1、若已知動點 足關系：與圓有 關的軌跡方程 的求法P1 ( a,)B在曲線Ci ： fi (x,y) =0上移動，動點 P (x,y)依動點Pi而動，它滿x x(,) y y(,)則關于公b反解方程組，得g(x, y)h(x, y)代入曲線方程fi (x,y) =0,即可求得動點 P的軌跡方程 C: f (x,y) =0.例1、(求軌跡)：已知線段 AB的端點B的坐標是(4, 3),端點A在圓(x 1)2 y24上運動，求線段 AB的中點M的軌跡方程.【例2】已知點A(3, 0),點P在圓x2+y2 = i的上半圓周上，/ AOP的平分線交PA于Q,求點 Q的軌跡方程.【法一】如圖所示，設P(x

2、0, y0)(y00), Q(x, y).OQ為/ AOP的平分線,PQQA|OP| i一,|OQ| 3八 ，iQ分PA的比為!3x0V。3(x043i)x0即Vo4x i343y2i63x -94i6 2 5y例3、已知圓4,過A (4, 0)作圓的割線ABG則弦BC中點的軌跡方程為()22又因 x0y0 = 1 ,且 y00,.Q的軌跡方程為(x/y2,y 0).A.(xi)2y 24b.(xi)2v 24(0xi)2222C.(x2)y4d.(x2)y4(0xi)變式練習1：已知定點B(3,0)，點A在圓x2y21上運動，M是線段AB上的一點，且1AM MB ,則點M的軌跡方程是 3解：

3、設 M (x, y), A(x1, y1). AM13MB，: (x x1,yYi)；(3 x, y), 3x1yi3(3 x)13yx1yi4-x343y1.丁點A在圓x1上運動，2x12y1(x4)2. (4x x39.161)2(3y)21,即(x -)24?，點16m的軌跡方程是2:已知定點B(3,0),點A在圓x21上運動，AOB的平分線交AB于點M，則點的軌跡方程是.解：設 M (x, y), A(x1, y1). OM是 AOB的平分線，LAMMBOAOB1.11， AM -MB .33由變式1可得點M的軌跡方程是(x3 224) y916,.，一223：已知直線y kx 1與圓

4、x y4相交于A、B兩點，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,求點P的軌跡方程.解：設P(x,y), AB的中點為 M . .OAPB是平行四邊形，： M是OP的中點，.點M的坐標為(x，)，且OM AB. .直線y kx 1經過定點C(0,1) 2 2OM CM ,OM CM (x,y) (-,- 1)2 22 22 2(Y 1) o,化簡得 x22 2(y1)21.點p的軌跡方程是x2 (y 1)24、圓(x 2)2 (y1)29的弦長為2,則弦的中點的軌跡方程是5、已知半徑為的動圓與圓(x 5)2 (y 7)2啰目切,則動圓圓心的軌跡方程是()A. (x 5)2 (y7)2 25 B

5、 . (x5)2 (y 7)217 或(x5)2 (y 7)2 15C . (x 5)2 (y7)2 9D . (x225) (y 7)25或(x22_5) (y 7)9如果定點P滿足PA=2PB則定點P的軌跡所6.已知兩定點 A(-2,0),B(1,0), 包圍的面積等于(B)Ap B4p C8p D9P17：已知點M與兩個定點0(0,0)8如圖所示，已知圓 0：A(3,0)的距離的比為一，求點M的軌跡萬程.24與y軸的正方向交于 A點，點B在直線y 2上運動,過B做圓。的切線，切點為 C ,求 ABC垂心H的軌跡.分析：按常規求軌跡的方法，設 H (x , y),找x, y的關系非常又t.

6、由于 H點隨B , C點運動而運動，可考慮 H, B, C三點坐標之間的關系.解：設 H (x , y) , C(x , y ),連結 AH , CH ,則 AH BC , CH AB, BC 是切線 OC BC , 所以 OCAH, CHOA, OA OC ,所以四邊形AOCH是菱形.一一y y 2,所以 ch |oa 2,得 y, ，,x x.2 ,2又 C(x , y )滿足 x y 4,所以x2 (y 2)2 4(x 0)即是所求軌跡方程.說明：題目巧妙運用了三角形垂心的性質及菱形的相關知識.采取代入法求軌跡方程.做 題時應注意分析圖形的幾何性質，求軌跡時應注意分析與動點相關聯的點，如

7、相關聯點軌跡方 程已知，可考慮代入法.2229.已知圓的萬程為 x y r ，圓內有定點 P(a , b),圓周上有兩個動點 A、B,使PA PB,求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.分析：利用幾何法求解，或利用轉移法求解，或利用參數法求解.解法一：如圖，在矩形 APBQ中，連結 AB , PQ交于M ,顯然OM AB ,AB PQ ,在直角三角形 AOM中，若設Q(x , y),則M (人史 上上). 22由 OM 2 AM 2 OA2,即x a 2 V b 21222(-)2 (=)2 -(x a)2 (y b)2 r2,22222、也即- y 2r (a b ),這便是Q的軌跡方程.222

8、222斛法一：設Q(x,y)、A(xi,yi)、B(x2,y2),則 xiy r , x2y r .22又PQ AB ,即22222(x a) (y b)(Xi x?)(y1 y2)2r2(x1x2 y1y2)又AB與PQ的中點重合，故x a x1 x2, y b y1 y2,即,、2,.、2_2_,(x a) (y b) 2r 2(x1x2 y1y2)+，有 x2 y2 2r2 (a2 b2).這就是所求的軌跡方程.解法三： 設 A(rcos , r sin )、 B(rcos , r sin )、 Q(x,y),由于APBQ為矩形，故AB與PQ的中點重合，即有x a r cos r cos

9、 , ay b rsin r sin ,又由PA PB有包一b回一b1r cos a r cos a聯立、消去、，即可得Q點的軌跡方程為x2 y2 2r2 (a2 b2).說明：本題的條件較多且較隱含，解題時，思路應清晰，且應充分利用圖形的幾何性質， 否則，將使解題陷入困境之中._22,一10、由動點P向圓x y1引兩條切線PAPB,切點分別為A、B ,APB=60,則動點P的軌跡方程是解：設 P(x, y) . APB=600,OPA =30 0. . OA AP, OP 2OA 2,x2y22,化簡得 x2y2, . , 22,4, 動點P的軌跡方程是x y 4.練習鞏固：設 A( c,0), B(c,0)(c0)為兩定點，動點 P到A點的距離與到 B點的距離的比為定彳t a(a 0),求P點的軌跡._. PA解：設動點P的坐標為P(x,y).由a(aPB0),得.(x c)2y2.(x c)2y2當a 1時，化簡得x22c(1 a2)c20 ,整理得，)2;a 11 a222(x 16 ya 1當a 1時，化簡得x0.所以當a 1時，P點的軌跡是以(Iac, 10)為圓心,2aca2 1為半徑的圓;當a 1時，P點的