四川省石室中學2024-2025學年高二數學第二學期期末調研試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線y＝3x﹣1與曲線y＝ax+lnx相切，則實數a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知變量，之間具有線性相關關系，其回歸方程為，若，，則的值為()A． B． C． D．13．利用數學歸納法證明不等式的過程中，由變成時，左邊增加了（）A．1項 B．項 C．項 D．項4．通過隨機詢問111名不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：

男

女

總計

愛好

41

21

31

不愛好

21

21

51

總計

31

51

111

由附表：

1．151

1．111

1．111

2．841

3．325

11．828

參照附表，得到的正確結論是（）A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C．在犯錯誤的概率不超過1．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過1．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”5．用反證法證明命題“關于x的方程至少有一個實根”時，要做的假設是（）A．方程至多有一個實根 B．方程至少有兩個實根C．方程至多有兩個實根 D．方程沒有實根6．函數在區間上的最大值為（）A．2 B． C． D．7．觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數滿足，記為的導函數，則=A． B． C． D．8．已知對任意實數，有，且時，，則時（）A． B．C． D．9．如圖，在平面直角坐標系中，質點間隔3分鐘先后從點，繞原點按逆時針方向作角速度為弧度/分鐘的勻速圓周運動，則與的縱坐標之差第4次達到最大值時，運動的時間為（）A．37.5分鐘 B．40.5分鐘 C．49.5分鐘 D．52.5分鐘10．已知函數，則()A． B．e C． D．111．已知，記，則M與N的大小關系是()A． B． C． D．不能確定12．已知函數.若，則（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在極坐標系中，已知兩點，，則線段的長度為__________.14．已知函數滿足，且的導數，則不等式的解集為________．15．已知，若展開式的常數項的值不大于15，則a取值范圍為________.16．已知曲線的方程為，集合，若對于任意的，都存在，使得成立，則稱曲線為曲線.下列方程所表示的曲線中,是曲線的有__________（寫出所有曲線的序號）①；②；③；④三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，其前項和為.（1）計算；（2）猜想的表達式，并用數學歸納法進行證明.18．（12分）請先閱讀：在等式的兩邊求導，得：，由求導法則，得：，化簡得等式：．利用上述的想法，結合等式（,正整數）（1）求的值；（2）求的值．19．（12分）沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時，如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的（細管長度忽略不計）.（1）如果該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，則該沙漏的一個沙時為多少秒？（精確到1秒）（2）細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，求此錐形沙堆的高度.（精確到0.1cm）20．（12分）選修4-5：不等式選講已知.（1）求的解集；（2）若恒成立，求實數的最大值.21．（12分）在件產品中，有件正品，件次品，從這件產品中任意抽取件.（1）共有多少種不同的抽法？（2）抽出的件中恰有件次品的抽法有多少種？（3）抽出的件中至少有件次品的抽法有多少種？22．（10分）已知過點且圓心在直線上的圓與軸相交于兩點，曲線上的任意一點與兩點連線的斜率之積為．（1）求曲線的方程；（2）過原點作射線，分別平行于，交曲線于兩點，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

對函數求導，設切點，表示出切線方程，與已知切線相同，從而得到關于和的方程組，解出的值.【詳解】設切點，因為，所以所以切線斜率則切線為整理得又因為切線方程為所以得，解得故選B項.本題考查利用導數的幾何意義，未知切點表示切線方程，屬于中檔題.2、A【解析】

根據題意，可知，，，代入即可求這組樣本數據的回歸直線方程，即可求解出答案。【詳解】依題意知，，而直線一定經過點，所以，解得．故答案選A。本題主要考查了根據線性回歸方程的性質求回歸直線，線性回歸直線過點，這個點稱為樣本點的中心，回歸直線一定過此點。3、D【解析】

分別寫出、時，不等式左邊的式子，從而可得結果.【詳解】當時，不等式左邊為，當時，不等式左邊為，則增加了項，故選D.項數的變化規律，是利用數學歸納法解答問題的基礎，也是易錯點，要使問題順利得到解決，關鍵是注意兩點：一是首尾兩項的變化規律；二是相鄰兩項之間的變化規律.4、A【解析】

由，而，故由獨立性檢驗的意義可知選A5、D【解析】

結論“至少有一個”的反面是“至多有0個”即“一個也沒有”．【詳解】假設是“關于x的方程沒有實根”．故選：D.本題考查反證法．掌握命題的否定是解題關鍵．在有“至多”“至少”等詞語時，其否定要注意．不能弄錯．6、D【解析】

求出導函數，利用導數確定函數的單調性，從而可確定最大值．【詳解】，當時，；時，，∴已知函數在上是增函數，在上是減函數，.故選D．本題考查用導數求函數的最值．解題時先求出函數的導函數，由導函數的正負確定函數的增減，從而確定最值，在閉區間的最值有時可能在區間的端點處取得，要注意比較．7、D【解析】由歸納推理可知偶函數的導數是奇函數，因為是偶函數，則是奇函數，所以，應選答案D．8、B【解析】由條件知：是奇函數，且在內是增函數；是偶函數，且在內是增函數；所以在內是增函數；在內是減函數；所以時，故選B9、A【解析】

分析：由題意可得：yN=，yM=，計算yM﹣yN=sin，即可得出．詳解：由題意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN=yM﹣yN=sin，令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，k=0，1，2，1．∴M與N的縱坐標之差第4次達到最大值時，N運動的時間=1×12+=17.5（分鐘）．故選A．點睛：本題考查了三角函數的圖象與性質、和差公式、數形結合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．也查到了三角函數的定義的應用，三角函數的定義指的是單位圓上的點坐標和這一點的旋轉角之間的關系.10、C【解析】

先求導，再計算出，再求.【詳解】由題得，所以.故選：C.本題主要考查導數的計算，意在考查學生對該知識的掌握水平和基本的計算能力，屬基礎題.11、B【解析】

作差并因式分解可得M-N=，由，∈（0，1）可作出判斷．【詳解】由題意可得M-N====，∵，b∈（0，1），∴（b-1）∈（-1，0），（-1）∈（-1，0），∴（b-1）（-1）＞0，∴M＞N

故選B.本題考查作差法比較式子大小，涉及因式分解，屬基礎題．12、D【解析】

令，則是R上的奇函數，利用函數的奇偶性可以推得的值．【詳解】令，則是上的奇函數，又，所以，所以，，所以，故選D.本題主要考查函數的奇偶性的應用，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

可將點P和點Q先化為直角坐標系下的點，從而利用距離公式求解.【詳解】根據，可將化為直角坐標點為，將化為直角坐標點為，從而.本題主要考查極坐標點和直角坐標點的互化，距離公式，難度不大.14、【解析】試題分析：設根據題意可得函數在R上單調遞減，然后根據可得，最后根據單調性可求出x的取值范圍．設，，即函數F（x）在R上單調遞減，，而函數F（x）在R上單調遞減，，即，故答案為考點：導數的運算；其它不等式的解法15、【解析】

由二項式定理及展開式通項得：，又，所以，又時，展開式無常數項，即a取值范圍為，得解．【詳解】由二項式定理可得：展開式的常數項為，又展開式的常數項的值不大于15，則，又，所以，又時，展開式無常數項，即a取值范圍為，故答案為：．本題考查了二項式定理及展開式通項，屬中檔題．16、①③【解析】

將問題轉化為：對于曲線上任意一點，在曲線上存在著點使得，據此逐項判斷曲線是否為曲線.【詳解】①的圖象既關于軸對稱，也關于軸對稱，且圖象是封閉圖形，所以對于任意的點，存在著點使得，所以①滿足；②的圖象是雙曲線，且雙曲線的漸近線斜率為，所以漸近線將平面分為四個夾角為的區域，當在雙曲線同一支上，此時，當不在雙曲線同一支上，此時，所以，不滿足，故②不滿足；③的圖象是焦點在軸上的拋物線，且關于軸對稱，連接，再過點作的垂線，則垂線一定與拋物線交于點，所以，所以，所以③滿足；④取，若，則有，顯然不成立，所以此時不成立，所以④不滿足.故答案為：①③.本題考查曲線與方程的新定義問題，難度較難.(1)對于新定義的問題，首先要找到問題的本質：也就是本題所考查的主要知識點，然后再解決問題；(2)對于常見的，一定要能將其與向量的數量積為零即垂直關系聯系在一起.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），證明見解析.【解析】

（1）由題可得前4項，依次求和即可得到答案；（2）由（1）得到前四項和的規律可猜想，由數學歸納法，即可做出證明，得到結論。【詳解】（1）計算，.（2）猜想.證明：①當時，左邊，右邊，猜想成立.②假設猜想成立，即成立，那么當時，，而，故當時，猜想也成立.由①②可知，對于，猜想都成立.本題主要考查了歸納、猜想與數學歸納法的證明方法，其中解答中明確數學歸納證明方法：（1）驗證時成立；（2）假設當時成立，證得也成立；（3）得到證明的結論．其中在到的推理中必須使用歸納假設．著重考查了推理與論證能力．18、(1)；(2).【解析】

（1）根據題意對兩邊求導，再令得到結果；（2）對已知式子兩邊同時乘以得：再令，求得答案.【詳解】（1）依題意得對兩邊同時求導得：令得：（2）由（1）得：兩邊同時乘以得：對上式兩邊同時求導得即令，本題以新定義為背景的創新題，考查二項式定和導數知識的交會，要求讀懂題意并會把知識遷移到新情境中進行問題解決，對綜合能力要求較高.19、(1)一沙時為1986秒;(2)沙堆高度約為2.4cm.【解析】

（1）開始時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為，底面半徑為39.71（秒）所以，沙全部漏入下部約需1986秒（2）細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑4，設高為錐形沙堆的高度約為2.4cm.20、(1)(2)【解析】

（1）先由題意得，進而可得，求解，即可求出結果；（2）先由恒成立，得到恒成立，討論與，分別求出的范圍，即可得出結果.【詳解】解：（1）由得，所以，解得，所以，的解集為（2）恒成立，即恒成立.當時，；當時，.因為（當且僅當，即時等號成立），所以，即的最大值是.本題主要考查含絕對值不等式，熟記含絕對值不等式的解法即可，屬于常考題型.21、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）從這件產品中任意抽出件，是組合問題，利用組合數的定義可得出結果；（2）抽出的件中恰好有件次品是指件正品，件次品，利用組合計數原理和分步計數原理可得出結果；（3）在件產品中任意抽出件的抽法種數減去件產品全是正品的抽法種數，用間接法求解．【詳解】（1）從這件產品中任意抽出件，共有種不同的抽法；（2）抽出的件中恰好有件次品的抽法，是指件正品，件次品，有種不同的抽法；（3）抽出的件中至少有件次品的抽法種數，可以在件產品中任意抽出件的抽法種數減去件產品全是正品的抽法種數，因此，共有種不同的抽法.本題考查組合知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．22、（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出圓C的方程，再利用直接法求曲線