1、第8課簡(jiǎn)并微擾法散射波較強(qiáng)的情況當(dāng)以及時(shí)，這兩個(gè)狀態(tài)能量相等，屬于簡(jiǎn)并態(tài)的情況，此時(shí)我們必須用簡(jiǎn)并微擾法來處理。這時(shí)若認(rèn)為是前進(jìn)的平面波，那么就是布拉格反射波。零級(jí)近似的波函數(shù)應(yīng)該是這兩個(gè)波的線性組合。實(shí)際上在波矢接近布拉格反射條件時(shí)，即D為小量時(shí)，散射被已相當(dāng)強(qiáng)。零級(jí)被函數(shù)也必須寫成：代入薛定鄂方程，有分別從左邊乘上或，然后對(duì)dx積分，就得到兩個(gè)線性代數(shù)方程式【注意：或有正交關(guān)系】：這組方程A、B有非零解的條件是此方程的解為或其中，是自由電子的動(dòng)能。幾種極限情況：1. D0，則即原來能量都等于Tn的兩個(gè)狀態(tài)，以及，由于波的相互作用很強(qiáng)，變成兩個(gè)能量不同的狀態(tài)，一個(gè)狀態(tài)能量是，另一個(gè)是，其間的

2、能量差為禁帶寬度。注意，禁帶發(fā)生在波矢以之處。禁帶寬度等于周期性勢(shì)能展開式中，波矢為的傅里吁分量V0的絕對(duì)值的兩倍。當(dāng)，可以解出若 ，則 。由此當(dāng)，可以解出則 。由此由此可見，零級(jí)近似的波函數(shù)代表駐波。在這兩個(gè)駐波狀態(tài)，電子的平均速度為零。產(chǎn)生駐波的原因是：波矢為的平面被，波長(zhǎng)正好滿足布拉格反射條件，遭到全反射，同入射波干涉，從而形成駐波。在、的表達(dá)式式中選取某一個(gè)原于為坐標(biāo)原點(diǎn)，可以畫出波函數(shù)的幾率密度分布，相當(dāng)于的情況。的狀態(tài)其能量為，是低能態(tài)，因?yàn)樗诳拷x子的區(qū)域幾率較大，受到強(qiáng)的吸引，勢(shì)能是較大的負(fù)值。的狀態(tài)其能量是，是高能態(tài)，因?yàn)樵诳拷x子附近幾率密度小，相應(yīng)的勢(shì)能較高。2.

3、，同時(shí)假定，則保留到D2次項(xiàng)，可以展開為以及這說明在禁帶之上的一個(gè)能帶底部，能量隨相對(duì)波矢D的變化關(guān)系是向上彎的拋物線。在禁帶下邊能帶頂部，能量 隨相對(duì)波矢的變化關(guān)系也是一個(gè)拋物線，但是向下彎的。所以在產(chǎn)生全反射的波長(zhǎng)附近，關(guān)系有如圖所示的形式。根據(jù)上述討論，我們可以知道禁帶出現(xiàn)在k空間倒格矢的中點(diǎn)上，禁帶寬度的大小取決于周期件勢(shì)能的有關(guān)傅里葉分量。如果比大很多，即，由可有這個(gè)結(jié)果同上節(jié)非簡(jiǎn)并微擾結(jié)果相近，在其他所有波矢狀態(tài)中保留一個(gè)k，它對(duì)狀態(tài)k有特別大的影響。【非簡(jiǎn)并微擾的結(jié)果：】由以上討論可知，自由電子的能譜是拋物線關(guān)系：，計(jì)入周期場(chǎng)的微擾作用，在波矢處，發(fā)生能量不連續(xù)，形成了能帶，產(chǎn)生

4、的能帶寬度依次為的禁帶。在離這些點(diǎn)較遠(yuǎn)的波矢，電子能量同自由電子的能量相近。這些情況如圖818中的粗線所示。還應(yīng)注意波矢k和兩個(gè)狀態(tài)不是獨(dú)立的，而是等價(jià)的。因?yàn)閷?duì)于平移基矢算符T，這兩個(gè)狀態(tài)有相同的本征值。注意：在同一能帶中，給定一個(gè)k，其對(duì)應(yīng)的能量是唯一的，而給定一個(gè)能量可以有多個(gè)k對(duì)應(yīng)！能帶的幾個(gè)特點(diǎn)：a) k空間的平移對(duì)稱性b) k空間的反演對(duì)稱性在圖516中，實(shí)線代表的Ek關(guān)系分成許多區(qū)域：波矢介到之間的區(qū)域稱為第一個(gè)布里淵區(qū)；波矢介于到，以及到之間的區(qū)域稱為第二個(gè)布里淵區(qū)，其余類推。既然，所以對(duì)于任何能帶均可在到的波矢范圍內(nèi)表達(dá)。這個(gè)區(qū)間稱為簡(jiǎn)約布里淵區(qū)。在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)內(nèi)Ek關(guān)系是多

5、值函數(shù)，記為，其中s是能帶的編號(hào)。在k空間每個(gè)波矢占有的線度是這里N是晶體的原胞數(shù)，而簡(jiǎn)約布里淵區(qū)在k空間的線度為，因而簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中含有個(gè)簡(jiǎn)約波矢。每個(gè)能帶有N個(gè)簡(jiǎn)約波矢標(biāo)志的能態(tài)，計(jì)入自旋后每個(gè)能帶可容納2N個(gè)電子。能帶的三種表示圖式a) 擴(kuò)展能區(qū)圖式b) 簡(jiǎn)約能區(qū)圖式c) 周期能區(qū)圖式晶體中電子的速度、加速度和有效質(zhì)量現(xiàn)在討論外場(chǎng)作用下晶體電于的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這首先要知道晶體中電子在波矢k0狀態(tài)的平均運(yùn)動(dòng)速度，量子論告訴我們，粒子運(yùn)動(dòng)的平均速度相當(dāng)于以k0為中心的波包移動(dòng)的速度。設(shè)波包由k0為中心的在Dk范圍內(nèi)的波函數(shù)組成。Dk的線度比布里淵區(qū)的線度小得多，在這樣的Dk范圍可認(rèn)為，描述波包的

6、函數(shù)寫成令則積分后的結(jié)果成為相應(yīng)的分布幾率是由此可知，【對(duì)上式求極值】波包中心的位置是波包中心移動(dòng)的速度為【注意：】由的表達(dá)式可知，波包在空間上集中在Dx范圍內(nèi)，且有【相當(dāng)于在該式中】而，即，波包的大小如果大于許多個(gè)原胞，則晶體中電子的運(yùn)動(dòng)可以看作是波包的運(yùn)動(dòng)。波包的運(yùn)動(dòng)規(guī)律同經(jīng)典粒子一樣，波包移動(dòng)的速度等于粒子處于波包中心那個(gè)狀態(tài)所具有的平均速度。現(xiàn)在求在外力Fx作用下，晶體電子的加速度。按照力學(xué)原理，在dt時(shí)間內(nèi)電子獲得的能量dE等于外力所作的功，即或【注意：！】加速度 ； 代入的表達(dá)式，有由牛頓第二定律，對(duì)比后可以發(fā)現(xiàn)m*：晶體電子的有效質(zhì)量，由Ek的二階導(dǎo)數(shù)決定。對(duì)于能帶間斷點(diǎn)，k0=

7、np/a，在根據(jù)表達(dá)式，在處，即能帶的高能端，有將Tn的表達(dá)式代入，可有其中，是這個(gè)能帶在k0處的數(shù)值，也是這個(gè)能帶的最小能量。而是這個(gè)能帶底部電子的有效質(zhì)量，這是一個(gè)正的量。能帶底部的電子好象是一個(gè)具有質(zhì)量為的電子。類似地，對(duì)于k0附近能量較低的能帶，可以有其中，代表下面?zhèn)€能帶的最高能量。而是這個(gè)能帶頂部電子的有效質(zhì)量，它是一個(gè)負(fù)的量。這說明在能帶頂部，電子的運(yùn)動(dòng)好象是具有負(fù)質(zhì)量的自由電子晶體中電子的有效質(zhì)量不同于自由電子的質(zhì)量m，這是因?yàn)橛?jì)入了周期場(chǎng)的影響，而這種影響主要通過布拉格反射的形式在電子和晶格之間交換動(dòng)量。在有效質(zhì)量m*0的情況，電子從外力場(chǎng)Fx獲得的動(dòng)量多于電子交給晶格的動(dòng)量。

8、在有效質(zhì)量m*<0的情況，電子從外場(chǎng)中得到的動(dòng)量比它交給晶格的動(dòng)量少。有效質(zhì)量的概念概括了在價(jià)帶底和導(dǎo)帶頂能帶結(jié)構(gòu)的有效信息。晶體材料(例如半導(dǎo)體材料)的很多的電學(xué)與光學(xué)特性就是由帶隙附近的帶結(jié)構(gòu)決定的，即由價(jià)帶頂及導(dǎo)帶底的帶結(jié)構(gòu)所決定的。在三維空間，有效質(zhì)量可以在不同的方向取不同的值，而呈現(xiàn)一個(gè)對(duì)稱的常量。它總是呈現(xiàn)對(duì)角矩陣的形式，但三個(gè)對(duì)角元不一定有一樣的值。晶體中的電子，當(dāng)它們沿不同方向被外場(chǎng)加速時(shí)，有效質(zhì)量一般不同，顯示出各種相異性的性質(zhì)。加速度的方向常與外力方向不一致。金屬、半導(dǎo)體、絕緣體及空穴概念的引入導(dǎo)體的電阻率：半導(dǎo)體電阻率：絕緣體電阻率：?jiǎn)栴}：為什么材料可以是導(dǎo)體、半導(dǎo)

9、體和絕緣體？所有能級(jí)全部為電子(2N個(gè))所填充的能帶叫滿帶，部分能級(jí)為電子所填充的能帶叫不滿帶。對(duì)于每個(gè)能帶有：即：能量與k的關(guān)系是偶數(shù)關(guān)系，速度與k的關(guān)系是奇數(shù)關(guān)系。在沒有外電場(chǎng)時(shí)，在一定的溫度下，電子占據(jù)某個(gè)狀態(tài)的幾率只同該狀態(tài)的能量E有關(guān)。既然，是kx的偶函數(shù)，電子占有kx狀態(tài)的幾率等于它占有一kx狀態(tài)的幾率。因此在這兩個(gè)狀態(tài)的電子電流互相抵消，晶體中總的電流為零。若有外電場(chǎng)存在，充滿了電子的能帶和不滿的能帶對(duì)電流的貢獻(xiàn)有很大差別。在外場(chǎng)作用下，由于電于狀態(tài)在k空間分相是均勻的，每狀態(tài)都以同樣的速度在k空間中變動(dòng)i) 對(duì)于滿帶，在電場(chǎng)作用下，所有電子都以同樣的速度沿電場(chǎng)相反的方向從一個(gè)狀

10、態(tài)變到另一個(gè)狀態(tài)。由于和在k空間中平移倒格矢不變，盡管所有電子都在作同方向運(yùn)動(dòng)，但從布里淵區(qū)一邊出去的電子，又在另一邊同時(shí)填進(jìn)來，電子運(yùn)動(dòng)不改變布里淵區(qū)內(nèi)電子的分相情況。因此，滿帶不起導(dǎo)電作用。ii) 對(duì)于不滿帶，只有部分狀態(tài)被電子占據(jù)，電場(chǎng)的作用使電子的狀態(tài)發(fā)生變化。由于電子在運(yùn)動(dòng)過程中受到品格振動(dòng)、雜質(zhì)、缺陷的散射作用，最終達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的不對(duì)稱分布，如圖312所示。沿電場(chǎng)方向與逆電場(chǎng)方向電子的運(yùn)動(dòng)數(shù)目不相等，總電流不等于零。所以，在外場(chǎng)作用下，不滿帶可以導(dǎo)電。以上關(guān)于滿帶與不滿帶的描述就決定了材料是導(dǎo)體、半導(dǎo)體、還是絕緣體。導(dǎo)體：除去滿帶和空帶外，存在不滿帶。一部分價(jià)電子處在不滿帶中，這種

11、能帶稱為導(dǎo)帶。導(dǎo)帶以下的第一個(gè)滿帶稱為價(jià)帶。在外場(chǎng)作用下，不滿帶中的電子可以導(dǎo)電。例如，對(duì)于金屬鈉，一共有11個(gè)電子(1s2、2s2、2p6、3s1)，每個(gè)3s狀態(tài)可以有2個(gè)電子，所以當(dāng)N個(gè)原子組成晶體時(shí)，3s能級(jí)過渡成能帶，能帶中有2N個(gè)狀態(tài)，可以容納2N個(gè)電子。但鈉只有N個(gè)3s電子，因此能帶是半滿的，在電場(chǎng)作用下，可以產(chǎn)生電流。元素周期表中第一族元素的情況都和鈉相似，因此它們部是善于導(dǎo)電的金屬。對(duì)于堿土金屬，如Mg（Z=12），孤立原子有2個(gè)3s電子，照理晶體中的3s能帶應(yīng)該是滿的，如按照上述原則，鎂應(yīng)該是絕緣體。但實(shí)驗(yàn)指出，鎂及其他堿土族晶體都是金屬。這是由于它的3s能帶和較高的能帶有交

12、疊現(xiàn)象。實(shí)際上，價(jià)電子并未填滿3s能帶，有一部分電子占據(jù)了高階（即Es中s較大）能帶，因此3s電子對(duì)應(yīng)的能帶并未真正填滿。由以上的討論可以看出，價(jià)電子在不滿的帶或有能帶的交疊，都可以使晶體具有金屬的性質(zhì)。從理論上看，實(shí)際晶體全是三維的。例如，晶體沿某一個(gè)方向的周期為a1，沿另一個(gè)方向的周期為a2，在k空間相應(yīng)的波矢為k1、k2；它們分別在處出現(xiàn)禁帶，可是禁帶所在的能量值以及寬度不樣，可能發(fā)生交疊，如圖8112所示。從整個(gè)晶體看，某一個(gè)方向上周期性場(chǎng)產(chǎn)生的禁帶被另一個(gè)方向上許可的能帶覆蓋，晶體的禁帶就消失。堿土金屬就是這種情況。絕緣體：價(jià)電子正好把價(jià)帶填滿，而更高的許可帶與價(jià)帶之間隔著一個(gè)很寬的

13、禁帶。除非外電場(chǎng)非常強(qiáng)，上面許可帶總是沒有電子的，因此在電場(chǎng)作用之下不會(huì)有電流。圖8113(a)是絕緣體的能帶模型。半導(dǎo)體：從能帶結(jié)構(gòu)上看，基本上同絕緣體相似，只是禁帶較窄，如圖8113(b)所示。它們的禁帶寬度都在2eV以下，因此可以依靠熱激發(fā)，把滿帶(價(jià)帶)的電子激發(fā)到本來是空的許可帶(從而成為導(dǎo)帶)，于是有導(dǎo)電的本領(lǐng)。出于熱激發(fā)的電子數(shù)日隨溫度技指數(shù)規(guī)律變化，所以半導(dǎo)體的電導(dǎo)率隨溫度的變化也是指數(shù)型的，這是半導(dǎo)體的主要特征。硅和鍺是典型的半導(dǎo)體，它們都是金剛石結(jié)構(gòu)，每個(gè)原胞有2個(gè)原子。每個(gè)原子具有4個(gè)價(jià)電子，它們的狀態(tài)是一個(gè)ns和三個(gè)np態(tài)。在N個(gè)原胞的晶體中共有8N個(gè)價(jià)電子。如果簡(jiǎn)單地

14、認(rèn)為，組成晶體時(shí)原來的ns電子能級(jí)變成了ns帶，np能級(jí)變成np帶，則價(jià)帶將可容納16N個(gè)電子。如此而言，硅和鍺應(yīng)該是金屬而不是半導(dǎo)體！由于原子的能級(jí)同晶體的能帶不是正好一一對(duì)應(yīng)的緣故，對(duì)于原子的內(nèi)層原子這種原子能級(jí)和晶體能帶的對(duì)應(yīng)關(guān)系是正確的。而對(duì)于價(jià)電子，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系不一定能保持。根據(jù)較嚴(yán)格的分析和計(jì)算，一般認(rèn)為對(duì)于硅和鍺，像金剛石一樣，當(dāng)晶體中原干間距較大時(shí)，上述對(duì)應(yīng)關(guān)系成立；當(dāng)原子間距變小，達(dá)到某個(gè)數(shù)值r時(shí)，由于ns電子態(tài)和np電子態(tài)之間有強(qiáng)的交疊，使晶體能帶發(fā)生強(qiáng)烈的變化。例如當(dāng)原于間距為r0時(shí)，產(chǎn)生為禁帶所隔開的兩個(gè)能帶，每一個(gè)帶有4N個(gè)能級(jí)，正好8N個(gè)電子都填在下面一個(gè)帶，因而硅

15、和鍺是半導(dǎo)體，它們的禁帶分別為1.17eV和0.74eV。這種情況如圖8114所示。而圖6.19則顯示了金剛石中的碳原子的間距以及其能帶結(jié)構(gòu)。空穴：設(shè)想在滿帶中有某一個(gè)狀態(tài)k未被電子占據(jù)，此時(shí)能帶是不滿的，在電場(chǎng)作用下，應(yīng)有電流產(chǎn)生，用Ik來表示。如果引入一個(gè)電子填補(bǔ)這個(gè)空的狀態(tài)，這個(gè)電子的電流等于。引入這個(gè)電子后，能帶又被電子充滿，總的電流應(yīng)為零。所以，即有此式說明，當(dāng)狀態(tài)k是空的時(shí)，能帶中的電流就候是由一個(gè)正電荷e所產(chǎn)生的，而其運(yùn)動(dòng)的速度等于處在k狀態(tài)的電子運(yùn)動(dòng)的速度v(k)，這種空的狀態(tài)稱為空穴。由于滿帶頂?shù)碾娮颖容^容易熱激發(fā)到導(dǎo)帶，因此空入多位于能帶頂。在能帶頂附近電子的有效質(zhì)量是負(fù)的，即在能帶頂?shù)碾娮拥募铀俣泉q如一個(gè)具有質(zhì)量的粒子。可以引入空穴的有效質(zhì)量。空穴的電荷等于e，而