1、定比分點和定比的對應性質定比分點和定比楊孚時王紹榮-絹通常定義下的分析氏和圖桑定比分點通常的定可表述為$在某一軸上有巳知不重合的兩點M】和Me,設點M 環同.軻且一通常定義下的分析式和圖 象定比分點通常的定義可表述為:在某一軸上有已知不重合的兩點:和:，設點M在同一軸上且有MMi A,則稱點M為分有向麵麗鬲為定比X的分點（圖1兒 則稱 為M研究定比艸!而石 點為;分有向線段麗龍定比為了研究定對比性質點M和觀執入們給岀分析式，并作出圖象.取已知軸為嬉軸汀設點示分別加心凡可圖（圖凸:加/地定乂仆標分別（Xi和令1（）圖2）,那末據定義有 由此可見廣瀝M的銭一一一 X' （ X-今X :）

2、由此可見入是紋的線-Q - 一 I 性X分式函數它的定義域為反解出X得反函數入 X1： x ik in « 入二，丁一 丁一氣一一 -.i寧八 這就是通常的定游分點的坐標公牡】它表明X也是入的線性分式函數£定義域為X"誠為 入!入R, 入每二 if.血的職在我們作函數的圖象。取f嚶坐標系簾肌久,A.廳后作平鑼換魏廠浴X事+1.1、=、x 匸 1*則在新坐標系X 矛 O'久戶中，函數的分析式成為則在新坐標系中，函數的分析式成為IQ94-2015 China Acadetni Journal Electronic Piiblisking Hdllsc. All

3、 rights reLrrved. l)Lip：/kiJneir= XrX" （希&廠這表明，L是爐 的反比開和B入器=，:i 象是等邊雙曲線.當這表明，入綁'x靭 的反比例函數* .、它的圖 紂等邊雙曲線當備,：時，一 象在新 坐標系中的第二、四象-；當d <x丫時宀神器二忿了芝二月我們畫出x廳 一于八 雙稼時的圖象如圖3.（X :今 X :）從比毆吃仆所式和圖黛叩】!俟比定主i要;性質龍甲L；匚從函數的分析式和 圖象可以看出，定比分點M和定比入之間的對應關系有下列主要性質1 一一對應關系心:.X與除了有向線段麗丁下幾的終點忙以外，等軸上任意一點M打都有唯一誰

4、定的一嚕定比定的 3入與之相對應：反之h 對于任意一個不等于一 1的實數入，在軸上 都有一個唯一確定的分點M '以2入單調性和凸凹性紡單調性和凸凹性上-:除了終點M :以外,當分點M向軸 的正 向移動時 定 比久總是單調增加（X : > X :時廠 轟調減少雷X：計Y入一右；二卜的符號恒正或恒負卩而且,在終點m葛兩側，x對x的變化率的粧性相反（、- 習一T ）在點 而且 在終點M 兩側 人瀏人瀏義怕平則渭口武寸日V廠一 r y _ Y ' 8在點仕仄“'、-2 “'滬2L的兩佩異號，即函數在點兩側的凸凹性相反X3起點.終點和中點起點M】的定比為0。終點M不

5、能作為定比分點的一個點，它是雨數的無窮間斷點，或者說，與 煽號終點和在札M反兩側的凸凹性相反丄3起的定比分點,它是反函數的無窮間入土 0。斷點，.丁的兩側異吁氏起點酬的定比為礎-1止;1戚負向紋無宜.也魚終點-m孑是唯一不能作為定比分點的一個點.它是函數的無窮間斷點.或者說與它對應的定比 反之，沒有與入二一對應的定比分點，它是反函數的無窮間:蘭者說：它對應于軸上正向或負向的無窮遠點.毆牝的中點.的;定比為敢內分占和外分占定比分點內分易和外分點時，對應的定比為負值，且噸在終點外側時，有F U中點與終點.定.比分點旳內分 M科巧對應的定比為正值，且M在起點與中點之間時，有0 入 1' M定

6、比分點M外分有諺礦、外側時，有一 1 久 0。以上主要性質- 刁-值，且M在終點外側時，有一 0 入 一 1多M在起點、 一J4i可以簡單地表示如圖4 /:二 .：_ -TOO 1Jl。才一夕 刁亠中氣困 4l問.X 一 X：- -. A t M-彳:附帶指'出從圖豪可I以看到丿;"L與有向線段MM ： '-M卅的兩半相對應的定比入的數值范圍'P 不是等長的（同樣：與在起點外側和，終點外側的兩:射線相-對應的定比.:入的數值范圍也不是等長的（眾聽周知在不等長的 區間之間， 可以建立一一對應關系）。.一三 對定義的修改M.MX 一 Xi-前面,我們從定義“畝證-

7、導出線性分式函數山"Xt茅，（XUXJ）, 麗 阮 洲JI從足義人 一麗曬廠導出線汪分式團數人yx z 一 X（ X :今X ）然后通過平移變換又得到反比例販數丫園數十二一文一（ &1:=今廳）?，F在我們希望改變定比分點的定義曜得線性分式函數有較簡單的形式并且再通璇一個較簡需 的平移變換而得到反比例函數式訂我們這樣霜變定卷義:把入沽改為這時分析式成為X :一 X -這時分析式成為慕一必，-今_x：j。它的分子X :一 X :是一個常量， 因而和 前面的分析式'入= X一相比，石二工相比，較為簡單。其反暢子即定一矗點的坐標公式是因而和前面的分析式入反函數，即定t匕分點的

8、坐插公式是較為簡單- 其w, 1994-2015 China Academic Journal Electronic PublishingH并設AG的坐標為気RJX:-a,就有這電比邀常的定比分點坐標公式X=-氣韋半-為鼠 很容易看出，只要把坐標風點取在起XI 1?：x x ：入0這也比通常的定比分）點坐標公式X 萬品衛鐘省八 A 一丁 不下很容易看出,只要把坐 標原點取在起點M ；'=V（斧-O幾并設M :的坐標為卜帳協Lesl"即X:就有這就是我們所希望的 a 我入 你:今0眄的 反比例函數式就是我們所希望的 5.我們畫岀熟 o時的 圖象等邊雙曲線如圖代I;L-11ew

9、日' we 一 j正一悶05圖j定比分點定艾的這種改變，井沒有改變前述定岀分點和定比對應關累的各種性爾，定比分點定義的這種改變 并沒有改變前述定比分點和定比對應關1系的各種性質* 只算過這些性:質的表述形式應該有所改變罷了ii讀者不難自己加以改變而且將會注意到起;點唏輛I 了最關鍵的一個點i:因而許多性質的表述形式變得 更為簡單 與圖4相對應,我們畫出圖6。戶產產尸一閱！ r閃'/'六 ；宀之二烤；1 月一KInJ - - . ” . : 、 一!| T I 岡,中價呱戶二5國1994-2015 China Academic Journitiic Publisliinu

10、 House. All rights reservedhup四庶它性）8由于對定比分點定義的這樣改變，我們能夠比較容易地看出，定岀分點和定比的對 應關系述有如下兩個性康：'其它性質由于&定比分點定義的這樣改變我們能夠比較容易地看出3定比分點和定罄的對應關系還有如下 兩個性質：汕反比逼近關系迄血定比分點按其坐標X璽自然數斂數列謐fWJ或贈例）趨向于無窮遠處時對應的定比入則按自然數的倒數獅。、.告越或一告卜1趨向于零.A不:,萬否子趁比分點按其坐標X取自然數的倒數的倍數數例4告卜（或， 告 a卜）趨1r向于起點M髓比對應的定蟬入則按自然數數列考備辛或考或書卜）1趨向于 + b） 或

11、一1 ill趨向于X:）趨向于于1O點瞥）當定比分點按其坐標麴數列飛再告）a或一勃趨'、了 M ”2 應的分害比冊定比1 一下云nil +二獷）通常所說楠金分割指的姥內分.現在擲口考慮的耀分輛戕段，因而可以把黃.2.；，黃金分割點的定 比通常所說的黃金分割指的是內分?，F在我們考慮的是分割有向線段因而可以把黃金分廣到外分'V " '.設有向線段麗壓I：的黃金分割點的坐標為一 X _皿|銜2 由中外比M1 翻 M1一 M M : 一 M : MX a、一芮*a 一 XXX爭爐齡珍解Q,得黃金分割點的坐薩,1鉀寧繽1+/百（內分點）,尋韶不_-:X:貳、 一 :0

12、1?！钡腻脖葹椋ǚ?點）-對應的疋比為匸旦=a廠斜億了嚴a 1入=二-二 _ 一。了宮 ，一 入:一 1 a 斌言 1 2島一 0 6 1 82 2 '-入從 入；和入：的這兩個數值看岀汝寸應的定比 也有黃金分割的性質.事實上卅如果把3 一畏代入.事實匕如杲把X瀉代入1994-20 15 China Academic Journal Ekctronic Publishing Hullsc. All rigits rcsLrrvcd. hLip:/www,unki.nci可得V- X- I -0.這個方程的么+aS是az O肌=匸學總対扛61亂入 2 一入一 1 二 0。.£

13、I#百：這個方程的根正是-我生土匕劉旦、16 15.把兩個方程0和舁1 X- I年0相比較,相當于取*一 1.因而，捋克向一斌萬f幻一 0 （戟績說有向區間（0,叮）的黃金分割點0.618a和 一械弊轉無一“比薊 制加一向一1 一06相比較|腎當于取0巴一 1館和一。嚴樂巴如棄；萬莪知缽外比咬爰%向 陽（o，、a）的 又。黃金分割點06 18“和因 而與有向線段下盯麗丁 （或南胡說有問區'。：相我應們巴中外入數變上有向區吸O櫟我 M程M為M M：麗麗 丁萬-A-3一蘆下初'那未相應的兩個方程將是aX -護瓜孩入一°i =0. 入戸E “ 0 .比較之勺相當于取貧：分別

14、解出兩個方程的根心得S：個黃金分割點（外分點）*X玉么一呈墊2 J a 2 . 6lsa ，（外分點），二弓"丫技sQ“382h,（內分點）'衛二匕旦a 創3 s Z a ,和對應的兩個黃金分割值和對應的兩個黃金分割值"'八 0JQ 8'1 自 °8-52我們什硏*“鮎3 8 2 “比是我們有同樣的結論:仁 傷有向線段麗二麗石的黃金分割點2和（互的是入數軸上有向區嘖金分割點鮒黃金分割值是嚴逹分割值.簡而言么越點的 那采嫉云拯雨兩不性質，：定比分點也是成立的上況牙，永遢也櫓不到珍賺復雜些可得* 一 6 1 8和一 0 6 1 樂*1一 1 ）的黃金分割值1-（