1、2016年北京市朝陽區高考數學一模試卷（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1i是虛數單位， =（）A1iB1iC1+iD1+i2已知全集U=R，函數y=ln（x1）的定義域為M，集合N=x|x2x0，則下列結論正確的是（）AMN=NBM（UN）=CMN=UDM（UN）3“”是“eaeb”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4執行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A42B19C8D35在ABC中，角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，若（a2+c2b2）tanB=ac，則角B的值為（）

2、AB或CD或6某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）（注：結余=收入支出）A收入最高值與收入最低值的比是3：1B結余最高的月份是7月C1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D前6個月的平均收入為40萬元7某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是（）ABC1D8若圓x2+（y1）2=r2與曲線（x1）y=1沒有公共點，則半徑r的取值范圍是（）A0rB0rC0rD0r二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分把答案填在答題卡上9二項式（x2+）5的展開式中含x4的項的系數是_（用數字作答）10已知等差數列an（nN*）中，a1=1，a4=

3、7，則數列an的通項公式an=_；a2+a6+a10+a4n+10=_11在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為x2+y2=2，曲線C2的參數方程為（t為參數）以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，則曲線C1與C2的交點的極坐標為_12不等式組所表示的平面區域為D若直線y=a（x+1）與區域D有公共點，則實數a的取值范圍是_13已知M為ABC所在平面內的一點，且若點M在ABC的內部（不含邊界），則實數n的取值范圍是_14某班主任在其工作手冊中，對該班每個學生用十二項能力特征加以描述每名學生的第i（i=1，2，12）項能力特征用xi表示，若學生A，B的十二項能力特征分別記為A=（a1

4、，a2，a12），B=（b1，b2，b12），則A，B兩名學生的不同能力特征項數為_（用ai，bi表示）如果兩個同學不同能力特征項數不少于7，那么就說這兩個同學的綜合能力差異較大若該班有3名學生兩兩綜合能力差異較大，則這3名學生兩兩不同能力特征項數總和的最小值為_三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15已知函數，0（）若=1，求f（x）的單調遞增區間；（）若，求f（x）的最小正周期T的表達式并指出T的最大值16為了解學生暑假閱讀名著的情況，一名教師對某班級的所有學生進行了調查，調查結果如表12345男生14322女生01331（）從這班學生中任選一名男生，

5、一名女生，求這兩名學生閱讀名著本數之和為4的概率？（）若從閱讀名著不少于4本的學生中任選4人，設選到的男學生人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望；（）試判斷男學生閱讀名著本數的方差與女學生閱讀名著本數的方差的大小（只需寫出結論）17如圖，在直角梯形AA1B1B中，A1AB=90°，A1B1AB，AB=AA1=2A1B1=2直角梯形AA1C1C通過直角梯形AA1B1B以直線AA1為軸旋轉得到，且使得平面AA1C1C平面AA1B1BM為線段BC的中點，P為線段BB1上的動點（）求證：A1C1AP；（）當點P是線段BB1中點時，求二面角PAMB的余弦值；1（）是否存在點P，使得直線A1

6、C平面AMP？請說明理由18已知函數f（x）=x+alnx，aR（）求函數f（x）的單調區間；（）當x1，2時，都有f（x）0成立，求a的取值范圍；（）試問過點P（1，3）可作多少條直線與曲線y=f（x）相切？并說明理由19已知點和橢圓C：（）設橢圓的兩個焦點分別為F1，F2，試求PF1F2的周長及橢圓的離心率；（）若直線l：與橢圓C交于兩個不同的點A，B，直線PA，PB與x軸分別交于M，N兩點，求證：|PM|=|PN|20已知等差數列an的通項公式設數列bn為等比數列，且（）若b1=a1=2，且等比數列bn的公比最小，（）寫出數列bn的前4項；（）求數列kn的通項公式；（）證明：以b1=a2

7、=5為首項的無窮等比數列bn有無數多個2016年北京市朝陽區高考數學一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1i是虛數單位， =（）A1iB1iC1+iD1+i【考點】復數代數形式的乘除運算【分析】兩個復數代數形式的乘除法，兩個復數相除，分子和分母同時乘以分母的共軛復數，運算求得結果【解答】解： =1+i，故選C2已知全集U=R，函數y=ln（x1）的定義域為M，集合N=x|x2x0，則下列結論正確的是（）AMN=NBM（UN）=CMN=UDM（UN）【考點】交、并、補集的混合運算【分析】分別解出關于M，

8、N的范圍，然后判斷即可【解答】解：由x10，解得：x1，故函數y=ln（x1）的定義域為M=（1，+），由x2x0，解得：0x1，故集合N=x|x2x0=（0，1），UN=x|x1或x0，M（UN），故選：D3“”是“eaeb”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】“”等價于ab，可得“eaeb”，反之不成立，例如取a=2，b=1即可判斷出結論【解答】解：“”ab“eaeb”，反之不成立，例如取a=2，b=1“”是“eaeb”的充分不必要條件故選：A4執行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A42B19C

9、8D3【考點】程序框圖【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，依次寫出每次循環得到的S，i的值，當i=4時不滿足條件i4，退出循環，輸出S的值為19【解答】解：模擬執行程序，可得i=1，S=1滿足條件i4，S=3，i=2滿足條件i4，S=8，i=3滿足條件i4，S=19，i=4不滿足條件i4，退出循環，輸出S的值為19故選：B5在ABC中，角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，若（a2+c2b2）tanB=ac，則角B的值為（）AB或CD或【考點】余弦定理【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函數間基本關系化簡，求出sinB的值，即可確定出

10、B的度數【解答】解：cosB=，a2+c2b2=2accosB，代入已知等式得：2accosBtanB=ac，即sinB=，則B=或故選：B6某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）（注：結余=收入支出）A收入最高值與收入最低值的比是3：1B結余最高的月份是7月C1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D前6個月的平均收入為40萬元【考點】函數的圖象與圖象變化【分析】根據折現統計圖即可判斷各選項【解答】解：由圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是3：1，故A正確，由圖可知，結余最高為7月份，為8020=60，故B正確，由圖可知，

11、1至2月份的收入的變化率為與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確，由圖可知，前6個月的平均收入為（40+60+30+30+50+60）=45萬元，故D錯誤，故選：D7某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是（）ABC1D【考點】由三視圖求面積、體積【分析】由三視圖可知：該幾何體為如圖所示的三棱錐，CB側面PAB利用體積計算公式即可得出【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為如圖所示的三棱錐，CB側面PAB該幾何體的體積V=××1=故選：A8若圓x2+（y1）2=r2與曲線（x1）y=1沒有公共點，則半徑r的取值范圍是（）A0rB0rC0rD0r【考點】圓與圓錐曲線的綜合【

12、分析】求得圓的圓心和半徑，設圓與曲線y=相切的切點為（m，n），代入曲線的方程，求出函數的導數和切線的斜率，由兩點的斜率公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為1，解方程可得切點，進而得到此時圓的半徑，結合圖象即可得到所求范圍【解答】解：圓的圓心為（0，1），半徑為r，設圓與曲線y=相切的切點為（m，n），可得n=，y=的導數為y=，可得切線的斜率為，由兩點的斜率公式可得（）=1，即為n1=m（m1）2，由可得n4n3n1=0，化為（n2n1）（n2+1）=0，即有n2n1=0，解得n=或，則有或可得此時圓的半徑r=結合圖象即可得到圓與曲線沒有公共點的時候，r的范圍是（0，）故選：C二、填空題：本大

13、題共6小題，每小題5分，共30分把答案填在答題卡上9二項式（x2+）5的展開式中含x4的項的系數是10（用數字作答）【考點】二項式定理【分析】先求出二項式（x2+）5的展開式中通項公式，令x的系數等于4，求出r的值，即可求得展開式中含x4的項的系數【解答】解：二項式（x2+）5的展開式中通項公式為 Tr+1= x102r xr=x103r令 103r=4，可得 r=2，展開式中含x4的項的系數是=10，故答案為1010已知等差數列an（nN*）中，a1=1，a4=7，則數列an的通項公式an=2n1；a2+a6+a10+a4n+10=（n+3）（4n+11）【考點】等差數列的前n項和【分析】利

14、用等差數列的通項公式求出首項和公差，由此能求出結果【解答】解：等差數列an（nN*）中，a1=1，a4=7，a4=1+3d=7，解得d=2，an=1+（n1）×2=2n1，a2=1+2=3，a6=1+5×2=11，a6a2=8，a2+a6+a10+a4n+10=×3+×8=（n+3）（4n+11）故答案為：2n1，（n+3）（4n+11）11在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為x2+y2=2，曲線C2的參數方程為（t為參數）以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，則曲線C1與C2的交點的極坐標為（，）【考點】簡單曲線的極坐標方程；直線與圓的位

15、置關系【分析】將曲線C2的參數方程代入曲線C1的方程，可得t=1，再由x=cos，y=sin，tan=，求得，即可得到所求坐標【解答】解：將曲線C2的參數方程（t為參數）代入曲線C1的方程為x2+y2=2，可得（2t）2+t2=2，解得t=1，可得交點的直角坐標為（1，1），由x=cos，y=sin，tan=，可得=，tan=1，0，可得=可得交點的極坐標為（，）故答案為：（，）12不等式組所表示的平面區域為D若直線y=a（x+1）與區域D有公共點，則實數a的取值范圍是【考點】簡單線性規劃【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合進行求解即可【解答】解：作出不等式

16、組對應的平面區域圖示：因為y=a（x+1）過定點C（1，0）當a0時，直線y=a（x+1）與區域D有公共點，滿足條件當a0時，當直線y=a（x+1）過點A時，由公共點，由得，即A（3，3），代入y=a（x+1）得4a=3，a=，又因為直線y=a（x+1）與平面區域D有公共點此時0a綜上所述，a故答案為：13已知M為ABC所在平面內的一點，且若點M在ABC的內部（不含邊界），則實數n的取值范圍是（0，）【考點】向量在幾何中的應用【分析】根據題意可作出圖形，將，帶入并進行向量的數乘運算便可以得出，這樣根據向量加法的平行四邊形法則及向量數乘的幾何意義便可得到，從而便可得出實數n的取值范圍【解答】解：

17、如圖，由得：；實數n的取值范圍是故答案為：14某班主任在其工作手冊中，對該班每個學生用十二項能力特征加以描述每名學生的第i（i=1，2，12）項能力特征用xi表示，若學生A，B的十二項能力特征分別記為A=（a1，a2，a12），B=（b1，b2，b12），則A，B兩名學生的不同能力特征項數為（用ai，bi表示）如果兩個同學不同能力特征項數不少于7，那么就說這兩個同學的綜合能力差異較大若該班有3名學生兩兩綜合能力差異較大，則這3名學生兩兩不同能力特征項數總和的最小值為22【考點】函數模型的選擇與應用；分段函數的應用【分析】根據A，B兩名學生的每一項的特征數是否相同，進行求解計算即可【解答】解：若

18、第i（i=1，2，12）項能力特征相同，則差為0，特征不相同，絕對值為1，則用xi表示A，B兩名學生的不同能力特征項數為=|a1b1|+|b2c2|+|c12a12|=，設第三個學生為C=（c1，c2，c12），則di=|aibi|+|bici|+|ciai|，1i12，di的奇偶性和（aibi）+（bici）+（ciai）=0一樣，di是偶數，3名學生兩兩不同能力特征項數總和為S=d1+d2+d12為偶數，又S7×3=21則S22，取A=（0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1），B=（1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1），C=（1，1，0，1，1，0，1，1，

19、0，1，1，1），則不同能力特征數總和恰好為22，最小值為22，故答案為：，22三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15已知函數，0（）若=1，求f（x）的單調遞增區間；（）若，求f（x）的最小正周期T的表達式并指出T的最大值【考點】三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法；正弦函數的單調性【分析】（）當=1時，利用兩角和與差以及二倍角公式化簡函數的解析式，然后求解函數的單調區間（）化簡函數的解析式為：f（x）=通過，求出然后求解T的最大值【解答】（本小題滿分13分）解：（）當=1時， =令解得所以f（x）的單調遞增區間是（）由=因為，所以則，n

20、Z解得又因為函數f（x）的最小正周期，且0，所以當=時，T的最大值為4 16為了解學生暑假閱讀名著的情況，一名教師對某班級的所有學生進行了調查，調查結果如表12345男生14322女生01331（）從這班學生中任選一名男生，一名女生，求這兩名學生閱讀名著本數之和為4的概率？（）若從閱讀名著不少于4本的學生中任選4人，設選到的男學生人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望；（）試判斷男學生閱讀名著本數的方差與女學生閱讀名著本數的方差的大小（只需寫出結論）【考點】離散型隨機變量的期望與方差；極差、方差與標準差；列舉法計算基本事件數及事件發生的概率；離散型隨機變量及其分布列【分析】（）設事件A：從這

21、個班級的學生中隨機選取一名男生，一名女生，這兩名學生閱讀本數之和為4由此能求出這兩名學生閱讀名著本數之和為4的概率（）閱讀名著不少于4本的學生共8人，其中男學生人數為4人，故X的取值為0，1，2，3，4分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數學期望（）【解答】（本小題滿分13分）解：（）設事件A：從這個班級的學生中隨機選取一名男生，一名女生，這兩名學生閱讀本數之和為4由題意可知，（）閱讀名著不少于4本的學生共8人，其中男學生人數為4人，故X的取值為0，1，2，3，4由題意可得，所以隨機變量X的分布列為X01234P隨機變量X的均值（）17如圖，在直角梯形AA1B1B中，A1AB=9

22、0°，A1B1AB，AB=AA1=2A1B1=2直角梯形AA1C1C通過直角梯形AA1B1B以直線AA1為軸旋轉得到，且使得平面AA1C1C平面AA1B1BM為線段BC的中點，P為線段BB1上的動點（）求證：A1C1AP；（）當點P是線段BB1中點時，求二面角PAMB的余弦值；1（）是否存在點P，使得直線A1C平面AMP？請說明理由【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質【分析】（）證明ACAB結合ACAA1，證明AC平面AA1B1B推出A1C1平面AA1B1B即可證明A1C1AP（）以AC，AB，AA1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求出平面A

23、BM的一個法向量，平面APM的一個法向量，利用空間向量的數量積求解二面角PAMB的余弦值（）存在點P，使得直線A1C平面AMP設P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一個法向量，求出，利用求出，即可證明結果【解答】（本小題滿分14分）解：（）證明：由已知A1AB=A1AC=90°，且平面AA1C1C平面AA1B1B，所以BAC=90°，即ACAB又因為ACAA1且ABAA1=A，所以AC平面AA1B1B由已知A1C1AC，所以A1C1平面AA1B1B因為AP平面AA1B1B，所以A1C1AP（）由（）可知AC，AB，AA1兩兩垂直分別以AC，AB，AA1為x軸、y軸、z軸

24、建立空間直角坐標系如圖所示由已知 AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2）因為M為線段BC的中點，P為線段BB1的中點，所以易知平面ABM的一個法向量=（0，0，1）設平面APM的一個法向量為=（x，y，z），由，得取y=2，得=（2，2，3）由圖可知，二面角PAMB的大小為銳角，所以=所以二面角PAMB的余弦值為（）存在點P，使得直線A1C平面AMP設P（x1，y1，z1），且，0，1，則（x1，y12，z1）=（0，1，2），所以x1=0，y1=2，z1=2所以設平面AMP的一個法向量為

25、=（x0，y0，z0），由，得取y0=1，得（顯然=0不符合題意）又，若A1C平面AMP，則所以所以所以在線段BB1上存在點P，且時，使得直線A1C平面AMP18已知函數f（x）=x+alnx，aR（）求函數f（x）的單調區間；（）當x1，2時，都有f（x）0成立，求a的取值范圍；（）試問過點P（1，3）可作多少條直線與曲線y=f（x）相切？并說明理由【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程【分析】（）求出函數f（x）的定義域，函數的導函數，通過（1）當a0時，（2）當a0時，當0xa時，當xa時，導函數的符號，判斷函數的單調性（）（1）當a1時，（2）當1a2時，（3

26、）當a2時，分別求解函數的最值（）設切點為（x0，x0+alnx0），則切線斜率，求出切線方程，切線過點P（1，3），推出關系式，構造函數（x0），求出導函數，（1）當a0時，判斷g（x）單調性，說明方程g（x）=0無解，切線的條數為0（2）當a0時，類比求解，推出當a0時，過點P（1，3）存在兩條切線（3）當a=0時，f（x）=x，說明不存在過點P（1，3）的切線【解答】解：（）函數f（x）的定義域為x|x0（1）當a0時，f（x）0恒成立，函數f（x）在（0，+）上單調遞增；（2）當a0時，令f（x）=0，得x=a當0xa時，f（x）0，函數f（x）為減函數；當xa時，f（x）0，函數f（

27、x）為增函數綜上所述，當a0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，+）當a0時，函數f（x）的單調遞減區間為（0，a），單調遞增區間為（a，+）（）由（）可知，（1）當a1時，即a1時，函數f（x）在區間1，2上為增函數，所以在區間1，2上，f（x）min=f（1）=1，顯然函數f（x）在區間1，2上恒大于零；（2）當1a2時，即2a1時，函數f（x）在1，a）上為減函數，在（a，2上為增函數，所以f（x）min=f（a）=a+aln（a）依題意有f（x）min=a+aln（a）0，解得ae，所以2a1（3）當a2時，即a2時，f（x）在區間1，2上為減函數，所以f（x）min=f（2）=2+

28、aln2依題意有f（x）min=2+aln20，解得，所以綜上所述，當時，函數f（x）在區間1，2上恒大于零（）設切點為（x0，x0+alnx0），則切線斜率，切線方程為因為切線過點P（1，3），則即 令（x0），則（1）當a0時，在區間（0，1）上，g（x）0，g（x）單調遞增；在區間（1，+）上，g（x）0，g（x）單調遞減，所以函數g（x）的最大值為g（1）=20故方程g（x）=0無解，即不存在x0滿足式因此當a0時，切線的條數為0（2）當a0時，在區間（0，1）上，g（x）0，g（x）單調遞減，在區間（1，+）上，g（x）0，g（x）單調遞增，所以函數g（x）的最小值為g（1）=20取

29、，則故g（x）在（1，+）上存在唯一零點取，則=設，u（t）=et2t，則u（t）=et2當t1時，u（t）=et2e20恒成立所以u（t）在（1，+）單調遞增，u（t）u（1）=e20恒成立所以g（x2）0故g（x）在（0，1）上存在唯一零點因此當a0時，過點P（1，3）存在兩條切線（3）當a=0時，f（x）=x，顯然不存在過點P（1，3）的切線綜上所述，當a0時，過點P（1，3）存在兩條切線；當a0時，不存在過點P（1，3）的切線19已知點和橢圓C：（）設橢圓的兩個焦點分別為F1，F2，試求PF1F2的周長及橢圓的離心率；（）若直線l：與橢圓C交于兩個不同的點A，B，直線PA，PB與x軸分別交于M，N兩點，求證：|PM|=|PN|【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程【分析】（）利用橢圓的方程，求出a，b，c通過橢圓的定義求解三角形的周長，求解橢圓的離心率（）聯立，利用直線l與橢圓C有兩個交點，求出4m0或0m4設A（x1，y1），B（x2，y2），結合韋達定理，求解AB