1、二次方程根的分布與二次函數在閉區間上的最值歸納21、一元二次方程ax bx0根的分布情況設方程ax bx c =0 a = 0的不等兩根為x1,x2且治：x2， 相應的二次函數為 f（x）=ax +bx + c = 0， 方程的根即為二次函數圖象與 x軸的交點，它們的分布情況見下面各表（每種情況對應的均是充要條件）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負情況）：0：0分布情況兩個負根即兩根都小于0X1 : 0, x2 : 0兩個正根即兩根都大于0為 0, x2 0一正根一負根即一個根小于 0,一個大于 0 x ： 0 ：x2O大致圖象<a得出的結論o OO .O>A-OO：0得出的結論

2、 >0b02af 0 <0-b 02af 0 <0：0：0綜合結論不討論ab2a:02aa f 00a f 0 ： 0：0表二：（兩根與k的大小比較）分布情況兩根都小于k即x,： k, Xo : k兩根都大于k即Xik, Xo k一個根小于k，一個大于k即Xi ： k ： Xoa得出的結論A >0b:：k2af k 0得出的結論.=0b :：: k2af k ：0綜合結論不討論aA-A>0I b> k2af k 0b k2af k <0表三：（根在區間上的分布）分布情況兩根都在 m,n內兩根有且僅有一根在 m,n內 （圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在

3、 m, n內，另一根在 p,q 內，m ： n ： p . q得出的結論A>0f m 0f n ，0bmn2af m j、0f n ： ： 0 或 f m f n ： 0f P < 0 f P f q < 0f q 0得出的結論i>0f m： 0f n：0bm ： - 一 ：. n2af m ： 0f n O f m f n ： 0 或<f p 0 f P f q ： 0f q : 0綜合結論不討論af m f n ： 0f p f q < 0根在區間上的分布還有一種情況：兩根分別在區間m,n夕卜，即在區間兩側 為：m,x2n ,（圖形分別如下）需滿足的條件

4、是對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：(1)兩根有且僅有一根在m,n內有以下特殊情況：1 若fm=O或fn=O,則此時f m|_ f n : 0不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為m或n，可以求出另外一根，然后可以根據另一根在區間m,n內，從而可以求出參數的值。如方程mx?m 2 x 2 = 0在區間2 2 2 21,3上有一根，因為f 1 =0,所以mx2 - m，2x，2 = x-1 mx-2 ，另一根為一，由13得m ： 2即為所求；2方程有且只有一根，且這個根在區間m,n內，即幾-0，此時由盤-0可以求出參數的值，然后再將參數的值帶入方程，求出相應的根，檢驗根是否在給定的區間

5、內，如若不在，舍去相應的參數。如方程x2 - 4mx 2m 6 = 0有且15一根在區間 -3,0內，求m的取值范圍。分析：由f -3 Lf 0 : 0即14m 15 m 3 : 0得出-3 ： m ： -1423由八=0即16m2 -4 2m 6 =0得出m - -1或m ，當m - -1時，根x - -2E 3,0，即m - -1滿足題意；當3315m時，根x =3 - -3,0，故m 不滿足題意；綜上分析，得出-3 ： m或m二-12214根的分布練習題例仁已知二次方程 2m 1 x22mx m1 =0有一正根和一負根，求實數 m的取值范圍。1解：由(2m+1 jjf (0 )v0即 (

6、2m+1m1£ 0從而得一一 cmv1即為所求的范圍。2例2、已知方程2x2 - m V x，m=0有兩個不等正實根，求實數 m的取值范圍。解：由. 2m ： 3 - 2、2或 m3 2、2m 1-8m 0m a T 二m>00 : m : 3 -2、2 或m 3 2 2即為所求的范圍。2例3、已知二次函數y = m 2 x - 2m 4 3m 3與x軸有兩個交點，一個大于 1, 一個小于1，求實數m的 取值范圍。解：由 m 2 |_f 1 ： 0 即 m 2 L 2m 1 ： 0 =-2 m:：-即為所求的范圍。22 .例4、已知二次方程 mx亠2m-3 x 4=0只有一個正

7、根且這個根小于 1，求實數m的取值范圍。解：由題意有方程在區間0,1上只有一個正根，則f 0Lf 1: 0 -4 3m 1 : 0 - m ：-1即為所求范圍。30,1內，由: - 0計算檢驗，均不復合題意，計算量稍大)(注：對于可能出現的特殊情況方程有且只有一根且這個根在1. 二次函數及圖象交點；當 =0時，y=f(x)X2就是相應一元二次方程 2 2設有一元二次函數y=ax +bx+c(a豐0),判別式 =b -4ac ,當 > 0時y=f(x)與x軸有二當4> 0 時，設 y=f(x)a > 0 > A> 0使 f(x)> 0 的 x 為 x 或 x

8、> x2 使 f?x)< Q 的 x 為 X < x < x2 使 f(x)=0 的 x 為 x=xj 9 或a < 0 f A > 0 使 f(x)> Cl 的 x 為 X < x < x2使 f(l) < 0 為 xj 或 x > X2使f(x)=0的x為或當y = f(或圖象與苗由只有一個公共點迪2,其'圖像為觀察圖象不難知道=0,使謔)>0的盤為總M -亠*使住)>0的II為妊0.2盤使f(X)<o的金為埜E 0!使的筈為益# - 2當< 0時，y=f(x)圖象與x軸無公共點，其圖象為觀察

9、圖象不難知道.a> 0時,絕對不等式f(x) >0解為av 0時絕對不等式2討論一元二次方程的根的分布情況時，往往歸結為不等式(組)(1)應用求根公式；(2)應用根與系數關系；x R.絕對不等式ffxK。解為區E 0*f(x) V 0 解為 x R.的求解問題，其方法有3種:f(x)=0的兩根.觀察圖象不難知道.(3)應用二次函數圖象在進行轉化時，應保證這種轉化的等價性. 就這三種方法而言，應用二次函數圖象和性質應是比較簡捷的一種方法.2 2 .設f (x) =ax + bx + c (a > 0),方程ax + bx+ x=0的個根為a , 3 ( a < 3 ),

10、m n為常數，且nv m方程根的 分布無外乎兩種情況： Q, B分居兩區間阮只考慮端騒數值的符號，如口E (-cop n) rI “)Vo,P Em m)f (m)O. a,3同居一區間時，不但要考慮端點函數值的符號，還要考慮o及-8范2aA -b2 -4ac0,l亠廣廣、- 如：a 艮 (m m) U=> 彳 2aF (m) >0,F (n)0.、好題解給你 預習題 1.設有一元二次函數 y= 2x2-8x+1 .試問，當x 3 , 4時，隨x變大，y的值變大還是變小？由此y = f(x)在3 , 4上的最大值與最小值分別是什么？解：經配方有y= 2(x-2) 2-7對稱軸x =

11、 2,區間3 , 4在對稱軸右邊, y = f(x)在3 , 4上隨 x 變大，y 的值也變大，因此yma>=f(4) = 1. y min = f(3) = -5 .2. 設有一元二次函數 y = 2x2-4ax+2a 2+3 試問，此函數對稱軸是什么？當x 3 , 4時，隨x變大，y的值是變大還是變小？與 由此，求y= f(x)在3 , 4上的最大值與最小值.解：經配方有y= 2(x-a) +3.對稱軸為x=a.當aw 3時，因為區間3 , 4在對稱軸的右邊，因此，當 當3v a v4時，對稱軸x=a在區間3 , 4內，此時，若 大，y的值變大.當4w a時，因為區間3 , 4在對稱

12、軸的左邊，因此，當a取值有何關系？x 3 , 4時，隨x變大，y的值也變大.3< x< a，隨x變大，y的值變小，但若 a w x< 4，隨x變x 3 , 4時，隨x變大，y的值反而變小.2當 3v av 4 時，ymin= f(a) = 3.其中，aw 3.5 時，ymax= f(4) = 2a-16a+35 .222a3.5 時，ymax= f(3) = 2a -12a+21 .當 a4 時，ymax= f(3) = 2a -12a+21 . ymin = f(4) = 2a -16a+35 .2(1) (2)基礎題 例1.設有一元二次方程 x +2(m-1)x+(m+2

13、) = 0 .試問：(1)m為何值時，有一正根、一負根.m為何值時，有一根大于1、另一根小于1 .(3)m為何值時，有兩正根.(4)m為何值時，有兩負根.m為何值時，僅有一根在1 , 4內？解：(1)設方程一正根X2, 負根X1,顯然X1、X2< 0，依違達定理有 m+2v 0. m v -2 . 反思回顧：X1、X2v 0條件下，ac v 0,因此能保證> 0. 設 X1 v 1 , X2> 1，貝y X1-1 v 0 , X2-1 > 0 只要求(X 仁 1)(x 2-1) v 0,即 X1X2-(X 1+X2)+1 v 0.解得- !-依韋達定理有 (m+2)+2

14、(m-1)+1 v 0.匚4(m-l)2 -4(m + 2)>0, -2(m-l)>0, m + 2CLXj +衍0,二-：依韋達定理有 若X1 > 0, X2> 0，貝U X1+X2>0且X1, X2> 0,故應滿足條件 仏0,解得rA>0,(4)設叫<0, x2<0,則1勒>0,+x2<0故，應滿足焜聲2°，xL + x2>0.9+6(m-1)+(m+2) 16+8(m-1)+(m+2)< 0.(7m+1)(9m+10) < 0.例2.當m為何值時，方程 解：負數根首先是實數根， 兩根之積為正.由

15、以上分析，有97_：二一匚1 -有兩個負數根？.2- II，由根與系數關系：要使方程兩實數根為負數，必須且只需兩根之和為負, = (4呦2 _4x2x(知T) > 0 一加 <0a 2c 3酬_、小=> 0a 2%.2>0潮已側1一潮或牌> 1).當時，原方程有兩個負數根.(3)應用題例1. m取何實數值時，關于 x的方程x2+ ( m-2) x+ 5-m=0的兩個實根都大于 2? 解：設f (x) =x2+ ( m-2) x+5-m,如圖原方程兩個實根都大于2m2 -160,m = 2->2,解得-5<m< -4.f >0,的充要條件是所

16、以當-5 v m< -4時，方程的兩個實根大于2.2例2 .已知關于x方程：x-2ax + a = 0有兩個實根a , 3，且滿足0v a v 1, 3 > 2,求實根a的取值范圍. 解：設f (x) =x2-2ax + a,則方程f (x) =0的兩個根a , 3就是拋物線y=f (x)與x軸的兩個交點的橫坐標，如 圖0 v a v 1, 3 > 2的條件是：4-3a<0.4"：''',_， ' '"'1"< 1, B >2.x的方程x2+ ( m-2) x + 5-m=0的一個

17、實根大于 2,另一個實根小于 2.2，另一個實根小于 2的充要條件是f (2)< 0, 另一個實根小于 2.例1.已知函數- ：；的圖象都在x軸上方，求實數 解：(1)當:'涉；，則所給函數為二次函數，圖象滿足：加 +44-50k的取值范圍.(上十為(七一1) >0(*-l)(fr-19)< 0解得：1(2)當 > ：-一-：時，1：=若：.,則"一-的圖象不可能都在 x軸上方，：冬若'；-!,則y=3的圖象都在x軸上方 由(1) (2)得： l<i<19 反思回顧：此題沒有說明所給函數是二次函數，所以要分情況討論.例2.已知關于x

18、的方程(m-1)< 1 < B ,求實數m的取值范圍.2 2解：設 f(x)=x -2mx+m + m-6,(x )與x軸的兩個交點的橫坐標.如圖，0< a < 1 < B的條件是A< 0，即x2-2mx+ ni+m-6=0有兩個實根a , B ,且滿足則方程f (x) =0的兩個根a , B ,就是拋物線(O) >0, f (1) <0,即l-a<0,f(2)<0,L解得W 所以當時，方程的兩個實根J隊滿足0<a例3. m為何實數時，關于解：設f (x) =x2+( m-2) x + 5-m，如圖，原方程一個實根大于即4 +

19、2 (m-2)+ 5-mv 0.解得m< -5 .所以當m< -5時，方程的一個實根大于 2,m .或 F(0)<0, j(i) 5解得2<血<打或3<m< 顯x的方程3x2-5x + a=0的有兩個實根a , B，滿足條件a ( -2 , 0), B ( 1, 3)，求實數a的<0,<0,解得-12 < a< 0.1.已知方程(m1)x 2+3x- 1=0的兩根都是正數，則-< < 1 - - < < 1 B.丨C.I四、課后演武場-< W < 1Am -10. f(0)>0, f (

20、1) <0例3已知關于取值范圍.解：設f (x)=3x2-5x + a,由圖象特征可知方程f(x)=0的兩根a , B ,并且a ( -2 ,0),B ( 1 ,3)的C-2) >0,條件:f 3)f (i)f( 3)m的取值范圍是(B )m < -或牌>1D.42 2 .2. 方程x+(m-1) x+(m2)=0的一個根比1大，另一個根比A0vmv2B.-3 vmv 1C.-2 vmv 03. 已知方程' - - 1有兩個不相等的實數根，則( n* 13lkk<B.C.4.( 1?上|-1<七<0或。<無< 35.最大最小值-1D

21、.小，貝U m的取值范圍是(-1 v m< 1k的取值范圍是(Cn卜311 亠 1 2上1-<怎<0或。<七<“3已知關于X的方程3x2+( m-5)X + 7=0的一個根大于4，而另一個根小于 4,求實數35 ,提莎 令f(x)二3x"+ (m-5)x+7,由圖象特征可知方程f (x) =0的一根大于4，另一根小于4的充要條件是：已知關于x的方程x2+ 2mx+ 2m+ 3=0的兩個不等實根都在區間(35_(-1P 提可J 令f肆)=盟空十+2m+3,征可知方程f (x) =0的兩根都在(0, 2 )內的充要條件是f (0) >0, f(2)&g

22、t;0,)L0< -m<22、二次函數在閉區間m,n 1上的最大、D.f (4)v 0)0, 2)內，求實數由圖象特m的取值范圍.m的取值范圍.最小值問題探討設f X = ax2 bx 0 a 0 ,則二次函數在閉區間 m,n上的最大、最小值有如下的分布情況:bm : n ： 一2ay j X 1 = <3兀'+ 必兀 + c = 0 '(3 >0 11m n即2ab2am,nlb m ： n2a/'?r i =朋 +bx-he = 0> 0 »f X max 二 maxf n , f m jb、-II 2a丿i = dx2 +&

23、#163;?片 + 衛=0 i(a > 0"對于開口向下的情況，討論類似。其實無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結論:(1)若-2am, n ,貝y f (x hax = max,f(n)>, f(xhin =minf(m)fb J匕a""；(2)若一 'm,n則 f X max 二 max If m , f n，f x min 二 mi n、f m , f n 匚 2a另外，當二次函數開口向上時，自變量的取值離開對稱軸越遠，則對應的函數值越大；反過來，當二次函數開口向下時，自變量的取值離開 對稱軸軸越遠，則對應的函數值越小。二次函數在閉區間上的最值練習二次函數在閉區間上求最值，討論的情況無非就是從三個方面入手：開口方向、對稱軸以及閉區間，以下三個例題5和最小值2，求a,b的值。3a b 2 = 5 一 |a=12 b=2b=0f b，2 = 51a = -13ab2 = 2|b = 3fxmax=f3fxmin=f2fxmax=f2fxmin=f31111當a(3)f X min-2時，=f i 4 aV 2x +xa+1 x蘭a.< 2，這個函數是一個分段函數，由于上下兩段上的對稱軸分別為直線x2 x a 1, x ： a1 1各代表一種情況。例 1函數f x=ax2