1、2021/8/211.3.2 二二 項項 式式 定定 理理2021/8/221 1、二項式定理：、二項式定理：nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)(2 2、通項公式：、通項公式：1(0,1,2,)rnrrrnTC abrn 3 3、特例：、特例：nnnrrnnnnxCxCxCxCx 22111）（(展開式的第r +1項)溫故知新溫故知新2021/8/23(2)增減性與最大值：增減性與最大值： 從第一項起至中間項，二項式系數逐漸增從第一項起至中間項，二項式系數逐漸增大，隨后又逐漸減小大，隨后又逐漸減小.因此，當因此，當n n為偶數時，中間一項的二項式系數為偶數時，中間一項

2、的二項式系數2nnC12nnC12nnC(3) 二項式系數的和二項式系數的和0122rnnnnnnnCCCCC(1)對稱性：對稱性：二項式系二項式系數的性質數的性質mn mnnCC131202 nnnnnCCCC取得最大值；當取得最大值；當n為奇數時，中間兩項的二項式系為奇數時，中間兩項的二項式系數數 、 相等且同時取得最大值相等且同時取得最大值2021/8/24在在 展開式中展開式中 1023xy(1)求二項式系數的和求二項式系數的和;例例1.(2)各項系數的和各項系數的和;(3)奇數項的二項式系數和奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和;(4)奇數項的系數和與偶數

3、項的系數和奇數項的系數和與偶數項的系數和;1024151210152101 522021/8/251.在在(ab)20展開式中，與第五項的系數相同的展開式中，與第五項的系數相同的項是項是( ).2.在在(ab)10展開式中，系數最大的項是展開式中，系數最大的項是( ).A 第第6項項 B 第第7項項 C 第第6項和第項和第7項項 D 第第5項和第項和第7項項A 第第15項項 B 第第16項項 C 第第17項項 D 第第18項項CA學生活動學生活動2021/8/26學生活動學生活動3、已知、已知(2x+1)10=a0 x10+ a1x9+ a2x8+a9x+ a10,(1)求求a0+ a1+ a

4、2+ +a9+ a10的值的值(2)求求a0+ a2+ a4+ + a10的值的值103)13(2110 4234012342202413(23),()()xaa xa xa xa xaaaaa 4 4、若若則則_ _ _ _ _ _ _ . .1nbxaxf)()( 設設2)1()1( ff其其奇奇次次項項系系數數的的和和是是2)1()1( ff其其偶偶次次項項系系數數的的和和是是結論結論:展開式所有項系數和為展開式所有項系數和為f(1)2021/8/275.( 15.( 1x x ) ) 1313 的展開式中系數最小的項是的展開式中系數最小的項是 （ ）(A)(A)第六項第六項 (B)(B

5、)第七項第七項 （C C）第八項）第八項 (D)(D)第九項第九項C學生活動學生活動寫出系數最小的項與系數最大的項寫出系數最小的項與系數最大的項66666 11313()TCxCx77677 11313()TCxCx 2021/8/28基礎訓練：基礎訓練：2110:1nxxx 、已已知知展展開開式式中中第第五五項項的的系系數數與與第第三三項項的的系系數數比比是是，求求展展開開式式中中含含 的的項項122121 2222187nnnnnrnnnnCCCCCC 、如如果果： 求求：的的值值199520080090095()abcdabcd變變式式：求求展展開開式式中中項項的的系系數數2021/8/

6、293.3.求值：求值：1091827364551010101010(2)333333CCCCC1224364851055555(1)122222CCCCC4637289101010103333CCCC2021/8/210例例2 已知已知 的展開式中只有第的展開式中只有第10項項系數最大，求第五項。系數最大，求第五項。 nxx431解：依題意，解：依題意， 為偶數，且為偶數，且n,18,1012nn.306014443418418145xxxCTT變式：變式：若將若將“只有第只有第10項項”改為改為“第第10項項”呢？呢？19.或18或17n(答案略答案略)2021/8/211例例3 3 寫出

7、在（寫出在（a+a+2 2) )1010的展開式中，的展開式中， 系數系數最大最大的項？的項？r2Cr1011 -r2C10 rr2Cr1011r2C10 r解：設系數最大的項是第解：設系數最大的項是第 r + 1 r + 1 項，則項，則2(11-r) rr+1 2(10-r)322319 r7r 則系數最大的項是第則系數最大的項是第8 8項項737102aC2021/8/212例例4 4、已知、已知a a, ,b bN N，m m, ,n n Z Z ，且，且2 2m m + + n n = 0 = 0，如果二項式如果二項式( ( ax ax m m + + bx bx n n ) )12

8、12 的展開式中系數的展開式中系數最大的項恰好是常數項，求最大的項恰好是常數項，求 a a : : b b 的取值范圍。的取值范圍。 nrrmrrrrnrmrrxbaCbxaxCT )12(121212121)()(解：解：令令m (12 r )+ nr = 0，將，將 n =2m 代入，解得代入，解得 r = 4故故T5 為常數項，且系數最大。為常數項，且系數最大。 的系數的系數的系數的系數的系數的系數的系數的系數6545TTTT 57512484123931248412baCbaCbaCbaC即即4958 ba解得解得2021/8/213 例例5.已知已知(12x+3x2)7=a0+a1x

9、+a2x2+ +a13x13 +a14x14 . (1)求求a0+a1+a2+ +a14 ; (2)求求a a1 1+a+a3 3+a+a5 5+ +a13 .2021/8/214例例6.6.證明證明: :0 21 22 222(1)()()()()nnnnnnnCCCCC121(2)22nnnnnCCnCn2021/8/215學生活動：學生活動：1、已知、已知(2x+ )100=a0+a1x+a2x2+a100 x100，求下列各，求下列各式的值：式的值： (1)(a0+a2+a100)2(a1+a3+a99)2 ； (2)a0+a2+a100 .32021/8/216學生活動學生活動50(

10、12 ).x3、求展開式中系數最大的項(1)(12 )(1 3 )(1).xxxnxx1、求的展開式中 項的系數2*212(-1)4nnxnNnxx 2 2、設設，且且，求求證證：2021/8/217例例5 求證：求證： (nN，且，且n2)n3)2(21nn證明：證明：nnnnnnnnnnnCCCC2222) 12(312211)22()2(21221nnnnnnnCCCn又又n2，上式至少有三項，且，上式至少有三項，且nnnnnnCCC221220 (nN，且，且n2)2(21nnn32021/8/218（1 1） 能被能被10001000整除整除19910例例2 2、求證：、求證：（2

11、2） 能被能被7 7整除整除15151（3 3） 能被能被 整除整除), 3( 11Nnnnn2) 1( n2021/8/219例例3 計算計算 (精確到精確到0.001)5997. 155)997. 01 (997. 155)003. 02(997. 1解：解：322345003. 0210003. 0210003. 0252761.3100072. 024. 032997. 1555)003. 02(997. 12021/8/220例題講解：例題講解：例例1 在在 的展開式中，的展開式中， 的系數的系數是多少？是多少？求求 展開式中含展開式中含 的項的項.103)1)(1 (xx5x62)

12、1 (xx5x解：解：原式原式=10310)1 ()1 (xxx可知可知 的系數是的系數是 的第六項系數與的第六項系數與 的第三項系數之和的第三項系數之和.5x10)1 (x103)1 (xx即：即：20745252210510CC原式原式=621xx 62524232)()(6)(15)(20 xxxxxxxx 其中含其中含 的項為：的項為：5x555566)4(15320 xxxx2021/8/221課堂小結：課堂小結： 本節課討論了二項式定理的應用，本節課討論了二項式定理的應用，包括組合數的計算及恒等式證明、近似包括組合數的計算及恒等式證明、近似計算與證明不等式、整除、二項式系數計算與證明不等式、整除、二項式系數與系數最大問題等當然，二項式定理與系