1、區間估計和假設檢驗 利用樣本的信息對總體的特征進行統計推斷。通常包括兩方面：一類是進行估計，包括參數估計、分布函數的估計以及密度函數的估計等； 另一類是進行檢驗。主要介紹利用Minitab對正態總體參數進行區間估計和假設檢驗，其次再來介紹對觀測數據的正態性進行檢驗，最后介紹一些常用的非參數檢驗方法 本章目錄本章目錄Minitab 假設檢驗是從樣本特征出發去判斷關于總體分布的某種“看法”是否成立。 一般步驟為 :（1）根據問題提出一個原假設H0和備擇假設H1（2）構造一個統計量T，其抽樣分布不依賴任何參數（3）計算概率值 （4）判斷：若 ，則拒絕原假設H0，否則接受H1。p)| ),.,(021

2、HxxxTTPpn超過統計量本章目錄本章目錄Minitab 單正態總體的參數的假設檢驗條件 10: HH 檢驗統計量 拒絕 H0 00: ),.,(21nxxxUUPp 00: |),.,(|21nxxxUUPp 2已知 00: nXU0 ),.,(21nxxxUUPp 00: ),.,(211nnxxxttPp 00: |),.,(|211nnxxxttPp 2未知 00: nsXt0 ),.,(211nnxxxttPp 本章目錄本章目錄Minitab 單正態總體的參數的假設檢驗條件 10:HH 檢 驗 統 計 量 拒 絕H0 022022: ),.,(21212nnxxxPp 022022

3、: 221212221212),.,(),.,(nnnnxxxPpxxxPp或 未知 022022: 0222) 1(sn ),.,(21212nnxxxPp 本章目錄本章目錄Minitab 兩正態總體的參數的假設檢驗條 件 10:HH 檢 驗 統 計 量 拒 絕H0 2121: ),.,;,.,(2111nnyyxxUUPp 2121: |),.,;,.,(| |2111nnyyxxUUPp 12 22 已 知 2121: 222112nnYXU ),.,;,.,(2111nnyyxxUUPp 本章目錄本章目錄Minitab 兩正態總體的參數的假設檢驗條件 10:HH 檢驗統計量 拒絕H0

4、2121: ),.,;,.,(2121112nnnnyyxxttPp 2121: |),.,;,.,(| |2121112nnnnyyxxttPp 1222 未知但 相等 2121: 2111nnSYXtw ),.,;,.,(2121112nnnnyyxxttPp 本章目錄本章目錄Minitab其中2) 1() 1(212221nnsnsnSyxw，) 1() 1()(222212122212nnsnnsnsnslyxyx 兩正態總體的參數的假設檢驗條 件 10:HH 檢 驗 統 計 量 拒 絕H0 2121: ),.,;,.,(2111*nnlyyxxttPp 2121: |),.,;,.,

5、(| |2111*nnlyyxxttPp 1222 未知且 不 相 等 2121: 2212*nsnsYXtyx ),.,;,.,(2111*nnlyyxxttPp 本章目錄本章目錄Minitab 兩正態總體的參數的假設檢驗條件 10: HH 檢驗統計量 拒絕 H0 22122212: ),.,;,.,(2121111, 1nnnnyyxxFFPp 22122212: 2111, 1),.,;,.,(2121nnnnyyxxFFPp或 2111, 1),.,;,.,(2121nnnnyyxxFFPp 1 2 未知 22122212: yxssF22 ),.,;,.,(2121111, 1nnn

6、nyyxxFFPp 本章目錄本章目錄MinitabnuX/2nuX/22nstXn/)(21nstXn/)(2122)()(2212nniiX)1 ()(2212nniiX)()1(2122nsn)1 ()1(2122nsn 待估參數置信下限置信上限備注單個子樣已知未知已知未知本章目錄本章目錄Minitab 參數的置信區間 212221122)(nnuXY2221122)(nnuXY2212,212121222122/ ) 2()() 1()()(21nnnnnnsnsntXYyxnn212121222122/ ) 2()() 1()()(21nnnnnnsnsntXYyxnn2212,221

7、2)(21, 12221 nnyxFss)1 (21, 12221 nnyxFss2212, 待估參數置信下限置信上限 備注兩個子樣 已知 未知 未知本章目錄本章目錄Minitab- 顯著性水平 : 犯第一種錯誤的最大概率 - P-Value : 觀察值大于計算值的概率 - 拒絕域 : 駁回原假設的區域 - 兩側檢驗 : 拒絕域存在于兩端的檢驗- 單側檢驗 : 拒絕域存在于分布一端時的檢驗 MinitabMinitab Minitab 的假設檢驗知道標準偏差時的總體平均數估計和檢驗 檢驗總體均值是否與已知的相等Variables : 選定要分析的 列變量Confidence interval

8、:指定計算置信度Test mean : 檢驗對象值(檢驗時指定)Alternative : 設定備擇假設Sigma : 輸入標準偏差p 值比顯著性水平小時駁回原假設mu : 原假設, mu not : 對立（備擇）假設結果解釋結果解釋 : p值比留意水準小 故駁回歸屬假設, 即母平均不等于5。Test mean 指定的情況Minitab1-Sample Z1-Sample ZEXH_STAT.MTWOne-Sample Z: ValuesTest of mu = 5 vs mu not = 5The assumed sigma = 0.2Variable N Mean StDev SE Mea

9、nValues 9 4.7889 0.2472 0.0667Variable 95.0% CI Z PValues ( 4.6582, 4.9196) -3.17 0.002結果解釋結果解釋 : 置信區間為最小 4.6582, 最大4.9196(置信度為 95%時) 圖像對 Test 與 Confidence interval 的輸出 Test Minitab1-Sample Z1-Sample Z 營養學家選擇隨機的 13 瓶食用油樣本，以確定飽和脂肪的平均百分比是否不同于宣傳的 15%。以前的研究表明，總體標準差為 2.6% 數據： 食用油.MTW Minitab不知標準偏差時總體均值的估

10、計和檢驗Variables : 指定要分析的 列變量 Confidence interval : 指定計算置信區間的置信度Test mean :指定檢驗時對象值 Alternative : 設定對立假設StDev : 標準偏差SE Mean : 平均誤差CI : 信賴區間mu : 原假設, mu not : 對立假設P值比顯著性水平小時駁回Ho，即p值指脫離的概率。結果解釋結果解釋 : p值小于5%， 故駁回原假設, 即平均不等于5Test mean 指定的情況Minitab1-Sample t1-Sample tEXH_STAT.MTW 對隨機選擇的 15 個美國高收入家庭的能量消費進行了度

11、量，以確定平均消費是否不同于發布值 $1080。 數據： 能源.MTW Minitab不知標準偏差時兩個總體平均差的估計和檢驗Samples in one column(stack形態) : 在1列中比較兩個 樣本Sample in different columns(unstack形態) - First :選擇第一個 Col - Second : 選擇第二個 Col Alternative : 設定對立假設Confidence level :設定置信度Assume equal variance :假設兩個樣本的總體方差一致結果解釋結果解釋 : p值大于 5% ， 故選擇原假設， 即兩個總體平

12、均在95% 置信區間無差異Minitab2-Sample t2-Sample tTwo-Sample T-Test and CI: BTU.In, DamperTwo-sample T for BTU.InDamper N Mean StDev SE Mean1 40 9.91 3.02 0.482 50 10.14 2.77 0.39Difference = mu (1) - mu (2)Estimate for difference: -0.23595% CI for difference: (-1.464, 0.993)T-Test of difference = 0 (vs not =

13、): T-Value = -0.38 P-Value = 0.704 DF = 80Furnace.mtw 一個健康管理機構具有兩個醫院以前的患者的滿意度樣本，并想知道是否對一個醫院的評價高于另一個醫院。該信息將用于查閱患者并為醫院改進提供建議。這兩個樣本的方差非常接近，因此將對該檢驗使用合并標準差。 數據： 醫院滿意度.MTW Minitab非獨立的兩個總體的平均差的估計和檢驗（兩個相關的樣本是否來自具有相同均值的總體，即配對T檢驗）。 First sampleFirst sample : 選擇第一個 data Col Second sampleSecond sample : 選擇第二個 d

14、ata Col - 1 Col 與 2 Col 的資料數應相同Confidence levelConfidence level : 輸入置信度Test meanTest mean : 輸入對應差的檢驗平均值AlternativeAlternative : 設定對立假設結果解釋結果解釋 : : p值小于顯著水平 5%， 故駁回原 假設,即兩個總體平均值間有差異EXH_STAT.MTWMinitabPaired tPaired t 一位生理學家想確定某種類型的賽跑計劃是否對穩定心率有影響。對隨機選擇的 15 個人測量了心率。然后對其實施該賽跑計劃，并在一年后再次測量心率。因此，對每個人前后進行的兩

15、次測量構成一個觀測值對。 數據： 賽跑.MTW Minitab非正非正態總態總體或近似正體或近似正態總態總體體參數參數假假設檢驗設檢驗 單單比率比率檢驗檢驗：似然比檢驗（基于二項分布）、正態近似檢驗 雙雙比率比率檢驗檢驗：Fisher檢驗（基于超幾何分布）、正態近似檢驗（合并參數或不合并參數檢驗統計量） 單單PoissonPoisson率率檢驗檢驗：似然比檢驗（基于Poisson分布）、正態近似檢驗 雙雙PoissonPoisson率率檢驗檢驗：基于二項分布的檢驗、正態近似檢驗（合并參數或不合并參數）Minitab總體（失敗）比例的估計和檢驗Samples in columns :只限兩種文字

16、或者數字Summarized data - Number of trials : 全體試驗次數 - Number of successes : 成功(失敗)次數Confidence level : 置信度Test proportion : 檢定失敗率Alternative :設定對立假設結果解釋結果解釋: :p值比顯著水平 5%小， 故駁回原假設Minitab1-Proportion(1-Proportion(單樣本總體比例的估計和檢驗) )可選用正態近似分布檢驗 直接郵件公司想確定郵寄的廣告是否使響應率與國家平均值 6.5% 不同。隨機選擇 1000 個家庭的樣本，來接收此新產品的廣告。在抽

17、樣的 1000 個家庭中，87 個家庭采購了該產品。研究人員決定使用基于正態分布的檢驗和區間。 Minitab兩個總體比例差異的估計和檢驗Summarized data - Number of trials : 全體試驗次數 - Number of successes : 成功(失敗)次數Confidence level : 置信度Test proportion : 檢驗失敗比例Alternative : 設定對立假設結果解釋結果解釋: :p值比顯著水平5%大，故選 擇原假設，即兩個總體失敗比例無差異Minitab2-Proportion(2-Proportion(兩個樣本總體比例的估計檢驗)

18、 )可選用合并參數檢驗 大學的財政援助辦公室對其大學生進行調查，確定男生還是女生更可能獲得暑假職業。在抽樣的 802 名男生中，725 人在暑假被雇傭，而抽樣的 712 名女生中有 573 人被雇傭。Minitab單樣本 Poisson Poisson 率 Poisson 過程描述某一事件在給定時間、面積、量或其他觀測值空間內的出現次數。 例如，汽車制造商取 50 輛車作為樣本，并對每個車蓋上的擦痕進行計數；客戶服務中心每天接聽的電話數；10 米長導線的缺陷數 單樣本 Poisson 率過程將計算置信區間，并對單樣本 Poisson 模型中的出現率進行假設檢驗。Minitab單樣本Poisso

19、nPoisson率檢驗 在過去的 30 天內，城市公共運輸公司計算了客戶投訴數目。該公司想確定每日投訴率的置信區間。 數據： 故障.MTW Minitab雙樣本 Poisson Poisson 率 雙樣本 Poisson 率過程執行假設檢驗，并計算兩個 Poisson 模型的出現率之間差值的置信區間。Minitab雙樣本PoissonPoisson率 您是郵政服務的分析員，您要對兩個郵局分支機構進行比較，以確定哪個機構的客戶每日到訪率更高。您對 40 個工作日內 (9:00 a.m.5:00 p.m.) 進入每個分支機構的客戶數進行計數，并使用雙樣本 Poisson 率函數比較每個分支機構的客

20、戶到訪數。 數據： 郵局.MTW Minitab單方差 “單方差”命令分析來自總體的單個樣本，并為該總體的標準差和方差計算置信區間。它還以可選的假設檢驗為特征，來確定未知的總體標準差或方差是否等于用戶指定的值。例如，此檢驗在確定方差是否不同于行業標準時很有用。 方法：卡方方法僅適用于正態分布。 Bonett 方法適用于任何連續分布。 Minitab 木材廠的經理要分析鋸木機的性能。設計了一臺鋸木機，以生產剛好為 100 cm 長的梁。經理決定要分析這些長度的方差，以便更好地了解該設備的精度。經理取 50 個梁作為樣本，以厘米為單位測量其長度，并使用單方差檢驗分析此單個總體的方差。 數據： 鋸木

21、機.MTW Minitab雙方差置信區間和檢驗 雙方差置信區間和檢驗過程用于根據兩個獨立的隨機樣本中的數據對兩個總體比率之間的標準差和方差的相等性進行推斷。 Minitab 計算兩個總體方差和標準差之間比率的假設檢驗和置信區間；如果比率為 1，則表明兩個總體相等。 包括方差分析在內的許多統計過程都假定不同總體具有相同的方差 。使用雙方差可以確定相等方差的假設是否有效。MinitabMinitab2Variances(2Variances(兩個總體方差的同一性檢驗) )EXH_STAT.MTW兩個總體的方差的同一性（之比）檢驗234595% Confidence Intervals for Si

22、gmasMat-BMat-A6789101112131415Boxplots of Raw DataF-TestTest Statistic: 0.947P-Value : 0.937Levenes TestTest Statistic: 0.011P-Value : 0.917Factor LevelsMat-AMat-BTest for Equal Variances在做方差的同一性檢驗之前 ， 有必要先做正態性數據檢驗。隨正態分布時F-Test 結果, 不隨正態分布時看Levenes Test 結果再解釋 結果解釋結果解釋: :p值比顯著水平 5%大, 故不能 判斷兩個總體的方差不同。

23、（ 相同 ） 最近的研究對在兩種道路上駕駛的司機進行了比較。每位司機在兩種道路的其中一種上駕駛：一級公路 (1) 和土路 (2)。作為對駕駛性能的測量，測試人員記錄了每位司機在每種道路上所作的控制校正次數。您要測試司機的表現在兩種道路情況下是否均勻變化。 數據： 公路.MTW （在樣本數據文件夾中）Minitab相關系數 Pearson 相關系數度量兩個連續 變量線性相關 的程度。 假設您有糖果的樣本，并且要了解生產設施的溫度是否與巧克力涂層的厚度變化有關。或者，您可能有一個高爾夫球的樣本，并且要確定其直徑差別是否與彈性差別有關。 執行或解釋相關分析時，需要記住以下幾點： 相關系數只度量線性關

24、系。即使相關系數為 0，也會存在有意義的非線性關系。 但根據相關性，不適合推斷出以下結論：一個變量的變化會引起另一個變量的變化。只有正確控制的實驗才能確定關系是否存在因果性。 相關系數對極值非常敏感。數據集中與其他值截然不同的單個值會極大地改變該系數值。Minitab 鋁鑄件工廠需要評估含氫量與鋁合金鑄件的多孔性之間的關系。他們收集鑄件的隨機樣本，并測量每個鑄件的以下屬性： 氫含量 多孔性 強度 數據： 鋁.MTW Minitab協方差 與相關系數 相似，協方差是對兩個連續 變量之間的線性關系 的度量。但不同于關系系數的是，表示協方差的單位隨分析的數據而有所不同。因此，很難使用協方差統計量來評

25、估線性關系的強度。如果這是您的目標，則應改用相關系數。 協方差用在某些統計計算中，并且在確定線性關系的方向時很有用： 如果兩個變量都傾向于同時增加或減小，則系數為正。 如果一個變量在另一個變量減小時傾向于增加，則系數為負。Minitab 在協方差的對角元素上可以找到兩個變量之間的協方差矩陣。對角元素是各變量的方差 。 要注意協方差不隱含因果關系，這一點很重要。只有正確控制的實驗才能確定關系是否存在因果性。Minitab 鋁鑄件工廠需要評估含氫量與鋁合金鑄件的多孔性之間的關系。他們收集鑄件的隨機樣本，并測量每個鑄件的以下屬性： 氫含量 多孔性 強度 數據： 鋁.MTW Minitab正態性檢驗

26、目前，正態性檢驗的方法很多，這里主要介紹常用的分布擬合優度檢驗，W檢驗和偏度峰度檢驗，Q-Q圖檢驗等方法。 Minitab 提供三種可供選擇的正態性檢驗： Anderson-Darling - 此檢驗具有極好的功效 ，并且在分布的高值和低值中檢測對正態性的偏離時特別有效。 Ryan-Joiner（與 Shapiro-Wilk 類似） - 此檢驗具有極好的功效。它基于樣本數據與期望從正態分布中獲得數據之間的相關 。 Kolmogorov-Smirnov - 這是常見的正態性檢驗，但功效比其他兩種檢驗要低。 每個檢驗的結果都帶有正態概率圖，這有助于確定數據是否服從正態分布。MinitabKolmo

27、gorov-Smimov 統計量 本章目錄本章目錄MinitabAnderson-Darling統計量)()(1)()()(122xdFxFxFxFxFnAnAnderson-Darling統計量：MinitabCramer-von Mises統計量：)()()(22xdFxFxFnWnCramer-von Mises統計量：Minitab Q-Q圖檢驗法Minitab偏峰檢驗法偏峰檢驗法 正態性檢驗 本章目錄本章目錄Minitab 營養學家選擇隨機的 13 瓶食用油樣本，以確定飽和脂肪的平均百分比是否不同于宣傳的 15%。以前的研究表明，總體標準差為 2.6%。 使用單樣本 Z 檢驗似乎很合

28、適，但正態性假設需要進行驗證。營養學家選擇 a 水平 0.10 進行檢驗。 數據： 脂肪.MTW （在樣本數據文件夾中）MinitabPoisson Poisson 的擬合優度檢驗 使用 Poisson 的擬合優度檢驗來檢驗數據是否服從 Poisson 分布。 該檢驗確定觀測值與數據服從 Poisson 分布時的期望值之間的接近程度。 所用的是卡方檢驗統計量Minitab 質量工程師想確定每臺電視機的缺陷是否服從 Poisson 分布。工程師隨機選擇了 300 臺電視機，并記錄了每臺電視機的缺陷數。 數據： 電視機.MTW （在樣本數據文件夾中）Minitab Minitab 通過列表列出計算

29、卡方值所需的信息： 類別：類別數是數據中的最大非負整數值 + 1。如果 k 是數據集中的最大非負整數，則類別數為 k + 1，并且 Minitab 按如下方式將其列出：0, 1, , k。 觀測值：樣本中屬于某類別的觀測值數量。 Poisson 概率：與每個類別關聯的概率，假定數據與估計均值服從 Poisson 分布。 期望值：與每個類別關聯的概率乘以樣本中觀測值的總數。 對卡方的貢獻：(觀測值 期望值) / 對每個類別的期望數。卡方統計量是所有類別中這些值的和。Minitab 輸出示例 缺陷 的 Poisson 均值等于 0.536667 卡方 缺陷 觀測 Poisson 概率 對期望的貢獻

30、 0 213 0.584694 175.408 8.056 1 41 0.313786 94.136 29.993 2 18 0.084199 25.260 2.086 =3 28 0.017321 5.196 100.072 N N* 自由度 卡方 P 值 300 0 2 140.208 0.000 解釋 對于電視機數據，對每臺電視記錄的最大缺陷數是 3。這些數據的類別數為 4，Minitab 將其按如下方式列出：0、1、2 和 3。 有 28 臺電視機具有 =3 個缺陷。如果數據服從均值為 0.536667 的 Poisson 分布，則具有 3 個缺陷的預期電視機數量大約為 5 (5.19

31、6)。對于此類別而言，觀測值和期望值之間的差別很大，并且對卡方統計量的貢獻最大 (100.072)。Minitab判斷總體的分布是否為正態總體的假設檢驗稱為正態性檢驗原假設 : 數據是隨正態分布對立假設 : 數據是不隨正態分布Variable : 設定需正態性檢定的 Col(變量) Reference probabilities : 輸入概率值 Tests for Normality : 三個方法中選擇一種 結果分析結果分析: :首先若資料與圖象中的直線一致，可認為按正態分布。因 P-value為0.022比顯著水平小，故駁回原假設，即不隨正態分布Cranksh.mtwMinitabNormality Test(Normality Test(正態性檢驗) ) 假設檢驗是從樣本特征出發去判斷關于總體分布的某種“看法”是否成立。 一般步驟為 :（1）根據問題提出一個原假設H0和備擇假設H1（2）構造一個統計量T，其抽樣分布不依賴任何參數（3）計算概率值 （4）判斷：若 ，則拒絕原假設H0，否則接受H1。p)| ),.,(021HxxxTTPpn超過統計量本章目錄本章目錄MinitabnuX/2nuX/22nstXn/)(21nstXn/)(2122)()(2212nniiX)1 ()(2212n