1、第一課時幾個常用函數的導數和基本初等函數的導數公式預習課本P12 14，思考并完成下列問題(1) 函數 y c，y x， yx 1，y x2， y x的導數分別是什么？能否得出y xn 的導數公式？(2) 正余弦函數的導數公式、指數函數、對數函數的導數公式是什么？ 新知初探 1幾種常用函數的導數函數導數f ( x) c( c 為常數 )f (x) 0f ( x) xf (x) 1f(x) x2f( )2xx11f ( x) xf (x) x2f ( x) x() 1fxx2 點睛 對幾種常用函數的導數的兩點說明(1) 以上幾個常用函數的導數是求解其他函數的導數的基礎，都是通過導數的定義求得的，

2、都屬于冪函數的導數(2) 以上幾個常見的導數公式需記牢，在求導數時，可直接應用，不必再用定義去求導2基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x) (c為常數 )()0cfx*f 1f ( x) x( Q)(x) x原函數導函數f(x) sinxf( ) cos_xxf ( x) cos xf (x) sin_ xf(x) x(a>0 且 1)f( ) xln_aaaxa1/10f(xxfx) e( ) exa且 a1)()1f ( x) logx( a>0fxxln a() ln1fxxf (x) x 小試身手 1判斷 ( 正確的打“”，錯誤的打“×”)1(1) 若 y2，

3、則 y 2×21.()(2) 若f( ) sinx，則f() cosx ()xx(3)f(x) 1，則f()3.()x3xx4答案： (1) × (2) ×(3) 2下列結論不正確的是()B若 y5x，則 y 5A若 y 0，則 y 011 1 12D若 y x2，則 y 2x2C若 yx，則 y x答案： D23若 y cos3 ，則 y ()13B 2A 21D. 2C 0答案： C4 函數 y11x在點 4， 2處切線的傾斜角為 ()B. 4A. 63D.4C. 3答案： B利用導數公式求函數導數2/10 典例 求下列函數的導數(1) yx12；(2) y

4、1 ； (3) y 5 x3； (4) y 3x； x4(5) ylog 5x. 解 (1) y ( x12) 12x11 .(2) y 1 ( x4) 4x 5 4 .x4x5533(3) y (x3) ( x5) 5x .(4) y (3 x ) 3x ln 3.1(5) y (log 5x) xln 5 .求簡單函數的導函數有兩種基本方法(1) 用導數的定義求導，但運算比較繁雜；(2) 用導數公式求導，可以簡化運算過程、降低運算難度解題時根據所給問題的特征，將題中函數的結構進行調整，再選擇合適的求導公式 活學活用 求下列函數的導數：(1)ylgx； (2)y1x； (3)y xx； (4

5、) y log 1x.23ln x1解： (1) y (lgx) ln 10 xln 10 .(2)y1x 1xln11xln 2.22223313(3)y ( xx) ( x2) 2x2 2x.(4)y log1x11.3xln 31xln 3利用導數公式求切線方程1 典例 已知曲線y x.(1) 求曲線在點 P(1,1) 處的切線方程；(2) 求曲線過點 Q(1,0) 處的切線方程3/1011 解 y x， y x2.1(1) 顯然 P(1,1) 是曲線上的點，所以P 為切點，所求切線斜率為函數y x在點 P(1,1)的導數，即 k f (1) 1.所以曲線在(1,1)處的切線方程為y1

6、(x 1) ，即為yx 2.P(2) 顯然 Q(1,0) 不在曲線 y 1上， x則可設過該點的切線的切點為A1a，a1那么該切線斜率為k f (a) a2.則切線方程為 11(x )yaa2a1 1將 Q(1,0) 代入方程： 0 a a2(1 a) 1將得 a 2，代入方程整理可得切線方程為y 4x 4.利用導數的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1) 若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導數(2) 如果已知點不是切點，則應先設出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解 活學活用 當常數 k 為何值時，直線y x 與曲 線 y x2k 相切？請求出切點2x0 1，解：設切點為A(

7、x0， x20 k) y 2x，x20 k x0 ，1x02，121故當 k 4時，直線y x 與曲線y x k 相切，且切點坐標為k4，1 1， .2 2導數的簡單綜合應用 典例 (1) 質點的運動方程是S sint ，則質點在t 3 時的速度為 _；質點運動的加速度為_4/10(2) 已知兩條曲線 y sin x， y cos x，是否存在這兩條曲線的一個公共點，使在這一點處，兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由 解析 (1) v( t ) S(t ) cos t ，1 v 3 cos 3 2.1即質點在 t 時的速度為 .32 v( t ) cos t ，加速度 a( t ) v(t )

8、(cos t ) sin t .1 sin t答案： 2(2) 解：由于 y sin x， y cos x，設這兩條曲線的一個公共點為P( x0， y0) 兩條曲線在 P( x ，y ) 處的斜率分別為kcosx ， k sin x .001020若使兩條切線互相垂直，必須cos x0·( sinx0) 1，即 sin x0·cos x01，也就是 sin 2 x0 2，這是不可能的 兩條曲線不存在公共點，使在這一點處的兩條切線互相垂直導數的綜合應用的解題技巧(1) 導數的幾何意義為導數和解析幾何的溝通搭建了橋梁，很多綜合問題我們可以數形結合，巧妙利用導數的幾何意義，即切線

9、的斜率建立相應的未知參數的方程來解決，往往這是解決問題的關鍵所在(2) 導數作為重要的解題工具，常與函數、數列、解析幾何、不等式等知識結合出現綜合大題遇到解決一些與距離、面積相關的最值、不等式恒成立等問題可以結合導數的幾何意義分析 活學活用 2曲線 y x3在點 (1,1)處的切線與 x 軸、直線 x2所圍成的三角形的面積為()58254A. 3B. 9C. 12D. 12解析：選 C可求得 y 2x1，即 y|x 1 2，切線方程為 2x 3y 10，與 x 軸333的交點坐標為1的交點坐標為5，圍成三角形面積為1×21×5 ， 0 ，與 x 22，223232512.5

10、/10層級一學業水平達標1已知函數 f ( x) x3 的切線的斜率等于3，則切線有 ()B2 條A1 條D不確定C3 條解析：選 B f (x) 3x2 3，解得 x±1.切點有兩個，即可得切線有2 條x在點 A(0,1) 處的切線斜率為 ()2曲線 y eB 2A 11D. eC e解析：選 A由條件得x0y e ，根據導數的幾何意義，可得k y| 0 e 1.x3已知f(x) 35f(2 2) ()，則x3B 5x32A 10D 10C 5232解析：選 D f(x) 5x3， f (22 ) 5×22×3 10，故選 D.4已知 f ( x) x，若 f

11、( 1) 2，則 的值等于 ()B 2A 2D 3C 3解析：選 A若 2，則f(x) x2， ()2x，fxf ( 1) 2×( 1) 2適合條件故應選A.5. 曲線 y 31x3 在 x 1處切線的傾斜角為 ()B 4A 15C.D.44解析：選 C y x2， y|x1 1， 切線的傾斜角 滿足 tan 1， 0< ， .46 曲 線 y lnx 在 點 M(e,1)處的切線的斜率是_，切線方程為_ 11解析： y (lnx) x， y|x ee.6/101 切線方程為 y1 e( xe) ，即 x ey 0.1x ey 0答案： e7已知 f ( x) a2( a 為常

12、數 ) ， g( x) lnx，若 2x f ( x) 1 g(x) 1，則 x_.解析：因為f( )0， ( ) 1，xgxx1所以 2x f ( x) 1 g(x) 2x 1.x1解得 x1 或 x 2，因為 x 0，所以 x 1.答案： 18設坐標平面上的拋物線 C： yx2，過第一象限的點( a， a2) 作拋物線 C的切線 l ，則直線 l與 y 軸的交點 Q的坐標為 _解析：顯然點 ( a， a2) 為拋物線 C： y x2 上的點， y 2x， 直線 l的方程為 y a2 2 (a) a x令 x0，得 y a2， 直線 l 與 y 軸的交點的坐標為 (0 ， a2) 答案： (

13、0 ， a2)9求下列函數的導數：(1) y x8； (2) y 4x； (3) y log 3x；(4) y sin； (5) y e2 .x 2解： (1) y ( x8) 8x8 1 8x7 .(2) y (4 x ) 4x ln 4.1(3)y (log 3x) xln 3 .(4) y (cosx) sin x.(5)2y (e ) 0.10已知 ( 1,1)， (2,4)是曲線y2 上的兩點，PQx(1) 求過點 P， Q的曲線 y x2 的切線方程(2) 求與直線 PQ平行的曲線 y x2 的切線方程解： (1) 因為 y 2x， P( 1,1) ， Q(2 ,4) 都是曲線 y

14、x2 上的點過 P 點的切線的斜率 k1 y|x 1 2，過 Q點的切線的斜率 k2 y|x2 4，過 P 點的切線方程： y 1 2( x 1) ，即 2xy 1 0.7/10過 Q點的切線方程：y 4 4( x 2) ，即 4xy 4 0.4 1(2) 因為 y 2x，直線 PQ的斜率 k2 1 1，切線的斜率 k y|x x0 2x0 1，111所以 x02，所以切 點 M 2， 4 ，與 PQ平行的切線方程為：11y 4 x2，即 4x 4y 1 0.層級二應試能力達標51質點沿直線運動的路程s 與時間t 的關系是st ，則質點在t 4 時的速度為()B.1A.1551022323D.

15、1 5C.2 5102323514解析：選 Bs 5t 5. 當 t 4 時，111.s ·5510544231x( x0) 的一條切線，則實數b 的值為 ()2 直線 y x b 是曲線 yln2B ln 2 1A 2Dln 2Cln 2 11解析：選C y lnx 的導數 y x，11 令 ，得 x 2， 切點為 (2 ，ln 2)x21代入直線 y 2xb，得 bln 2 1.133在曲線 f ( x) x上切線的傾斜角為 4 的點的坐標為 ()B( 1， 1)A (1,1)D (1,1)或( 1， 1)C( 1,1)113解析：選 D因為 f ( x) x，所以f (x) x

16、2，因為切線的傾斜角為4 ，所以切線8/10斜率為 1，1即 f (x) x2 1，所以 x ±1，則當 x 1 時， f (1) 1；當 x 1 時， f (1) 1，則點坐標為(1,1)或(1，1)n 1(*處的切線與 x軸的交點的橫坐標為xn ，則4 設曲 線 y xn N ) 在點 (1,1)x 1· x2·· xn 的值為 ()11B. n 1A. nnD 1C. n 1解析：選 B 對 yxn 1*n令 x 1，得在點 (1,1)處的切( nN ) 求導得y ( n1) x .線的斜率 kn 1， 在點 (1,1 ) 處的切線方程為y 1 (

17、 n 1)(xn 1) 令 y 0，得 xnn ， x1·x2·· xn 1× 2× 3×× n 1×n 1，故選B.n123 4nn 1n15與直線 2x y 4 0 平行且與曲線y lnx 相切的直線方程是_解析：直線2x y 40 的斜率為 k 2，111又 y (lnx) x， x 2，解得 x 2.1 切點的坐標為2， ln 2 .故切線方程為 y ln 2 2x 12 .即 2x y 1ln 2 0.答案： 2x y 1 ln 2 06若曲線 yx在點 P( a，a) 處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面

18、積為2，則實數 a 的值是 _ 11a解析： y 2x， 切線方程為 y a2 a(x a) ，令 x 0，得 y 2 ，令 y0，得x1a ，由題意知 ·· 2， 4.a22aa答案： 47已知曲線方程為y f ( x) x2，求過點 B(3,5) 且與曲線相切的直線方程解：設切點P的坐標為 ( x0， x02) y x2， y 2x， k f (x0) 2x0， 切線方程為 y x02 2x0( x x0) 9/10將點 B(3,5)代入上式，得5 x02 2x0(3 x0) ，即 x026x0 5 0， ( x0 1)( x0 5) 0， x01 或 x0 5，切點坐標為 (1,1)或(5,25)，故所求切線方程為1