1、數學思想方法（整體思想、轉化思想、分類討論思想）一、中考專題詮釋數學思想方法是指對數學知識和方法形成的規律性的理性認識，是解決數學問題的根本策略。數學思想方法揭示概念、原理、規律的本質，是溝通基礎知識與能力的橋梁，是數學 知識的重要組成部分。 數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含于數學知識的發生、發展和應用的過程中。抓住數學思想方法，善于迅速調用數學思想方法，更是提高解題能力根本之所在.因 此，在復習時要注意體會教材例題、習題以及中考試題中所體現的數學思想和方法，培養 用數學思想方法解決問題的意識.二、解題策略和解法精講數學思想方法是數學的精髓，是讀書由厚到薄的升華，在復習中

2、一定要注重培養在解 題中提煉數學思想的習慣，中考常用到的數學思想方法有：整體思想、轉化思想、函數與 方程思想、數形結合思想、分類討論思想等.在中考復習備考階段，教師應指導學生系統 總結這些數學思想與方法，掌握了它的實質，就可以把所學的知識融會貫通，解題時可以 舉一反三。三、中考考點精講考點一：整體思想整體思想是指把研究對象的某一部分（或全部）看成一個整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的聯系，從而在客觀上尋求解決問題的新途徑。整體是與局部對應的，按常規不容易求某一個（或多個）未知量時，可打破常規，根 據題目的結構特征，把一組數或一個代數式看作一個整體，從而使問題得到解決。例 1 若 a-2b=

3、3 ,貝U 2a-4b-5= .思路分析：把所求代數式轉化為含有（a-2b）形式的代數式，然后將a-2b=3整體代入并求值即可.解：2a-4b-5=2 （a-2b） -5=2 X3-5=1 .故答案是：1 .點評：本題考查了代數式求值.代數式中的字母表示的數沒有明確告知，而是隱含在題設中，首先應從題設中獲取代數式（ a-2b）的值，然后利用 整體代入法”求代數式的值.對應訓練1.已知實數 a , b 滿足 a+b=2 , a-b=5 ,貝U （ a+b ） 3? （a-b ） 3 的值是 .1. 1000考點二：轉化思想轉化思想是解決數學問題的一種最基本的數學思想。在研究數學問題時，我們通常是

4、將未知問題轉化為已知的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題，將抽象的問題轉化為具 體的問題，將實際問題轉化為數學問題。轉化的內涵非常豐富，已知與未知、數量與圖形、 圖形與圖形之間都可以通過轉化來獲得解決問題的轉機。例2如圖，圓柱形容器中，高為 1.2m,底面周長為1m,在容器內壁離容器底部 0.3m 的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點 A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為 m （容器厚度忽略不計）.思路分析：將容器側面展開，建立A關于EF的對稱點A',根據兩點之間線段最短可知 A' B 的長度即為所求.解：如圖：,高為1.2m,底面周長為1

5、m,在容器內壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子,此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點 A處，:.A D=0.5m, BD=1.2m ,，將容器側面展開，作A關于EF的對稱點A,連接A' B,則A' B即為最短距離，A B=7aD 2 BD2。0.52 1.22 =1.3 (m).故答案為：1.3.點評：本題利用轉化思想把立體問題轉化為平面問題，從而使問題簡單化、直觀化。將圖 形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵.同時也考查了同學們的創 造性思維能力.對應訓練2.如圖，在 RtAABC中，/ C=90° , AC=8 , BC

6、=6，點P是AB上的任意一點，作 PD XAC于點D, PELCB于點E,連結DE,則DE的最小值為 .解：. RtAABC 中，/ C=90 , AC=8 , BC=6 ,AB=10 ,如圖，連接CP ,. . PD ±AC 于點 D, PEXCB 于點 E,四邊形DPEC是矩形，DE=CP ,當DE最小時，則 CP最小，根據垂線段最短可知當CPXAB時，則CP最小,DE=CP= 68- =4.8 ,10故答案為4.8 .考點三：分類討論思想在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重

7、要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨立的；（2） 一次分類按一個標準；（3）分類討論應逐級進行.正確的分類必須是周全的，既不重復、也不遺漏.例3某校實行學案式教學，需印制若干份數學學案，印刷廠有甲、乙兩種收費方式，除按印數收取印刷費外，甲種方式還需收取制版費而乙種不需要.兩種印刷方式的費用 y （元）與印刷份數x （份）之間的關系如圖所示：（1）填空：甲種收費的函數關系式是 .乙種收費的函數關系式是 .（2）該校某年級每次需印制 100450 （含100和450）份學案，選擇哪種印刷方式較合算？思

8、路分析：（1）設甲種收費的函數關系式yi=kx+b ,乙種收費的函數關系式是y2=kix,直接運用待定系數法就可以求出結論；（2）由（1）的解析式分三種情況進行討論，當yi>y2時，當yi=y2時，當yiy2時分別求出x的取值范圍就可以得出選擇方式.解：（I）設甲種收費的函數關系式yi=kx+b ,乙種收費的函數關系式是y2=kix,由題意，6 b,I2=I00k i,I6 i00k bk 0.i解得：，ki=0.i2 ,b 6 .yi=0.Ix+6 , y2=0.i2x ;（2）由題意，得當 yi>y2 時，0.Ix+6 >0.i2x ,得 x<300 ;當 y1二y

9、2 時，0.ix+6=0.i2x ,得 x=300 ;當 yivy2 時，0.ix+6 V0.i2x ,得 x>300 ;當i00Wx<300時，選擇乙種方式合算；當x=i00時，甲乙兩種方式一樣合算；當300 VxW/00時，選擇甲種方式合算.故答案為：yi=0.ix+6 , y2=0.i2x .點評：本題考查待定系數法求一次函數的解析式的運用，運用函數的解析式解答方案設計 的運用，解答時求出函數解析式是關鍵，分類討論設計方案是難點.對應訓練3.某農場的一個家電商場為了響應國家家電下鄉的號召，準備用不超過i05700元購進40臺電腦，其中 A型電腦每臺進價2500元，B型電腦每臺

10、進價2800元，A型每臺售價 3000元，B型每臺售價3200元，預計銷售額不低于 i23200元.設A型電腦購進x臺、 商場的總利潤為 y （元）.（i）請你設計出進貨方案；（2）求出總利潤y （元）與購進 A型電腦x （臺）的函數關系式，并利用關系式說明哪種 方案的利潤最大，最大利潤是多少元？（3）商場準備拿出（2）中的最大利潤的一部分再次購進A型和B型電腦至少各兩臺，另一部分為地震災區購買單價為500元的帳篷若干頂.在錢用盡三樣都購買的前提下請直接寫出購買A型電腦、B型電腦和帳篷的方案.3 .解：（1）設A型電腦購進x臺，則B型電腦貝鈕進（40-x）臺，由題意，得2500x 2800(4

11、0-x)3000x 3200(40- x)105700123200解得：21<x<24x為整數，有 萬案 萬案 萬案 萬案4種購買方案:購A型電腦 購A型電腦 購A型電腦 購A型電腦21222324臺,臺,臺,臺,B型電腦B型電腦B型電腦B型電腦19181716臺;臺;臺;臺;(2)由題意，得y= (3000-2500 ) x+=500x+16000-400x ,(3200-2800 ) (40-x),2 .x=21 , 22, 23, 24=100x+16000 .3 k=100 >0,，y隨x的增大而增大，1. x=24 時，y 最大=18400 元.（3）設再次購買A型

12、電腦a臺，B型電腦b臺，帳篷c頂，由題意，得2500a+2800b+500c=18400,184 25a 28b c=.5 a>2, b>2, Ol,且 a、b、c 為整數,. 184-25a-28b >0,且是5的倍數.且 c隨a、b的增大而減小.當 a=2 , b=2 時， 當 a=2 , b=3 時， 當 a=3 , b=2 時， 當 a=3 , b=3 時， 當 a=3 , b=4 時， 當 a=4 , b=3 時， .有2種購買方案： 方案1 :購A型電腦 方案2：購A型電腦184-25a-28b=78184-25a-28b=50184-25a-28b=53184-

13、25a-28b=25184-25a-28b=-2184-25a-28b=02臺，B型電腦3臺，B型電腦,舍去；,故 c=10 ;,舍去；,故 c=5 ;,舍去，,舍去.帳篷10頂, 帳篷5頂.3臺,3臺,四、中考真題演練一、選擇題1 .若 a+b=3 , a-b=7 ,貝U ab=（）A. -10B. -40C. 10D. 401. A2.已知一個圓柱的側面展開圖為如圖所示的矩形，則其底面圓的面積為（）B. 4兀C .兀或4 tiD. 2兀或4兀2. C3.如圖，在 Rt ABC中，/ B=90° , AB=3 , BC=4，點D在BC上，以AC為對角線的所有？ADCE中，DE最小的

14、值是（）A. 2B. 3C. 4D. 53. B4. CD是。O的一條弦，作直徑 AB ,使AB XCD ,垂足為 E,若 AB=10 , CD=8 ,則BE的長是（）A. 8B. 2C.2 或 8D. 3或 74. C5.已知。O的直徑CD=10cm , AB是。O的弦，AB LCD,垂足為 M,且AB=8cm ,則AC的長為（）B . 4 5 cmC . 2 V5 cm 或 4 V5 cm D . 2cm 或5. C6. 等腰三角形的一個角是80。，則它頂角的度數是（）A. 80°B. 80°或 20°C, 80°或 50°D, 20°6. B7.等腰三角形的兩邊長分別為3和6,則這個等腰三角形的周長為（）A. 12B. 15C. 12 或 15D, 187. B8.如圖，將含60°角的直角三角板 ABC繞頂點A順時針旋轉45°度后得到 AB' C；點B經過的路徑為弧 BB',若/ BAC=60 , AC=1 ,則圖中陰影部分的面積是（）D.兀8. 一38. A二、填空題9.