1、17 不等式（組）的應(yīng)用閱讀與思考許多數(shù)學(xué)問題和實際問題所求的未知量往往受到一些條件的限制， 可以通過數(shù)量關(guān)系和分析，列出 不等式（組），運(yùn)用不等式的有關(guān)知識予以求解，不等式（組）的應(yīng)用主要體現(xiàn)在：1.作差或作商比較有理數(shù)的大小.2.求代數(shù)式的取值范圍.3求代數(shù)式的最大值或最小值.4.列不等式（組）解應(yīng)用題.列不等式（組）解應(yīng)用題與列方程（組）解應(yīng)用題的步驟相仿，關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上，將一 些詞語轉(zhuǎn)化為不等式如“不大于” “不小于”“正數(shù)” “負(fù)數(shù)”“非正數(shù)” “非負(fù)數(shù)”等對應(yīng)不 等號：0”“v0”“w0”“0”.例題與求解【例 1】如果關(guān)于x的方程m2x -X-1=0只有負(fù)根，那么m的取

2、值范圍是 _ .（遼寧省大連市“育英杯”競賽試題）解題思路：由XV0 建立關(guān)于m的不等式.A.ABCB .CB AC .BACD .B CA（浙江省紹興市競賽試題）解題思路：當(dāng)作差比較困難時，不妨考慮作商比較【例3】已知a1,a2,a3,a,a,a6,a7是彼此不相等的正整數(shù)，它們的和等于159，求其中最小數(shù)a的最大值.（北京市競賽試題）解題思路： 設(shè)aVa?V2 b，則（）7.設(shè)p21989. 1J990丿2 1A PQB個.-有最大值 1 Ca-有最大值 2b21990.12I則 P19912 1Q 的大小關(guān)系是（PVQC P=QD不能確定&小芳和爸爸、媽媽三人玩蹺蹺板，三人的體重

3、一共為150 千克，爸爸坐在蹺蹺 板的一端，體重只有媽媽一半的小芳和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端，這時，爸爸的那一端仍然著地，請你猜一猜小 芳的體重應(yīng)小于（）A 49 千克 B 50 千克 C 24 千克 D 25 千克（山東省煙臺市中考試題）9 中國第三屆京劇藝術(shù)節(jié)在南京舉行，某場京劇演出的票價有2 元到 100 元多種，某團(tuán)體需購買票價 6 元和 10 元的票共 140 張，其中票價為 10 元的票數(shù)不少于票價為 6 元的票數(shù)的 2 倍.問這兩 種票各購買多少張所需的錢最少？最少需要多少錢？56（江蘇省競賽試題）10某港受潮汐的影響，近日每天24 小時港內(nèi)的水深變化大體如圖所示:一艘貨輪于上

4、午 7 時在該港碼頭開始卸貨，計劃當(dāng)天卸完貨后離港已知這艘貨輪卸完貨后吃 水深度為 2.5m（吃水深度即船底與水面的距離）該港口規(guī)定：為保證航行安全，只有當(dāng)船底與港 內(nèi)水底間的距離不少于 3.5m 時，才能進(jìn)出該港.根據(jù)題目中所給的條件，回答下列問題：（.1）要使該船能在當(dāng)天卸完貨并安全出港，則出港時水深不能少于 _m 卸貨最多只能用_ 小時；（2）已知該船裝有 1200 噸貨，先由甲裝卸隊單獨卸，每小時卸180 噸，工作了一段時間后，交由乙隊接著單獨卸，每小時卸120 噸.如果要保證該船能在當(dāng)天卸完貨并安全出港，則甲隊至少應(yīng)該工作幾小時，才能交給乙隊接著卸？（江蘇省蘇州市中考試題）B 級1

5、.設(shè)a,b,c,d都是整數(shù)，且a 3b , b v5c,c7d,d v30,那么a的最大可能值為 _.（“新世紀(jì)杯”數(shù)學(xué)競賽試題）2 .某賓館底樓客房比二樓少5 間，某旅游團(tuán)有 48 人，若全安排住底樓，每間住4 人，房間不夠；每間住 5 人，有房間沒有住滿 5 人.又若全安排在二樓，每間住3 人，房間不夠；每間住 4 人，有房間沒有住滿 4 人，該賓館底樓有客房_間.3._已知aax1，那么x的取值范圍是 _ .4._若a,b滿足3a2+5b =7, S=2a23b，貝 U S 的取值范圍是 _ .（ 廣西競賽試題）75. 已知a1,a2,a3，a207是彼此互不相等的負(fù)數(shù)，且M=（耳+a?

6、+a206）（a?+a3+a2007),N=(a1+a2+ +a2007)(a2+a3+ +a2006)，那么M與N的大小關(guān)系是()A.MNB. M=NC.MKND無法確定（江蘇省競賽試題）6某出版社計劃出版一套百科全書，固定成本為8 萬元，每印刷一套增加成本20 元如果每套書定價 100 元，賣出后有 3 成收入給經(jīng)銷商，出版社要盈利10%，那么該書至少要發(fā)行（）套.A . 2 000 B . 3 000 C . 4 000 D . 5 000（“希望杯”邀請賽試題）7.今有濃度為 5%, 8%, 9%的甲、乙、丙三種鹽水分別為60 克，60 克，47 克，現(xiàn)要配制濃度為7%的鹽水 100

7、克，問甲種鹽水最多可用多少克？最少可用多少克？（北京市競賽試題）&為了迎接世界杯足球賽的到來，某足球協(xié)會舉辦了一次足球聯(lián)賽，其記分規(guī)則與獎勵方案如下表：勝一場平一場負(fù)一場積分310獎金（元/人）15007000當(dāng)比賽進(jìn)行到第 12 輪結(jié)束（每隊均需比賽 12 場）時，A 隊共積 1 9 分.（1） 請通過計算，判斷 A 隊勝、平、負(fù)各幾場.（2） 若每賽一場，每名參賽隊員均得出場費(fèi) 500 元.設(shè) A 隊其中一名參賽隊員所得的獎金與出場費(fèi)的和為 W 元），試求 W 的最大值。（黑龍江省中考試題）9.為實現(xiàn)區(qū)域教育均衡發(fā)展，我市計劃對某縣A, B 兩類薄弱學(xué)校全部進(jìn)行改造.根據(jù)預(yù)算，共需

8、資金 1 575 萬元，改造一所 A 類學(xué)校和兩所.B 類學(xué)校共需資金 230 萬元；改造兩所 A 類學(xué)校和一 所 B 類學(xué)校共需資金 205 萬元.（1） 改造一所 A 類學(xué)校和一所 B 類學(xué)校所需的資金分別是多少萬元？（2） 若該縣的 A 類學(xué)校不超過 5 所，則 B 類學(xué)校至少有多少所？（3） 我市計劃今年對該縣 A, B 兩類學(xué)校共 6 所進(jìn)行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔(dān)，若今年國家財政撥付的改造資金不超過400 萬元；地方財政投入的改造資金不少于70 萬元，8其中地方財政投入到 A B 兩類學(xué)校的改造資金分別為每所 10 萬元和 15 萬元，請你通過計算求出有 幾種改造

9、方案.（湖北省襄樊市中考試題）10.設(shè)為,X2，X2008是整數(shù)，且滿足下列條件：9IwXnW2（n=1,2，2 008）;Xi X2 h“X2008= 200；222x1x2亠x2008= 2008.求X13- X23X20083的最大值和最小值.（“宗滬杯”競賽試題）10專題 16 不等式（組）例 1 C 提示：解不等式組得3_2t：X：20,貝 U 5 個整數(shù)解為x= 19, 18, 17, 16, 15.結(jié)合數(shù)軸I 8x=-例 3m =1或m =3提示：解方程組得m 1，由6 2my二I m +1X-0,得1 m 0y -0Jjc -3_0得 7 -11c 亠 0,解得 3 c 7 ,

10、故 m 的最大值為,最小值為-5711117c _0|x3=x1x2x4=x2亠 x3=論亠2X2X7,得血=x3亠 x4=2 為亠3X2,因此匕| X X4 X5= 3X1 5X2!X -X5X -5 Xl8X2是 10 的奇數(shù)倍.又因為x1vx2,故有三組解：X1=10,x2=94,或X1=30,X2=81 ,或X1=50,X2=68.因此X1+X2的最大值為 50+68=118,所以X1+X2+X3的最 大值為 2(X1+X2)=2X118=236.例 6 解法一：.0wabw1 ，1wa+bw4 ，由知一 4Wabw 1 , + 得4w2bw0,即2wbw0， + 得2wa 2bw1要

11、使a 2b最大，只有ab=1 且b=0./a=1 且b=0,此時 8a+2003b=8.分析，應(yīng)滿足14W3-2tv15,故一 6vt 一6：t1113X :45提示:(2m - n)x m 5n,2m - n：0,m 5n2m - n10,m：0,13m = 45n.例 4 提示：由已知條件得3a 2b = 5 - c2a 亠 b =1 亠 3cL解得a=73,m=3c 2.b=7 11cL# _0由 b _0c_0例 5 先用X1和X2表示X3,X4,X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7= 2010.于是得X22010 -13X120=100 (丄213113he.因為x2是自然數(shù),所

12、以（盯於）是整數(shù)，所以X111解法設(shè) a 2b=m(a+b)+n(a b)=(m+n)a+ (m_ m n =1 口n)b,知，解得m _ n = -2m - -123nG113而 -22 的）2,0邛 213a-12 2wa2bw1當(dāng)a 2b最大時，a +b=1 , a b=1 b=0, a=1，此時 8a+2003b=8.1.210 x 4 -2ab - 5 由解集是 0vxv2 知 b 5 3+x,得(a1)(x+3) 0,.由不等式的解集為xv 3 知x+3v0,所以a 1v0,得av1.10.提示：由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得a=2,b=5,原不等式組的解集為xv3.311.原不等式組等價于3,

13、因為該不等式組的整數(shù)解一1 ,0, 1, 2 不是對稱地出現(xiàn),bbx :.22所以其解不可能是:：: x：:b必有？ _ x：:b，由整數(shù)解的情況可知 -2：:a_ -1, 2：:衛(wèi)_ 3223232得a= 5, 4, 3;b=5,6.故整數(shù)對(a,b)共有 2x3=6 對.331. -1 _a 提示：由題意可知：x .由正整數(shù)解為4aix _a仁 1 由不等式組有解知-aw1,故123. 9wav12 4.11x17587155. B 提示：原不等式組變形為_ a b c：3c ,：a b c a ,：a b c b .623246. C 示：若x2000，則(x 2000)+xw9999，即 2000Wx 1 提示:原不等式組變形為137. D 8.C 提示：由原不等式得x2 (x+5)2149.提示：解不等式，得x ,11-4x 亠 1原式=_2x 一 2x：1 ,從而知最大值為 4，最小值為_3 / 114（x，）10.提示：s=x+2, 2 s 3當(dāng)n=15 時，90:：: k 疳105,即 126:：: k：131此時是k=1