1、第九章第九章 虛功原理和位移計算虛功原理和位移計算 本章的主要內容本章的主要內容 本章從功的概念出發，介紹了力學的本章從功的概念出發，介紹了力學的一個普遍原理一個普遍原理虛功原理。虛功原理。并利用這個并利用這個原理推導出了結構的位移計算公式。原理推導出了結構的位移計算公式。 本章著重介紹了代替位移計算公式本章著重介紹了代替位移計算公式中的積分運算的圖乘法。中的積分運算的圖乘法。 此外，本章還介紹了：此外，本章還介紹了： 靜定結構在溫度變化、支座移動時的位移靜定結構在溫度變化、支座移動時的位移計算計算; 線彈性結構的四個互等定理。線彈性結構的四個互等定理。 本章的重點與難點本章的重點與難點 重點

2、：重點：掌握計算位移的基本方法掌握計算位移的基本方法 單位荷載法。單位荷載法。 尤其能熟練正確地運用尤其能熟練正確地運用圖乘法圖乘法。 難點：難點：虛擬狀態的建立，各類圖形的圖虛擬狀態的建立，各類圖形的圖 乘。乘。 3. 本章在全課程中的地位本章在全課程中的地位 要求靜定結構的位移，必先求出靜要求靜定結構的位移，必先求出靜定結構的內力。因此本章可以說是對前定結構的內力。因此本章可以說是對前面所學的各類靜定結構的內力計算的復面所學的各類靜定結構的內力計算的復習。同時，位移計算又是下章即將開始習。同時，位移計算又是下章即將開始學習的超靜定結構的基礎。學習的超靜定結構的基礎。 因而因而,從全課程來看

3、，本章是承上啟從全課程來看，本章是承上啟下的一章，也是十分重要的內容。下的一章，也是十分重要的內容。 4. 本次課的內容及要求本次課的內容及要求 了解形變、位移的概念及位移的種類。了解形變、位移的概念及位移的種類。 明確位移計算的目的。明確位移計算的目的。 掌握變形體系的虛功原理（本次課重掌握變形體系的虛功原理（本次課重點）。點）。 9.1 結構位移概念結構位移概念 一、變形與位移一、變形與位移 變形：變形：結構在外部因素作用下發生的形結構在外部因素作用下發生的形狀的變化。狀的變化。 位移：位移：結構上點的移動和面或桿的轉動。結構上點的移動和面或桿的轉動。 兩者之間的關系兩者之間的關系：有形變

4、必有位移；有有形變必有位移；有位移不一定有形變。位移不一定有形變。 P 有形變有位移有形變有位移 有位移無形變有位移無形變 9.1 結構位移概念結構位移概念 一、變形與位移一、變形與位移 A ?FP ?AA?Ax?Ay1.線位移線位移 位移位移 2.轉角位移轉角位移 ?A?A點線位移點線位移 ?Ax?A點水平位移點水平位移 ?Ay?A點豎向位移點豎向位移 ?A截面轉角截面轉角 AAAB 相對線位移：相對線位移： ?AB?A?BCDCD 相對角位移：相對角位移： ?CD?C?D9.1 結構位移計算概述結構位移計算概述 一、變形與位移一、變形與位移 A ?Ay為什么要計算為什么要計算?A A?位移

5、位移? ?AxP 引起結構位移的原因引起結構位移的原因 還有什么原還有什么原 荷載荷載 因會使結構產因會使結構產 溫度溫度改變改變 ? 生位移生位移支座移動支座移動 制造誤差制造誤差 等等 ? ? t? 二、二、 計算位移的目的計算位移的目的 (1) 剛度要求剛度要求 在工程上，吊車梁允許的撓度在工程上，吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；跨度； 高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 最大層間位移最大層間位移 1/800 層高。層高。 鐵路工程技術規范規定鐵路工程技術規范規定 : 橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁 最大撓度最大撓度

6、 1/700 和和1/900跨度跨度 (2) 超靜定、動力和穩定計算超靜定、動力和穩定計算 (3）施工要求）施工要求 三、三、 本章位移計算的假定本章位移計算的假定 (1) 線彈性線彈性 (Linear Elastic), (2) 小變形小變形 (Small Deformation), （3）理想聯結）理想聯結 (Ideal Constraint)。 疊加原理適用疊加原理適用（principle of superposition) 四、四、 計算方法計算方法 單位荷載法單位荷載法 (Dummy-Unit Load Method) 9.2 虛功原理虛功原理 (Principle of Virtu

7、al Work) 一、功一、功(Work)、實功、實功(Real Work)和虛功和虛功(Virtual Work) 功：力對物體作用的累計效果的度量功：力對物體作用的累計效果的度量 功功=力力作用點沿力方向上的位移力力作用點沿力方向上的位移 實功：實功：力在自身所產生的位移上所作的功力在自身所產生的位移上所作的功 P1?W?P?2虛功：虛功：力在非自身所產生的位移上所作的功力在非自身所產生的位移上所作的功 ?tC?P?tW?P?t9.2 虛功原理虛功原理 (Principle of Virtual Work) 一、功一、功(Work)、實功、實功(Real Work)和虛功和虛功(Virtu

8、al Work) ?21?22P2注意：注意： P1（1）屬）屬同一同一體系；體系； （2）均為可能狀態。即位移）均為可能狀態。即位移 ?11 ?12應滿足應滿足變形協調條件變形協調條件； 力狀態應滿足力狀態應滿足平衡條件平衡條件。 P1（3）位移狀態與力狀態）位移狀態與力狀態完全無關完全無關； 力狀態力狀態 （虛力狀態） P2?12位移狀態位移狀態 （虛位移狀態）9.2 虛功原理虛功原理 (Principle of Virtual Work) 二、廣義力二、廣義力(Generalized force)、廣義位移、廣義位移(Generalized displacement) 一個力系作的總虛功

9、一個力系作的總虛功 W=P ? ? P-廣義力廣義力; ? ? -廣義位移廣義位移 例例: 1)作虛功的力系為一個集中力作虛功的力系為一個集中力 2)作虛功的力系為一個集中力偶作虛功的力系為一個集中力偶 PM?W?P?W?M?3)作虛功的力系為兩個等值作虛功的力系為兩個等值 反向的集中力偶反向的集中力偶 4)作虛功的力系為兩個等值作虛功的力系為兩個等值 反向的集中力反向的集中力 P?A?BMMPW?P?A?P?B?P(?A? ?B)?P?B?AW?M?A?M?B?M(?A?B)?M?剛體系的虛功原理剛體系的虛功原理 去掉約束而代以相應的去掉約束而代以相應的反力，該反力便可看成外反力，該反力便可

10、看成外- -F +F =0 P P B B力。力。 在具有理想約束的剛體在具有理想約束的剛體FAx體系上體系上,如果力狀態中的力如果力狀態中的力系滿足平衡條件系滿足平衡條件,位移狀態位移狀態F虛功原理虛功原理 Ay中的剛體位移與幾何約束中的剛體位移與幾何約束相容相容,則作用于剛體系的所則作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。有外力所做虛功之和為零。 P FP B FB三、虛功原理的兩種應用三、虛功原理的兩種應用 1）虛功原理用于）虛功原理用于虛設的虛設的協調位移狀態協調位移狀態與與實際的實際的平衡力狀態平衡力狀態之間之間-虛位移原理虛位移原理 例例. 求求 A 端的支座反力端的支座反力(Re

11、action at Support)。 直線直線 P P ? ?A B XC ? ?Ca b (a) X (b) 虛設協調的位移狀態虛設協調的位移狀態 待分析平衡的力狀態待分析平衡的力狀態 (c) 解：去掉解：去掉A端約束并代以反力端約束并代以反力 X，構造相應的虛位移狀態，構造相應的虛位移狀態. (1)對靜定結構，這里實際用的是剛體虛位移原理，實質上是對靜定結構，這里實際用的是剛體虛位移原理，實質上是X?P? 0 由外力虛功總和為零，即：由外力虛功總和為零，即： X實際受力狀態的平衡方程實際受力狀態的平衡方程 ? ?MB? ? 0X? ?bP/a將將 ?X/?C?a/b代入得代入得: (2)

12、虛位移與實際力狀態無關虛位移與實際力狀態無關,故可設故可設 ? ?x? ? 1? ?X? 1 ? ?x通常取通常取 C(3)求解時關鍵一步是找出虛位移狀態的位移關系。求解時關鍵一步是找出虛位移狀態的位移關系。 單位位移法單位位移法(Unit-Displacement Method) (4)用幾何法來解靜力平衡問題用幾何法來解靜力平衡問題 例題例題9-1 用單位位移法求圖用單位位移法求圖a所示多跨靜定梁的支座反所示多跨靜定梁的支座反力力FBy和截面和截面E處的彎矩處的彎矩ME。 解：（解：（1）求支座反力）求支座反力FBy 13?1? ?,?2? ?24虛功方程：X?1+FP1?1+FP2?2=

13、0（2）求截面）求截面E處的彎矩處的彎矩ME 13X? ?FP1?1?FP2?2?FP?2FP?2FP24a?1? ?a,?2?2虛功方程：X?1+FP1?1+FP2?2=0aX? ?FP1?1?FP2?2?FPa?2FP?02 2）虛功原理用于）虛功原理用于虛設的虛設的平衡力狀態平衡力狀態與與實際的實際的協協調位移狀態調位移狀態之間之間-虛力原理虛力原理 例例. 求求 A 端支座發生豎向位移端支座發生豎向位移 c 時引起時引起C點的豎向位移點的豎向位移 ? ?. A?1 c B C A B C ? ?A b C?a Y(1)所建立的所建立的虛功方程虛功方程, 實質上是實質上是幾何方程幾何方程

14、。 解：首先構造出相應的虛設力狀態。即，在擬求位移之解：首先構造出相應的虛設力狀態。即，在擬求位移之(2)虛設的力狀態與實虛設的力狀態與實 點（點（C點）沿擬求位移方向（豎向）設置點）沿擬求位移方向（豎向）設置單位荷載單位荷載。 際位移狀態無關，故際位移狀態無關，故 由由 ? MB? 0求得：求得： YA? ? ? ?b/a可設單位廣義力可設單位廣義力 P=1 1? ?YA?c?0(3)求解時關鍵一步是求解時關鍵一步是 虛功方程為：虛功方程為： 找出虛力狀態的靜力找出虛力狀態的靜力 解得：解得： ? ?b?c/a平衡關系。平衡關系。 這是這是虛單位荷載法虛單位荷載法 (Dummy-Unit L

15、oad Method) (4)是用靜力平衡法來是用靜力平衡法來 它是它是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874提出，故也稱為提出，故也稱為 解幾何問題。解幾何問題。 Maxwell-Mohr Method A單位位移法單位位移法的虛功方程的虛功方程 平衡方程平衡方程 單位荷載法單位荷載法的虛功方程的虛功方程 幾何方程幾何方程 第一種應用一些文獻稱為第一種應用一些文獻稱為 “虛位移原理虛位移原理”， 而將第二種應用稱為而將第二種應用稱為 “虛力原理虛力原理”。更確切的。更確切的 說法為，說法為，兩種應用的依據是上述兩原理的必要兩種應用的依據是上述兩原理的必要 性命題性命題。上述兩原

16、理都是充分、必要性命題，。上述兩原理都是充分、必要性命題， 它們和虛功原理是有區別的它們和虛功原理是有區別的 。 虛位移原理虛位移原理:一個力系平衡的充分必要條件是一個力系平衡的充分必要條件是:對對 任意協調位移任意協調位移,虛功方程成立虛功方程成立. 虛力原理虛力原理:一個位移是協調的充分必要條件是一個位移是協調的充分必要條件是:對對 任意平衡力系任意平衡力系,虛功方程成立虛功方程成立”。 9.3 變形體的虛功原理變形體的虛功原理 微段上虛應變能為： dV?FN1?2dx?FQ1?2dx?M1?2dx?FN1du2?FQ1dv2?M1d?2微段虛應變能沿桿長進行積分，然后對結構所有桿件求和可

17、得，結構體系虛應變能為： V?FN1?2dx?FQ1?2dx?M1?2dx? ?FN1du2? ?FQ1dv2? ?M1d?29.3 變形體的虛功原理變形體的虛功原理 原理的表述：原理的表述： 同時該變形體系在其他原因產生符合約束條件的同時該變形體系在其他原因產生符合約束條件的 微小連續變形（位移狀態），則力狀態的外力在微小連續變形（位移狀態），則力狀態的外力在 設變形體系在力系作用下保持平衡（力狀態）設變形體系在力系作用下保持平衡（力狀態）位移狀態的位移上所做的虛功位移狀態的位移上所做的虛功We，恒等于，恒等于力狀態力狀態 的內力的內力在位移狀態的相應變形上所做的虛功，在位移狀態的相應變形上

18、所做的虛功， 即虛應變能。即虛應變能。 外力虛功外力虛功W = =虛應變能虛應變能V V 9.3 變形體的虛功原理變形體的虛功原理 對于桿件結構，虛功原理表達式為：對于桿件結構，虛功原理表達式為： W?V? ?FN1?2dx? ?FQ1?2dx? ?M1?2dx? ?FN1du2? ?FQ1dv2? ?M1d?2W?1? ?R1c1?R2c2? ? ?RcV? ?FNdu? ?FQdv? ?Md?lW?Vlll? ?Rc? ?FNdu? ?FQdv? ?Md?ll? ? ?FNdu? ?FQdv? ?Md?Rclll9-3 9-3 位移計算的一般公式位移計算的一般公式 單位荷載法單位荷載法 單

19、位荷載法：單位荷載法： 在虛擬的力狀態中，于所求位移點在虛擬的力狀態中，于所求位移點沿所求位移方向施加一個單位荷載，以沿所求位移方向施加一個單位荷載，以使荷載虛功恰好等于所求位移的計算位使荷載虛功恰好等于所求位移的計算位移方法。移方法。 位移為廣義位移，力是與廣義位移對位移為廣義位移，力是與廣義位移對應的廣義力。應的廣義力。 9-3 9-3 位移計算的一般公式位移計算的一般公式 單位荷載法單位荷載法 說明：說明： 荷載指向可任意，如果計算結果為正，荷載指向可任意，如果計算結果為正，位移和單位荷載方向相同，反之相反。位移和單位荷載方向相同，反之相反。 如何設置虛擬狀態：如何設置虛擬狀態： P=1

20、 D M=1 D C P=1 P=1 D 求yD求?D求 ?DC?D?C求求A、B兩點沿連線兩點沿連線方向的相對線位移方向的相對線位移 求求K截面的轉角截面的轉角 求桁架中某一桿件求桁架中某一桿件的角位移的角位移 求兩個截面的相對求兩個截面的相對角位移角位移 求桁架中兩個兩個求桁架中兩個兩個桿件的相對角位移桿件的相對角位移 9-4 9-4 荷載作用下的位移計算荷載作用下的位移計算 線彈性結構線彈性結構結構的位移與荷載成正比結構的位移與荷載成正比 9-4 9-4 荷載作用下的位移計算荷載作用下的位移計算 若若M MP P、N NP P、Q QP P表示實際狀態中微段上的內力。表示實際狀態中微段上

21、的內力。由材料力學知：由材料力學知： 9-4 9-4 荷載作用下的位移計算荷載作用下的位移計算 其中：其中： E E材料彈性模量材料彈性模量 I I 桿件截面的慣性矩桿件截面的慣性矩 A A桿件截面的面積桿件截面的面積 G G剪切彈性模量剪切彈性模量 K K剪應力沿截面分布不均勻引起的改正剪應力沿截面分布不均勻引起的改正系數系數 矩形：矩形： 圓：圓： 9-4 9-4 荷載作用下的位荷載作用下的位移計算移計算 平面桿系結構在荷載作用下的位移計算平面桿系結構在荷載作用下的位移計算公式。公式。 式中M、FN、FQ代表虛擬力狀態中由于單位荷載產生的內力式中M、FNP、FQP代表結構實際狀態的內力9-4 9-4 荷載作用下的位移計算荷載作用下的位移計算 說明：說明： 1.1.逐段、逐桿積分。逐段、逐桿積分。 2.2.精確于直桿、曲桿不精確。如其曲率不大（截精確于直桿、曲桿不精確。如其曲率不大（截面高面高R R），可得較精確的解。），可得較精確的解。 3.3.對以受彎為主的結構（梁、剛架）：對以受彎為主的結構（梁、剛架）： 對只有軸力的結構（桁架）：對只有軸力的結構（桁架）： MMPdxFNFNPl?組合結構則應分別對待。組合結構則應分別對待。 ?P? ?EIEA內力的正負號規定如下：內力的正負號規定如下： FNP,FN軸力軸力 以拉力為正；以拉力為正；