1、 注: 增量符號 是一個整體符號 , 不能看成 與 的乘積 .xx 5.1. 連續函數的概念: 0處的性態來考察該函數在xx 動態的觀點. 0 xxx是改變量增量)( 第5節 連續函數現在用內有定義在設函數 . ) ,( )( 0 xNxf . , )( 00開始變動即從初值的起點視為動點將xxx , )( ) ,( 0時終值內某一點變動到鄰域當xNx )()(00 xfxxfy0 xxx0 xy)(0 xf)(0 xxfyxo)(xfy相應的變到從函數值時變到從當自變量 , )( )( , 0000 xxfxfxxxx是改變量增量)( 等價的形式1 定義若內有定義的某鄰域在點設函數,),(

2、)( 00 xNxxfy , 0 lim0yx連續點的連續處在點則稱函數fxxxf- - , )( 00 )()(lim 00 xfxfxx1. 注: )( 0連續處在點xxf用“”語言來表達 | )()(| , | ,0 , 0 00 xfxfxx有時當對2.00lim( ) (),xxf xf x是否存在或值為多少與無關首先必須連續處在點 0 x. )(0有定義在點xxf )( xf而. )()(lim (3); )(lim (2); )( (1)0000 xfxfxfxxxfxxxx存在有定義在列三點：連續，必須同時滿足下處在點 )( 0 xxf3.間斷點000 如果 函數 在點 的某鄰

3、域或某去心鄰域內有定義,而 不是 的連續點，則稱 為 的 fxxfxf4.: )(0處右連續在xxf )()(lim 00 xfxfxxxyo0 x)(0 xf: )(0處左連續在xxf )()(lim 00 xfxfxxc處左連續在 )(0 xxf且右連續處連續在0)(xxfxyo0 x)(0 xf，的每一點連續在區間若 )( Ixf2. 定義.)(, I )( ICxfxf記為連續在區間則稱每一點連續 , 且在左端點右連續 , 在右端點左連續 . . 可以是有限的區間 , 也可以是無限的區間I注 :當區間 為閉區間時 , 在區間 連續指在區間 內部III0( ) ( ) , ( ) ()0

4、 ,nmmP xf xQxQx對于有理分式函數只要就有 例 )()(lim 00 xfxfxx. )()(在其定義域內是連續的有理分式函數xQxPmn ( )sin ( )cos ( , ) .f xxf xx 例1. 函數和都在區間內連續.0,0cos)() 1 (處不連續故在處無定義在xxxxxf . 2 例.)(lim(0不存在）xfx處不連續在0sgn)()2(xxxf001sin10)1 ()()3(2xxxxxxfx不存在xxfxx1sinlim)(lim00處不連續在0)(xxf20)(limexfx0lim)(lim00 xxfxx0)(lim0 xfx處不連續在0)(xxf1

5、)0( f001011)()4(xxxxxxxfxxxfxx11lim)(lim000) 11(lim0 xxx5.2.初等函數的連續性.)0)( )()(),()(),()(,)( ),( IICxgxgxfxgxfxgxfCxgxf則如果 . 1 定理極限的四則運算1 定理 ) , ( cos sin內連續在和xx,1(2) 知由例; 2k sec , tan時連續在xxx. k c , cot時連續在xscxx. 連續三角函數在其定義域內yxyfxxfyxIII在對應區間則它的反函數或單減上單增且在如果 )( , )( ,C )( 1 .2定理. )( ),(|且連續或單減上單增xxxf

6、yyI. 1 , 1 arcsin , 2 ,2 sin (1) 上單增且連續在區間故上單增且連續在xyxy. 1 , 1 arccos , , 0 cos (2) 上單減且連續在區間故上單減且連續在xyxy. , cotarc 內單減且連續在xy；內單增且連續在同理 , arctan , xy. 內連續反三角函數在其定義域 . 3 定理00 lim ( ) , ( ) , lim( ( )( ) . xxxxg xayf uuaf g xf a設而函數在點處連續 則0 lim ( ) xxg xa :證 )()(lim afufau0, 0, 對 , | | 時當au. | )()(| af

7、uf有 )(處連續在點auufy |( ( )( )| |( )( )| f g xf af uf a , | 0時當xxo0, | ( )| .g xa有0 lim( ( )( ) .xxf gxf a所以, )( , )( 000uxgxxxgu且連續處在點設函數. 4 定理00 lim( ( )(lim( )xxxxf g xfg x，則有連續知，若由定理 )(3ufy 1. 注2. 3續性定理易得下列復合函數的連由定理0 ( ) , yf uuu而函數在點處連續則復合函數. ) )(g( 0處也連續在點xxxfy)1sin1 (lim1sin1lim . 7 00 xxxxxx例11s

8、inlim-10 xxx（1）三角函數在其定義域內連續. , ) 1 , 0( (3)內單調且連續在指數函數aaayx基本初等函數的連續性（2）反三角函數在其定義域內連續. , 0 ) 1 , 0( log (4) 內單調且連續在對數函數aaxya . , (5)域內連續在其定義冪函數為何值無論xy 綜上得到：基本初等函數在它們的定義域內都是連續的。一切初等函數在其定義區間內都是連續的。3:例求下列極限xxax)1 (loglim)1 (0 xaxx1lim)2(0 xxax1)1(lim)3(00ln(1),1 , (11上述結果可推得下列三對等價無窮小：當時， ）xxxxexxx:)()(

9、的幾個結果關于冪指函數xgxf,)(lim , 0)(lim) 1 (00BxgAxfxxxx設設則.)(lim)(lim)(lim)(000BxgxxxgxxAxfxfxx)(ln)()(00lim)(limxfxgxxxgxxexf證)(ln)(lim0 xfxgxxe)(limln)(lim)(lnlim)(lim0000 xfxgxfxgxxxxxxxxeelnln.BAA BBeeA,)(),()2(0處處連連續續均均在在若若xxgxf.)(0)(處連續處連續在在則則xxfxg0)(xf且且4.:例求下列極限21(1) lim(1)xxx2cot0(2) lim(1 3tan)xxx

10、123(3) lim()21xxxx21sin0(4) lim(cos )xxx5.3 間斷點分類:的一個間斷點為設 )( 0 xfx：第一類間斷點 0)( 0)(00都存在和xfxf,)(lim0存在xfxx，使此時可補充或修改定義)(lim)(00 xfxfxx: )0()0()0()0(0000 xfxfxfxf 可去間斷點的連續點成為從而 0fx: 第二類間斷點. 0)( 0)(00有一不存在至少和xfxf 5. 例. 第一類間斷點 6. 例 1) 1(lim)(lim 1) 1(lim)(lim000 xxfxxfxoxxx，且為的一個間斷點是 )( 0 xfx 0,10,00,1)

11、( xxxxxxf函數 0 2)( 1處無定義在函數xxfx )(lim, 0)(lim00 xfxfxx又. 第二類間斷點的是)(0 xfx 2211( )111211( )1則在 處連續 . 因此 為函數 的xxf xxxxxxf xx.可去間斷點 7. 例21( )11 函數 在 處無定義 , 故為間斷點xf xxx2111limlim(1)2(1)1 . 如果補充定義:2, xxxx fx,011sin000sin)( xxxxxxxxf函數001lim ( )lim( sin1) 1 , xxf xxx1sinlim)(lim 00 xxxfxx0lim( )1 xf x0( ) 是

12、 的一個間斷點 ，且為xf x0:(0)lim( )1( )0（重新定義 , 則在處連續）xff xf xx可去間斷點 8. 例(0)0而 f:,9并指出間斷點的類型討論下列函數的連續性例3| |(1)( )(1)xxf xxx11(1( )1)222xxfx11()1( 3 )xxfxe( )(4)tanxf xx11112)(102xeexxxfaxax設例,),(內連續在.的值求a:,9并指出間斷點的類型討論下列函數的連續性例3| |(1)( )(1)xxf xxx0,1,1.()xxx 解解 間間斷斷點點為為無無定定義義300(1)1( )11xxxxxf xxxx0由于 limlim

13、lim1111lim( )lim12xxfxx111lim( )lim1xxfxx 0,1,1( ),( )(,1)( 1, 0)(1,).xxxf xf x 故故是是第第一一類類( (跳跳躍躍) )間間斷斷點點是是第第一一類類( (可可去去) )間間斷斷點點為為的的第第二二類類( (無無窮窮) )間間斷斷點點在在上上為為初初等等函函數數, ,故故連連續續300(1)1( )11xxxxxf xxxx 0limlimlim.0)(處連續在xxf.0為第一類間斷點x11212lim)(lim1100 xxxxxf12121lim1212lim)(lim1101100 xxxxxxxxf11(1(

14、 )1)222xxfx.0 x間斷點為解11()1( 3 )xxfxe.1,0 xx間斷點為解)(lim0 xfx, 1)(lim1xfx.0)(lim1xfx.)(0的第二類間斷點為xfx .)(1的第一類間斷點為xfx .1, 0)(時連續在xxxfsin0( )(104)xxxf xx.)(為分段函數解xf.)(,sin,0連續故連續時當xfxxx , 1sinlim)(lim00 xxxfxx, 1sinlim)(lim00 xxxfxx.)(0的第一類間斷點為xfx 1( )arcta(5)n1fxxx.)(,1連續時解xfx ,211arctanlim)(lim11xxxfxx.2

15、11arctanlim)(lim11xxxfxx.)(1的第一類間斷點為xfx ( )(6)tanxf xx(0,1,2)2解 間斷點為 和xkxkk ;)()2, 1(2, 0去間斷點的可為xfkkxx.)()2, 1(的第二類間斷點為xfkkx11112)(102xeexxxfaxax設例,),(內連續在.的值求aCfaxx取何值，不論時或當這是分段函數解,11.) 1 ()01 ()01 (1)(fffxxf 處連續在分段點3) 12(lim)01 (1xfx1) 1(lim)01 (221aaaxaxxeeeef由此得即令, 0)2)(1(, 312aaaaeeee.2ln,2aea解

16、得5.4.閉區間上連續函數的性質 4()定理最大值和最小值定理則設,)(,baCxf上一定有在, )( baxf. 最大值和最小值, , ,即 存在 對任意abxab ( )( )( ).總有 ff xf1x2xoyxab)(max)(2xfxfbxa)(min)(1xfxfbxa注：. ) 1 (有最大值或最小值不一定非閉區間上的連續函數. , )2(值不一定有最大值或最小上的非連續函數閉區間ba. )(1, )( , C )( (ii) )(1,沒有最大值在但xfxxf. ) 1 , 0( )( C )( (i) (0,1)也沒有最小值沒有最大值在但xfxxf : 例如. 2 , 0 )(

17、 , 最小值上沒有最大值也沒有在顯然xf21,31,110,1)( (iii)xxxxxxf函數oxy21 . )( 1 2 , 0 如圖所示點上有間斷在x()推論 有界性定理0, ,( ).即存在使當時 總有Mxabf xM則設,)(,baCxf )(xf. ,上一定有界在ba)(xfy aboyx. 0)( ),( fba使至少至少一個定理 5 (零點定理 根的或存在性定理),)() 1 (,baCxf設則 (2)( )( ( )( )( )0 ,)f af bf af b異號 即與( )注：若單調，則零點 是唯一的 .f x:證. )(, ,fba使存在 6()定理介值定理,)(,baC

18、xf設),(maxxfMbxa),(minxfmbxa, Mm任意對于則.,)(,上為常數，結論成立在則若baxfmM mM 若 4定理,21baxx存在使),(2xfM ),(1xfm ，不妨設21xx 即可；或，則取或若2121)()(xxxfxf. )( f即 , C )( , bax 則, )()( xfx令, 0)( )()()( 2121xfxfxx且，若)()(12xfxf 5定理, 0)( ),(使至少ba 6 定理的示意圖1x2xoyxab Mxf)(2mxf)(132 12. (1) 410 (0 , 1) .xx 例證明方程在區間內至少有一個根(2) ( )0,1(0)1,(1)0( )(0,1) .f xfff x設在區間上連續，且. 證明函數在內至少有一個不動點. 1) ,