離。解（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則(0,0,1)，M（0，0）,

13、C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以,因為所以,同法可得。故為二面角AMN的平面角故二面角AMN的平面角的余弦值為。（）設(shè)n=(x,y,z)為平面AMN的一個法向量，則由得, 故可取設(shè)與n的夾角為a，則。所以到平面AMN的距離為。【范例5】如圖，所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（）求BF的長；（）求點C到平面AEC1F的距離.解法1：（）過E作EH/BC交CC1于H，則CH=BE=1，EH/AD，且EH=AD.AFEC1，F(xiàn)AD=C1EH. RtADFRtEHC1.DF=C1H=2.（）延長

14、C1E與CB交于G，連AG，則平面AEC1F與平面ABCD相交于AG.過C作CMAG，垂足為M，連C1M，由三垂線定理可知AGC1M.由于AG面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F面C1MC.在RtC1CM中，作CQMC1，垂足為Q，則CQ的長即為C到面AEC1F的距離.解法2：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.設(shè)F（0，0，z）.AEC1F為平行四邊形，（II）設(shè)為面AEC1F的法向量，的夾角為a，則C到平面AEC1F的距離為【點晴】本小題主要考查線面關(guān)系和空間距離的

15、求法等基礎(chǔ)知識，空間距離也遵循一作二證三計算的步驟，但體積法是一種很好的求空間距離的方法，同學(xué)們不妨一試。【文】正三棱柱的底面邊長為8，對角線，D是AC的中點。（1）求點到直線AC的距離.（2）求直線到平面的距離解：（1）連結(jié)BD，由三垂線定理可得：，所以就是點到直線AC的距離。BACD在中（2）因為AC與平面BD交于的中點，設(shè)，則/DE，所以/平面，所以到平面BD的距離等于點到平面BD的距離，等于點到平面BD的距離，也就等于三棱錐的高，即直線到平面BD的距離是【點晴】求空間距離注意三點：_o_E_A_B_C_D_P_x_y_8_z1常規(guī)遵循一作二證三計算的步驟；2多用轉(zhuǎn)化的思想求線面和面面距

16、離；3體積法是一種很好的求空間距離的方法【范例6】如圖，在四棱錐PABC右，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點（）求直線AC與PB所成角的余弦值；（）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE面PAC，并求出N點到AB和AP的距離解法一：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，2).從而=（，1，0），=（，0，-2）.設(shè)與的夾角為，則，AC與PB所成角的余弦值為（）N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標(biāo)為(x, 0, z),則由NE面PAC可得即化簡得即N點的坐標(biāo)為（，0，1），從而N點到AB、AP的距離分別為1，解法二：（）設(shè)ACBD=O，連OE，則OE/PB，EOA即為