1、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根和函數(shù) 的零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)5.(2009福建文)(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(X)= ； / +(IX2 +匕尤且f ,(-1) = 0(D試用含“的代數(shù)式表示。；(II)求心)的單調(diào)區(qū)間；(in)令”7,設(shè)函數(shù)/在xx2(x <x2) 處取得極 值，記點(diǎn)M(% J(N), N(x?,/(x2),證明：線段MN與曲線/(A) 存在異于何、N的公共點(diǎn)； 5.解法一：(I )依題意 9 得 f V) = v2 + 2cix+h 由尸(一1) = 1-24 +。= 0得/? = 2-1(II)由(D得f(x) = -x3 + ax2 + (2a - l

2、)x (令/*(%)=0,. 當(dāng) >1時(shí), 當(dāng)x變化時(shí),(1 + 8)/1« +f(x)單調(diào)遞增一 +單調(diào)遞減單調(diào)遞增f x) = x2 + lax+2t/-l = (x+l)(x+2-1)則匯=一1或尤=1 一2。-2a<-,.(x)與/ J)的變化情況如下表：("co1-2a)由此得，函數(shù)小)的單調(diào)增區(qū)間為(i-24和(T+s)， 單調(diào)減區(qū)間為(1-267,-1)由"1時(shí)，1-2”一 1,此時(shí)，尸(小0恒成立，且僅 在I處“M。，故函數(shù)小)的單調(diào)區(qū)間為R 當(dāng)"耐， -2a > -1 , 同理可得函數(shù)/的單調(diào)增 區(qū)間為(一,1)和9

3、單調(diào)減區(qū)間為(-1,1-26/)綜上：當(dāng)41時(shí),函數(shù)/（X）的單調(diào)增區(qū)間為（f ,1一初和（一1,+6）, 單調(diào)減區(qū)間為（1-2-1）；當(dāng)一時(shí)，函數(shù)小）的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)4<1時(shí)，函數(shù)/（X）的單調(diào)增區(qū)間為（-6,一1）和（1一九）9單調(diào)減區(qū)間為（T1 - 2）（HI）當(dāng) 4=-1 時(shí)，得/（X）= x5 -x2 - 3x由/'（x）= -2x-3 = 0, 得為=-1,=3由（II ）得人）的單調(diào)增區(qū)間為SI）和（3*）, 單調(diào)減區(qū)間為（-1,3）所以函數(shù)/*)在N =-l.x2 =3處取得極值。故 M（0N（3,9）所以直線MN的方程為尸1 ， 一,=4工7 _3x的-3x

4、2 - x + 3 = 08 ty =x 13令 E(x) = x33x2x+3易得F(0) = 3>0,F(2) = -3<0 9 而 F0) 的圖像在(0,2)內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線,故尸在（0,2）內(nèi)存在零點(diǎn)小,這表明線段MN與曲線小）有異于的公共點(diǎn) 解法二：（I）同解法一（II）同解法一。%3 -x2 -3% , 由r(x) = x?-2工-3 = 0 , 3%（ni）當(dāng)=-1時(shí)9得/（幻=得玉=-l,x2 =3由（II）得小）的單調(diào)增區(qū)間為SI）和（3,）, 單 調(diào)減區(qū)間為T3）,所以函數(shù)心）在內(nèi)-=3處取得 極值， 故加(1,沁(3,9) 所以直線W的方程為廠x3 -3

5、x2 -x + 3 = 08 ty =x-13解得x, =-1,占=1多=3所以線段的與曲線g）有異于MW的公共點(diǎn)（L914.（2009江西文）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)/（x） = x,-#+6x-4 .（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,廣0恒成立，求 7的最大值；（2）若方程/（幻=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取14.解:成立,(1) f (x) = 3x2 - 9x+6 = 3(x - l)(x - 2),因?yàn)?-00,+cO),/ (幻之"7,即 3-9x+(6-z) NO恒艮的1大所以 A = 81-12(6-m)<05 得?, 4值為-；因?yàn)楫?dāng)%<1時(shí)，/(x)>0；當(dāng)

6、l<x<2時(shí)，/(x)v0；當(dāng)。>2 時(shí),/(x)>0；所以當(dāng)入=1時(shí),/*)取極大值/(1) = |一； 當(dāng)x = 2時(shí)取極小值,2) = 2-；故當(dāng)2)>0或/(1)<0時(shí)，方程/(幻=0僅有一個(gè)實(shí)根.解得”2或23. (2009陜西文)(本小題滿分12分)已知函5( /(x) = x3 -3ax,a 豐 0求小)的單調(diào)區(qū)間；(II)若 /1)在工=-1處取得極值，直線y=m與y = /'(X)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍。23 .解析：(1) / (x) = 3x2 3a = 3(x2 a), 當(dāng)火。時(shí)，對(duì)、“，有/(x)>。，

7、當(dāng)4<0時(shí),/(上)的單調(diào)增區(qū)間為(f»)當(dāng)40時(shí),由/ (刈>0解得_¥<一或工>；<X<G 9/(X)的當(dāng)。時(shí)，小)的單調(diào)增區(qū)間為(一一石),(瘋 口)； 單調(diào)減區(qū)間為(-而瘋。(2)因?yàn)樾?在1=7處取得極大值， 所以/ (-1) = 3 X (-1)2 - = 0, /. 6/ = 1.所以 /(a) = x3-3x-1,/ (a) = 3x2-3,由/) = 0解得再=-抬=1 o由(D中心)的單調(diào)性可知，小)在處取得極大值/(1)=1，在皿處取得極小值/=一3因?yàn)橹本€與函數(shù)）=小）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),又/(-3) = -1

8、9-3, /(3) = 17>1,結(jié)合N）的單調(diào)性可知,的取值范圍是（一3）o12. （2010年高考湖北卷文科21）（本小題滿分 14分)設(shè)函數(shù)/（X）=9一廣+bx+c ,其中a>0,曲線）, = /（x）在點(diǎn)P （0, /（0）處的切線方程為y=l （I ）確定b、c的值（II）設(shè)曲線 y = /（x）在點(diǎn)（X, /（X）及（x2, /（x2）處的切線都過(guò)點(diǎn)（0,2）證明：當(dāng).x耐, /。*/也）（m）若過(guò)點(diǎn)（o,2）可作曲線尸小）的三條不同切線，求a的取值范圍。本小強(qiáng)主要名笠函數(shù)的m調(diào)性、極0L導(dǎo)數(shù)券基本知識(shí).同時(shí)考選綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知iSl迸 污推理論證的能力.（潴分14分）

9、（I）由/®> 二 !/一色/4 取及 J： /<0）no）«b .。4又由曲線y = /（x）在點(diǎn).r（QJ（0）處的切繪方程為> = 1.匐f（0）=】,廣=0.裁 6 = 0.。 I .（11） J3二;上一/1，。）彳ror,由于心仁/）處的團(tuán)戲方樣為.而戊©2）在切紋上.所以2-/“）=/'qx-，），化前汽 即，滿足的方程為）一3，”0.3232卜.施用反證法注明.假設(shè)/"M T'g）»由于曲線y - jx） ft點(diǎn)ex”/（得）> 及（七,/（小）處的切線都過(guò)點(diǎn)（0,2）,則下列等式成文：數(shù)

10、學(xué)（文史炎）試卷參用答案綣4頁(yè)（共5頁(yè)）(11天津文)19.(本小題滿分14分)已知函數(shù) f(x) = 4x3 + 3tx2 -6r2x+r-l,xe 7?, 其中(I)當(dāng)時(shí)，求曲線y = f(x)在點(diǎn) (0, /(0) 處的切 線方程；(II)當(dāng)"。時(shí)，求、)的單調(diào)區(qū)間;(in)證明：對(duì)任意的飛(o,+«)j(x)在區(qū)間(0/)內(nèi) 均存在零點(diǎn).(19)本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo) 數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函 數(shù)的零點(diǎn)、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算 能力及分類討論的思想方法，滿分14分。 (I ) 解：當(dāng)時(shí)， /(x) = 4父 + 3x2 6x, /(

11、O) = 0, fXx) = 12x2 +6x 6r(0) = 6,所以曲線y = "X)在點(diǎn)(O J(O)處的切線方程 為J y = 6x.(II )解： ff(x) = 12/+ 6tx-6t2 9 令/(X)= 0 , 解得 x = T 或r =.2因?yàn)?工。，以下分兩種情況討論：(1)若，則/ T,當(dāng)x變化時(shí)(x),/(x)的變化情 況如下表：X(!修I廣。）+fM/、/所以，小）的單調(diào)遞增區(qū)間是卜若),(T,+s);/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是七”。若”0,則-V，當(dāng)入變化時(shí)，）J*）的變化情況如下表：X(-NJ)、詞(廣。）+fM/、/所以，心）的單調(diào)遞增區(qū)間是（一F，（小,

12、（幻的單調(diào)遞減區(qū)間是（ni）證明：由（II）可知，當(dāng)，。時(shí)，“X）在 （。心內(nèi)的單調(diào)遞減，在已臼內(nèi)單調(diào)遞增，以 下分兩種情況討論：（1）當(dāng)合1,即心2時(shí)，心）在（0, 1）內(nèi)單調(diào)遞 減，/(0) = r-l>0,/(l) = -6r+4r + 3<-6x4 + 4x2 + 3<0.所以對(duì)任意y2,+«)j(x)在區(qū)間(0, 1)內(nèi)均存在 零點(diǎn)。/ 曲 Z - 2 陰 ) 2在內(nèi)單調(diào)遞t e (0,1, J (1) = -7, + <v。，/(l) = -6r+4/ + 3>-6+4/ + 3 = -2r + 3>0.所以/在巳1內(nèi)存在零點(diǎn)。若ij(

13、%T/(0) = r-l>0所以/（X）在0,?內(nèi)存在零點(diǎn)。所以,對(duì)任意fe （0.2）J（x）在區(qū)間（0, 1）內(nèi)均存 在零點(diǎn)。綜上，對(duì)任意在區(qū)間（0, 1）內(nèi)均存在零點(diǎn)。y = /")在10. 12012高考江蘇18 （16分）若函數(shù)X3處取得極大值或極小值，則稱/為函數(shù), =小）的極值點(diǎn)。已知"，是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)/(x) = f+a+x的兩 個(gè)極值點(diǎn).求和的值;(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g1x) = f(x) + 2 9求g(x)的極值點(diǎn);(3)設(shè)心) = “f(x)-c,其中 ce-2,2, 求函數(shù)y = h(x) 的 零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】解：(1)由f

14、(x) = x3+ax2+bx 9 得/(%) = 3r+26+ oVI和T是函數(shù)f (%) = x3 +ar2 +bx 的兩個(gè)極值點(diǎn)，(1) = 3 + 2c/ + /?=0，/(-1) = 3 -+ b=0 ,解得a=0, Z?=-3 o(2)V由得，/(x) = x3-3x 9 = f(x) + 2=x3 - 3x + 2=(x-1)2(X + 2) ,n =占=1, Xy= - 2 o當(dāng) xv-2 時(shí)，g，(x)vO；當(dāng)-2<xvl 時(shí),g'(x)>0,一=-2是於)的極值點(diǎn)。:當(dāng)-2J<1 或 x>l 時(shí), g(X)>0 9 I.X=1不是的極值

15、點(diǎn)。，g*)的極值點(diǎn)是一 2。(3 )令/a)。，貝!I (x)=.fa)-0 °先討論關(guān)于X的方程 fM=d 根 的情況：dj-2, 2當(dāng)昨2時(shí)，由(2 )可知， /U)=-2 的兩個(gè)不同的根為I和一 2 ,注意到小)是奇函 數(shù)，e)=2的兩個(gè)不同的根為一和2。當(dāng) 圖<2 時(shí), r f(-l)-d=f(2)-d=2-d>0 9/(I) -Jf(-2)-J=-2-J<0 f六一 2 , -1, 1 , 2都不是 /(X)=d 的根。由(1)知/(a)=3(a + I)(x-1)o當(dāng)"(2+8)時(shí), /(A) > 0 ，于是/(X) 是單調(diào)增函數(shù)，從而

16、/(-V)> /(2)=2。此時(shí)/(x)W在(2 + 8)無(wú)實(shí)根。當(dāng)"(1,2)時(shí). f(x) > 0 , 于是 /(X)是 單調(diào)增函數(shù)。XV /(l)-t/<0 , /一">0, y=f(x)-d 圖象不間斷，/ /(x)=j 在(1 , 2 )內(nèi)有唯一 實(shí)根。同理，之/在(一 2 ， 一 I )內(nèi)有唯一實(shí)根。當(dāng)xw(-L 1)時(shí)， /axo, 于是/是單調(diào)減兩數(shù)。又/(一1)-4>0,/(1)-J<O , >")一/的圖象不間斷，在(一 1, 1 )內(nèi)有唯一 實(shí)根。因此，當(dāng)昨2時(shí)， /0)=" 有兩個(gè)不同的根

17、知/滿足聞=1，同=2；當(dāng)|<2時(shí)以xgd有三個(gè)不同的根x，滿足加2, /=3, 4, 5 o現(xiàn)考慮函數(shù))=人的零點(diǎn)：(i)當(dāng)kN時(shí)， ,f(t)=c 有兩個(gè)根 3，2，滿足,|=1 加21=2。而八幻=4有三個(gè)不同的根，)=2 有兩個(gè)不同的根，故y = h(x)有5個(gè)零點(diǎn)。(11 )當(dāng) Id V 2 時(shí), /(/)=< 有三個(gè)不 同的根方 4,滿足同<2, /=3, 4, 5 o而 f(x)=t, (/=3, 4, 5)有三個(gè)不同的根，故 y = /i(x)有9個(gè)零點(diǎn)。綜上所述,當(dāng)|中2時(shí),函數(shù)i) 有5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)|c|<2時(shí),函數(shù)有9個(gè)零點(diǎn)。【考點(diǎn)】函數(shù)的概念和性質(zhì)

18、，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。【解析】(1)求出廠/的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)1和T是函 數(shù)k/的兩個(gè)極值點(diǎn)代入列方程組求解即可。(2)由(1)得, f(x) = xi -3x 9 求出山)， 令 g'(x)=O， 求解討論即可。(3)比較復(fù)雜，先分加2和冏2討論關(guān)于 x的方程八幻” 根的情況；再考慮函數(shù)y = h(x) 的零 13.12102高考福建文22(本小題滿分14分) 已知函數(shù)f (x) = cixsinx-(a e R),且在,嗚上的最大值為 4一 32 9(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在(0, n)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并 加以證明。考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)與方程。難度：難。分析：本題考查的知識(shí)

19、點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用 函數(shù)與方程的思想解決根個(gè)數(shù)的問(wèn)題。解答：(I) /(x) = oxsinx-?vW在0,芻上恒成立，且能取到等號(hào)=g(x) = A-sin X KF在0,上恒成立,且能取到等 2a 27t /、= L(%gx) = sinx + xcosx> 0 = y = g(x)右£ 0,上單增 2(II)7=g(，)=W = "=i = f(x)=xsinx- (Ifxlby )/(a) = xsin x=/?(x) = / '(x) = sin x + xcosx當(dāng)X£0,f時(shí)，:(x)之0=y = /(x)在(0,J上單調(diào)遞<0

20、=)，= /(外在(0,芻上有唯一當(dāng)X嗚時(shí)9“(X)= 2cosx-xsinxvO = /"(X)2上單調(diào)遞減/(£) = -5 <0 =存在唯一右白使/“。)=。乙乙N/'(x)>0<=> <x</'(x) >0ox<)v% v乃2得：/在4X。)上單調(diào)遞增，C%，劃 上單調(diào)遞減嗎)>0J=一3<。得：XW 6,/時(shí),/(X)>0 ,乙劃時(shí)，/Cv()/(/r)<0,、= /(工)在國(guó)),乃上有唯一零點(diǎn)由得:函數(shù)幻在(0,1) 內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)。1. (2013年高考陜西卷(文) 已知函數(shù)

21、/(x) = eU(I)求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(diǎn)(1,0)處的切線方程；(II)證明：曲線y二f與曲線y = 1+x + i有唯一公共點(diǎn).(m)設(shè)水6,比較與牛”的大小, L )h-a并說(shuō)明理由.1答案】解：(I) f(X)的反函數(shù)g(x) = lnx,則 y=g(x)過(guò)點(diǎn)(1,0)的切線斜率k=g'(i).g，(x)n，=1 .過(guò)點(diǎn)(1, 0)的切線方程為:y X=x+ 1(II)證明曲線y=f(X)與曲線y = #+x+l有唯一公共點(diǎn),過(guò)程如下.令/?(x) = f(x)-x2 - x-1 =- -x2 - x-l,xe /?, WJ22hx) = ex -x-1,/(x

22、)W#®/iM(x) = e' 1,且力(0) = 0, A'(0) = 0,廳'(0) = 0因此，當(dāng)x < 0時(shí)"(x) < 0 => y = "(X)單調(diào)遞減;當(dāng)x > 0時(shí)"(x) > 0 => y = /?'(x)單調(diào)遞增=> y=hx) > /7,(0)=0,所以y=(幻在R上單調(diào)遞增，最多有一個(gè)零點(diǎn)x二0所以，曲線y=f (x)與曲線v=#+x+i只有唯一 公共點(diǎn)(0, 1).(證畢)(m)設(shè)/()+ f(b) f(b) 一 f (a) _ (Z? a + 2)

23、 /(a) + ( 一 - 2) /()2b-a2 ,(。一 a)_ 3 - a + 2), ea +(/?-«- 2) - eh _ (Z? - a + 2) + (沙 - a - 2)02 " (/? - a)2 (A - a)令g(x) = x + 2 + (x 2)1,x>OUJg<x) = l + (l + x 2)e* =l + (x l) 。)g'(x)的導(dǎo)函數(shù)g”(x) = (l + x-l)/=x,/ >0,所以gx)在(0, + s)上單調(diào)遞增且g'(0) = 0因此g'(x) > 0, g")在

24、(0,*c)上單調(diào)遞增，而g(0) = 0,所以在(0,+s)上 g(x)0.當(dāng)x > 0時(shí),g(x) = x + 2 + (x 2) ex > 0且a < b,.(h-a + 2) + (b-a-2).eh-a a2 (/?-«)所以當(dāng)a<bMM + /S)“W)2b-a2.(2013年高考北京卷(文) 已知函數(shù)f(x) = x2 +xsinx + cosx (I)若曲線'=fW 在點(diǎn) (,/(a)處與直線”相 切，求.與/，的直(II)若曲線)與直線產(chǎn)有兩個(gè)不同的 交點(diǎn)，求/，的取值范R【答案】解：由f(x) = x2 +xsin x + cos

25、x ,fx) = x(2 + cos a) (I)因?yàn)榍€y = /(x) 在點(diǎn) (jm) 處與直線y = b相切，所以fa) = r/(2 + cost/) = 0 = /(4),解得4 = 0,。= /(。) = 1 (H)令八x) = 0,得x = 0./(X)與r*)的情況如下：Xy.O)0(0, +8)f'(x)一0+/(X)1/所以函數(shù)/在區(qū)間(一。)上單調(diào)遞減,在區(qū)間 (。1)上單調(diào)遞增,/(0) = 1是/的最小值.當(dāng)E時(shí)，曲線y = /(x)與直線產(chǎn)最多只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) >1 時(shí),/(-2h) = f(2b)>4b2-2h- > 4b-2b->

26、b , /(0) = 1</7,所以存在 內(nèi) e (-2b, 0) f x2 e (0,2b), 使得f(X) = f(x2) = b9由于函數(shù)/(x)在區(qū)間(r ,0)和(0,+oO)上均單所 以當(dāng)g時(shí)曲線、, = X)與直線yi有且只有兩 個(gè)不同交點(diǎn).綜上可知,如果曲線片/與直線,T有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn),那么的取值范圍是(1»)e為自然對(duì)當(dāng)?shù)闹禃r(shí),若直線/1與曲線y = f(x)2013年高考福建自文)已知函數(shù)/(X)= X-1 += e數(shù)的底數(shù)).(1)若曲線>'=/(A)在點(diǎn) a/(D)處的切線平行于入軸,求的值;求函數(shù)/的極值;沒(méi)有公共點(diǎn)，求k的最大值.【答案】解：(I )由 f(x) = x- + 9 得小)=/.又曲線在點(diǎn)(I,川)處的切線平行于1軸, 得r(1) =。