1、勾股定理的逆定理典型例題 例 1 1 在. ABC 中，a = 2n2 2n , b = 2n 1, c = 2n2 2n 1(n 0)為三邊，試判 斷該三角形是否為直角三角形？ 例 2 2 如果一個三角形的三邊長分別為 a =m2 - n2,b = 2mn,c =m2 - n2(m - n)，則這三角形是直角三角形 例 3 3 已知a、b、c為 ABC的三邊，且滿足 2 2 2 a b c 338 =10a 24b 26c. . 求證：這個三角形是直角三角形 . . 例 4 4 已知:ABC的三邊為a、b、c, ,且a =41,b =40,c =9，試判定 ABC的形狀. 例 5 5 如圖所

2、示，在四邊形 ABCD中，.C是直角， AB -13, BC =4,CD =3, AD =12，求證：AD _ BD. 例 6 6 如圖所示，E為正方形ABC啲邊AD的中點，F在DGh, DF = 1 DC .試問：厶BEF 是直角三角形嗎？說明理由. 2 參考答案 例 1 1 解答： C-a = (2 n2 2 n 1)(2 n2 2n )=1 0, c -b =(2n2 2n 1) -(2n 1) =2n2 0 , c邊為三角形的最大邊， 又 c2 =(2 n2 2n 1)2 =4 n4 8n3 8 n2 1 , 2 2 2 2 2432 a b =(2 n 2n) (2n 1) =4 n

3、4 8n3 8 n21 , - a2 b2 = c2 根據勾股定理的逆定理可知， ABC為直角三角形. . 說明：三角形的三邊分別為 a，b，c，其中c為最大邊. . (1) 若a2 bc2，則三角形是直角三角形； (2) 若a2 b2 c2，則三角形是銳角三角形； 2 2 2 (3) 若a b : c，則三角形是鈍角三角形； 例 2 2 分析： 驗證a,b,c三邊是否符合勾股定量的逆定理 證明：b2 = m2n2 2 2mn2 4丄小22丄 4 /2丄 2? =m 2m n n m n 22 2 a b c / C C= 90 說明：勾股定理的逆定理給出了判定一個三角形是直角三角形的方法，

4、與前面學習的方法不 同，它需要通過代數運算算出來. 例 3 3 分析：要證明 ABC是直角三角形，應從它的三邊 a、b、c入手，如果有關系 a b二c或b c二a或c a =b成立，那么這個三角形一定是直角三角形 . .從已 知條件，可以求出 a、b、c的長. . 3 解答：由已知得：a2，b2 c2-10a-24b-26c 338 =0. . a21 a 25 b 24b 144 c2 26c 169 = 0 即(a -5)2 (b -12)2 (c-13)2 0 - (a-5)2 _0,(b-12)2 _0,(c 13)2 _0 a _5 =0,b _12 =0,c _13 =0，即 a

5、= 5,b = 12, c = 13 52 122 =132，即有 a2 bc2, ABC是直角三角形 說明：直角三角形適用于勾股定理， 而利用逆定理是判斷一個三角形是直角三角形的方 法，當由邊之間的關系判斷三角形的形狀時， 我們用勾股定理先行考證，沒有條件時， 創造 條件，從而求出邊長或邊長之間的關系，進而判斷 例 4 4 分析 為判定三角形的形狀，可利用直角三角形的判別條件，判斷三角形的最大 邊的平方是否等于另外兩邊的平方和. 解 b2 c2 =402 92 = 1681，而 a2 =412 =1681 , - ab2 c2, ABC是直角三角形，并且.A是直角. 說明：利用直角三角形的判

6、別條件不僅能夠判斷出三角形的形狀，而且還能夠知道三 角形的哪個角是直角. 例 5 5 分析 可將直線的互相垂直問題轉化成直角三角形的判定. 解 在 Rr BCD 中，BC =4,CD =3 , 由勾股定理， BD42 32，即BD =5 , 2 2 2 在 ABD 中，BD =5,AD =12,AB =13, AB = AD BD , 由直角三角形的判別條件， ABD是直角三角形，且 ADB是直角， AD _ BD . 例 6 6 解 BEF是直角三角形. 設 DF = a，由題意知， DE = AE = 2a,CF = 3a, AB = BC = 4a. 在直角三角形 BCF中，由勾股定理，得 2 2 2 2 2 2 BF 2 二 BC2 CF 2 二(4a)2 - (3a)2 二 25a2. 2 2 2 4 BF 二 BE EF . BEF是直角三角形.