1、回扣 7 立體幾何n基礎回歸-（i）四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關系.三視圖1三視圖的正（主）視圖、側（左）視圖、俯視圖分別是從幾何的正前方、正左方、正上方觀察 幾何體畫出的輪廓線畫三視圖的基本要求：正俯一樣長，俯側一樣寬，正側一樣高.2三視圖排列規則： 俯視圖放在正（主）視圖的下面，長度與正（主）視圖一樣；側（左）視圖放 在正（主）視圖的右面，高度和正（主）視圖一樣，寬度與俯視圖一樣.2.柱、錐、臺、球體的表面積和體積VII側面展開圖/表面積體積直棱柱2 長方形S=2S底+S側V=S底h圓柱長方形、】S=2nr+2nrlV= nr2l棱錐；彳由若

2、干三角形構成S=S底+S側1V=S底h圓錐扇形2S= nr+ nrl12V=j r2h3棱臺由若干個梯形構成S=S上底+S下底+S側v=*(s+VST +S)h圓臺扇環2S= nr + n(r+r)1+2nr12V=? n(r2+rr+r2)h球2S=4nr43S=3n r23.平行、垂直關系的轉化示意圖4用空間向量證明平行垂直a= (ai,bi,ci)，平面a,3的法向量分別為 卩=(a2,b2,C2) ,v=(as,bs,cs).則有:(1)線面平行111 a?a丄卩？ar= ?aia2+bib2+CiC2= .(2)線面垂直5I丄a?aI口?a=k口?ai=ka2,bi=kb2,ci=k

3、C2.(3)面面平行aII3? 卩v?卩=入v?a2=入a3,b2=入b3,C2=入C3.(4)面面垂直a丄B? 丄v? v= 0?a2as+b2bs+C2C3= 0.5.用向量求空間角 (i)直線li,I2的夾角B有 Cos0=|COSli,丨2|(其中li,丨2分別是直線li,丨2的方向向 量)直線l與平面a的夾角0有 sin0=|cosl,n|(其中l是直線l的方向向量，n是平面a的法向量).平面a,3的夾角0有 cos0= |cosni,n2|，貝Ual3二面角的平面角為0線面垂直的判龍線血面面垂直的判；iLj L血麗垂直線面垂直的性質|垂直面面磁亞的性施垂直(2)兩個結論aIb?ab

4、，a丄a絨面平行時判定面面平行的判定一平行t線面平行的性質平行1面面平廿的性質設直線I的方向向量為血面垂點的判定血面垂耳的性嫌血面平行的判定血血平行的性槪3或n-0（其中ni,n2分別是平面a ,3的法向量）易錯提醒1 混淆“點A在直線a上”與“直線a在平面a內”的數學符號關系，應表示為Aa,a?a.2在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，根據三視圖的規則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為虛線.在還原空間幾何體實際形狀時一般是以正（主）視圖和俯視圖為主.3易混淆幾何體的表面積與側面積的區別， 幾何體的表面積是幾何體的側面積與所有底面面積之和，不能漏掉幾何體的底面積；求錐

5、體體積時，易漏掉體積公式中的系數4.不清楚空間線面平行與垂直關系中的判定定理和性質定理，忽視判定定理和性質定理中的條件，導致判斷出錯如由a丄3,a n 3=l,ml，易誤得出ml 3的結論，就是因為忽視面面垂直的性質定理中n?a的限制條件.5注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關系對照前后圖形，弄清楚變與不 變的元素后，再立足于不變的元素的位置關系與數量關系去探求變化后的元素在空間中的位 置與數量關系.6 幾種角的范圍兩條異面直線所成的角0a 90；直線與平面所成的角 0a 90；二面角 0W a W180；兩條相交直線所成的角（夾角）0 a W90；直線的傾斜角 0W a180；兩個

6、向量的夾角 0W a W180；銳角 0a90.7.空間向量求角時易忽視向量的夾角與所求角之間的關系，如求解二面角時，不能根據幾 何體判斷二面角的范圍，忽視向量的方向，誤以為兩個法向量的夾角就是所求的二面角，導致出錯.回歸訓練1 . （2017 重慶外國語學校月考）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是13.4C. 直三棱柱的體積V= 4D.直三棱柱的外接球的表面積為4 .3n答案 D解析 由三視圖可知，直三棱柱ABC-A1B1C的側面BCCB是邊長為 2 的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，ABL BC AB= BC= 2.C.nD.n答案 D解析CQOA4，其半徑為 1，則體積

7、V= -X 3X n X1 =n.2.直三棱柱AB（ ABC的直觀圖及三視圖如圖所示，D為AC的中點,則下列命題是假命題4正 主） 視圖俯視圖帥左勰圈的是（）5連接BC交BC于點0,連接0D在厶CAB中，0, D分別是BC, AC的中點，OD/ AB,又OD?平面BDC AB?平面BDCAB/平面BDC故 A 正確；在直三棱柱ABC- ABC中，AA丄平面ABCAA丄BD又AB= BG=2,D為AC的中點，BD丄AC又AAAAC=代AA,AC?平面AACC,BD丄平面AACCBD丄AC又AB丄B C,A B丄B B,AiBi丄平面BiCCBAiBi_LBC.BC丄BiC,且AiBiABiC=B

8、,BC丄平面ABC.BG丄AiC,又Bm BC=B, BD BC?平面BDCAiC丄平面BDC故 B 正確；V=SABCX CC= 22X2X2 = 4,故 C 正確；此直三棱柱的外接球的半徑為 寸 3 ,其表面積為 i 2n, D 錯.故選 D.3. 已知1直線I,m和平面a,則下列結論正確的是（)A. 若1/ma ,貝9I/ aB. 若1丄a ,m?a ,貝UI丄mC. 若1丄mI丄a ,貝Um/aD. 若1 / a,m?a ,貝UI/m答案 B解析 若I/m m?a,則I/a或I?a ,故 A 錯誤；若I丄a ,m?a ,則I丄mB 正確； 若I丄m I丄a,則n?a或m/a,故 C 錯

9、誤；若I/a ,m?a ,則I/m或I,m異面，故選 B.4 .已知互相垂直的平面a,3交于直線I.若直線m n滿足m/a,n丄B,則（6A. m/ I B.m/ nC. n丄ID.mln答案 C解析由題意知，aA3 =I, I?3, tn丄3, n丄丨.故選 C.5.已知m n為異面直線，ml平面a,n丄平面3直線I滿足I丄m l丄n,l?a,I?3,則（）A.a / 3且 I aB.a丄3且 I 丄3C.a與3相交，且交線垂直于 ID.a與3相交，且交線平行于 I答案 D-解析 假設a/3，由ml平面a,n丄平面3,得m/n,這與已知m n為異面直線矛盾，那么a與3相交，設交線為I1,貝U

10、Ii丄m Ii丄n,在直線m上任取一點作ni平行于n,那 一C么11和I都垂直于直線m與ni所確定的平面，所以11/1.6. 如圖，正方體AG的棱長為 1,過點A作平面ABD的垂線，垂足為點H,以下四個命題：點H是厶AiBD的垂心；AH垂直于平面CBD;直線 ；.AH和BB所成角為 45;AH的延長線經過點G,其中假命題的個數為I（ ） -A. 0B. 1C. 2D. 3答案 B解析 /AB= AA=AD BA=BD= AD,三棱錐A- BAD為正三棱錐，點H是厶AiBD的垂心，故正確；平面AiBD與平面BiCD平行，AHL平面ABDAH!平面CBD，故正確；-vlcA/AA/BB,/AAH就

11、是直線AH和BB所成的角，在直角三角形AHA中，7根據正方體的對稱性得到AH的延長線經過C,故正確，故選 B.7.將正方體的紙盒展開如圖，直線AB CD在原正方體的位置關系是（） sin168C.33A.平行 B .垂直C.相交成 60角 D.異面且成 60角答案 D解析 如圖，直線AB CD異面.因為CEJI AB所以/ECD即為直線AB CD所成的角，因為CDE為等邊三角形，故/ECD=60.E/I1 /1X.ZjTi&長方體的頂點都在同一球面上，其同一頂點處的三條棱長分別為3,4,5，則該球面的表面積為（A. 25nC. 75n答案 B解析 設球的半徑為R,由題意可得（2F）2=

12、 32+ 42+ 52= 50,二 4 氏=50,球的表面積為S=4nR=50n.9.如圖，三棱錐A-BCD勺棱長全相等，點E為AD的中點，則直線CE與BD所成角的余弦值為（）B答案 AB.50nA.A9解析 方法一取AB中點G,連接EG CG E為AD中點，EG/ BD/ GEC為CE與BD所成的角設AB=1,1 1則EG=2BD=2，CE= CG”, cosZGEC=EG+EC-GC2XEG/3, 0,0) ,A(0，- 1,0) ,B(W，0,2)，則AB=(V3,1,2)，則 4 ( .3, 0,0)為側面ACCA的法向量,2X2，則10故 sine=矗帥lABllBO4的位置關系是_

13、答案平行,AM ANZH解析 由亍，得MNZ BDMB ND而BD?平面BDC MN平面BDC所以MN/平面BDC12.已知長方體ABCA B C D,E,F,G,點，從中任取兩點確定的直線中，與平面AB D平行的有 _條.答案 6解析 如圖，連接EG EH FGTEH綊FG EFGF四點共面，由EG/ AB,EH/ AD,E EH= E, ABnAD=A可得平面EFGHf平面AB D平行，符合條件的共有 6 條.11.如圖，在空間四邊形ABCD中，點ME AB,點NAD,若AM ANMB ND則直線MN與平面BDCH分別是棱AD,BB,B C,DD的中1113點P在正方形ABC斷在平面外，P

14、AL平面ABCD PA= AB則PB與AC所成角的大小是12答案n3解析以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，設正方形ABC啲邊長為1，則A(0,0,0) ,F(0,0,1),B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,PB=(1,0，- 1) ,AC= (1,1,0)，因此T TI+0X|+0X(II1cosPB AC=p12+02+(1)2.寸 12+12+022 BD/ EF菱形ABCD勺對角線互相垂直,BD丄ACEFACEF丄AO EFPO1+0 x1+ox(1)n因此PB和AC所成的角為 60,即才14.設m n是不同的直線,丫是不同的

15、平面,?3/丫；a丄3 ,m/a?右；m丄a ,m/3n,? mila.n?a其中, 正確的命題是.(填序號)答案中平行于同一平面的兩平面平行是正確的； r解析面內；中由面面垂直的判定定理可知結論正確；中中m3可能平行，相交或直線在平ma可能平行或線在面內.15.如圖(1),在邊長為 4 的菱形ABCD, /DAB=60ACn EF=O沿已尸將厶CEF翻折到PEF連接PA PB Tk.1ABFED且PB=J0.，點E, F分別是邊CD CB的中點,PD得到如圖所示的五棱錐P(1)求證：BDL PA求四棱錐P- BFED勺體積.(1)證明T點E,F分別是邊CD CB的中有以下B(I)13/AO?

16、平面POA PQ平面POA AOn PO= Q EF丄平面POA BD丄平面POA又PA?平面POABD丄PA解設A6 BD= H.連接BO/DAB=60,ABD為等邊三角形，BD=4,BHh2,HA=2 3,HO= PO=3,在 RtBHO中,BO= BH+HO=7,在厶PBC中,BO+PO= 10=PW,POL BO POL EF, EFnBO=O EF?平面BFEDBO?平面BFEDOPL平面BFED梯形BFED勺面積S= *(EF+BD) HO= 3&,四棱錐P- BFED的體積V=3SPO=3X3 3x/ 3=3.16.如圖，四棱錐S ABCD勺底面是正方形，SD丄平面ABCD SD= AD= a,點E是SD上的點，且DE=a(0v入w1).(1)求證：對任意的 入 (0,1,都有ACL BE若二面角C- AE- D的大小為 60,求入的值.(1)證明 如圖，建立空間直角坐標系Dxyz,則A(a,0,0) ,B(a,a,0) ,C(0 ,a,0), Q0,0,0), 日 0,0 ,入a).-AC=( a,a,0) ,B