1、第一章 數學中使用的一般科學方法 （共 10學時） 教學目的和要求 要求學生通過本章的學習，掌握在數學研究及數學解題中如何使用觀察與實驗、比較與分類、歸納與類比這三類科學方法，并能獨立運用這些方法解決數學問題。 教學內容 第一節 觀察與實驗（ 2 學時）1觀察與實驗是收集科學事實，獲取感性經驗，形成、發展和檢驗科學理論的主要方法2觀察與實驗在數學研究及數學解題中的功能、特點和作用第二節 比較與分類（ 2 學時）1. 比較與分類是分析、整理知識的主要方法2. 比較與分類在數學研究及數學解題中的功能、特點和作用第三節 歸納與類比 （ 4 學時）1 . 歸納與類比是提出數學猜想的主要方法2 . 歸納

2、與類比在數學研究及數學解題中的功能、特點和作用習題課（ 2 學時）通過 “示例” 教學使學生理解和掌握這三類科學方法在數學研究及數學解題中的功能、 特點和作用。 教學重點 觀察與實驗、比較與分類、歸納與類比方法在數學研究及數學解題中的功能、特點和作用。 教學難點根據已有的事實材料如何運用歸納與類比方法提出數學猜想。 教學建議 本章內容是課程的重點內容，建議通過“示例”教學使學生理解和掌握這三類科學方法在數學研究及數學解題中的功能、特點和作用。教學過程在科學的發展過程中， 凡是對人類的認識產生過積極作用的思想家， 不論是哲學家或是科學家，都對科學中的思想方法和研究方法進行過考察與分析，科學方法就

3、是在他們的研究和探索中誕生的。綜觀人類的科學認識史， 大凡以算法為主導的數學發展時期， 人們常常將數學歸并到自然科學范疇之內，而在以演繹為主導的數學發展時期， 人們則將數學獨立于自然科學之外。在當代，由于計算機的出現以及由此引起一場迅猛的技術革命，數學中“構造性觀念的抬頭有了一些明顯的趨勢。 ” （吳文俊） ，而這種趨勢致使數學及數學教育界過分偏重形式，強調邏輯思維能力，忽視了數學的活的靈魂，對于使用邏輯方法以外的科學方法不予重視。而包括20世紀最偉大的數學家馮 諾伊曼就曾指出：“大多數最好的數學靈感來源于經驗”， “在一門數學遠離其經驗之源而發展時，存在著一種危險，即這門學科會沿著一些最省力

4、的方向發展，并分為數眾多而無意義的支流。唯一的解決辦法是使其回到其本源，返老還童。 ” （引自數學家談數學本質 ）菲爾茲獎獲得者，日本數學家小平邦彥說過： “物理學可以說是研究自然現象中物理現象的科學，在同樣的意義上，數學就是研究自然現象中數學現象的科學。 ”由此可見，在數學研究和解題中廣泛運用一般科學方法是不可避免的。因為數學的研究對象是形式化的思想材料，盡管它起源于經驗，有的直接依賴于經驗，但畢竟舍棄了事物的具體內容。因此，數學在使用一般科學方法時，必然有所側重，具有自己的特點。3 2.1 數學中的觀察與實驗般的科學方法中，觀察和實驗是收集科學事實，獲取感性經驗的基本途經，是形成、發展和檢

5、驗自然科學理論的實踐基礎。觀察與實驗在數學研究中也是一種最基本的主要方 法之一。觀察是人們對事物或問題的數學特征通過視覺獲得信息， 運用思維辨認其形式、 結構和數量關系，從而發現某些規律或性質的方法。盡管觀察是最原始最基本的方法之一，但它是進行數學思維必須的和第一位的方法，在數學知識的發現和數學問題的解決過程中，觀察也是常用的有效方法之一。在數學活動中，常常通過觀察來收集新材料， 發現新事實， 并通過觀察可以認識數學的本質、揭示數學的規律、探求數學方法。數學中的觀察按觀察的特征可分為定性觀察（對對象的特征、性質、關系的觀察）和定量觀察（對對象間的數量關系的觀察）兩種。實驗是根據研究問題的需要，

6、按照研究對象的自然狀態和客觀規律，人為地變革、控制和模擬客觀對象，在有利的條件下獲取經驗材料的研究方法。實驗方法在數學活動中有助于數學理論的研究與發展；有助于啟發數學解題思路；有助于在數學教學中創設思維情景。由于實驗總是和觀察相互聯系， 觀察常常可用實驗作基礎， 而實驗又可使觀察得到的性質或規律得以重現或驗證。而實驗比觀察有更大的優越性，主要表現在以下兩個方面：（ 1 ）實驗方法具有簡化和純化數學對象的作用。因為實驗可借助專門儀器工具，人為地變更、控制和模擬客觀對象，因而能把握實驗者的需要，突出某些主要因素，排除或減少其他次要的、偶然因素的干擾， 使研究對象中為研究者所需要的某些屬性或關系在簡

7、化、純化的形態下暴露出來，從而準確地認識它。（ 2 ）實驗方法可以重復進行或多次再現被研究的對象，以便進行反復的觀察。數學不是實驗性的科學， 因此不能將觀察到的結果、 實驗性的驗證作為判斷數學命題的真假性的充分依據，但它們在數學發現及探求數學問題的解決思路的過程是起著重要作用的，歐拉曾經說過： “今天人們所知道的數的性質，幾乎都是由觀察所發現的，并且早在用嚴格論證確認其真實性之前就被發現了。甚至到現在還有許多關于數的性質是我們所熟悉而不能證明的；只有觀察才使我們知道這些性質。因此我們認識到，在仍然是很不完善的數論中，還得把最大的希望寄托在觀察之中；這些觀察將導致我們繼續獲得以后盡力予以證明的新

8、的性質。 ”隨后歐拉又指出了觀察的局限性，告誡人們要把“這類僅從觀察為旁證而仍未被證明的知識，必須謹慎地與真理區別開來， ” “不要輕易地把觀察所發現的和僅從歸納為旁證的關于數的那樣一些性質信以為真。 ”歐拉還指出： “數學這門學科，需要觀察，也需要實驗。 ”下面我們將通過一些例子來說明觀察與實驗在數學研究中的重要作用。【例 1】兔子繁殖問題13世紀初，意大利數學家裴波那契（ L.Fibonacci ）在他所著的算盤書中，提出了一個十分有趣的題目：“有一個人把一對小兔子放在四面都圍著的地方，他想知道一年以后總共有多少對兔子。假定一對小兔子經過一個月以后就長大成為一對大兔子。而一對大兔子經過一個

9、月就不多不少恰好生一對小兔子（一雌一雄） ，并且這些生下的小兔子都不死。 ”這是一個算術問題，但是用普通的算術公式是難以計算的，為了尋求兔子繁殖的規律，我們引進記號：1表示已長大成熟的一對大兔子；0表示未成熟的一對小兔子；L匚（大）匚（小）用Fn表示在n月1日總共有兔子的對數，用Fn ，Fn分別表示n月1日大兔子的對數和小兔子的對數，則通過觀察有：經過進一步的觀察,Fi1,F21,F32,F43,F55,F68,F713,兔子的繁殖規律可列成下表n123456701乙;3二1/141/1/3/511235813由此表可得:進*步考慮,(1)(2)Fn（大）F n又可得:Fn(大)n 1(小)1

10、 1n 1時,當n 3時，由（由以上觀察和歸納所得的結果,（用實箭頭表示）（用虛箭頭表示）匚 匚（大）匚（小）Fn，Fn ，Fn的定義，有1）得我們知道當 n 3時，通過F1F21和FnF n 1Fn 2便可計算出Fn的值。顯然，上面的結果純粹是建立在觀察和實驗的基礎之上的，是否帶有普遍意義，亦即對一切n 3，n N結論是否成立，還需要進行嚴格論證。但是，這個結果的確給我們帶來了解 決一般問題的曙光，我們有理由猜想兔子的繁殖規律可以用一個明確的遞推關系來描述， 即Fn Fn 1 Fn 2（ n 3, n N ）正如當代最著名的數學教育家波利亞（G.Polya）所說：“數學家好似自然科學家，在他

11、用一個新觀察到的現象來檢驗一個所猜想的一般規律時，他向自然界提出問題：我猜想這規律是真的，它真的成立嗎？假如結果被實驗明確證實，那就有某些跡象說明這個規律可 能是真實的，自然界可以給你是或非的回答。”對于遞推關系式，其正確性是肯定的，這 可以用數學歸納法加以證明，后人為紀念兔子繁殖問題的提出人，將數列Fn稱為裴波那契數列，這個數列的每一項都叫做裴波那契數，裴波那契數列在數學、物理、化學、天文 等學科中經常出現，并且有許多有趣的性質。由于裴波那契數列可用于優選法，因而近年 來有越來越多的人去研究它。【例2】投針問題1777年，法國科學家蒲豐（C.de Buffon ）提出并解決了一個概率問題：投

12、針問題。這 個問題給人們以巨大的啟迪：數學與實驗不僅有緣，而且有著十分密切的關系。投針問題 用數學語言表述如下：平面上畫著一些間隔為 2a的一組平行線，在平面上隨機的投擲一枚長為21并且質量均勻的針，假定l>a,試求此針與平行線相交的概率。從幾何概率來看，投針問題的解法是：用M表示針的中點，X表示M到與它最近的一條平行線的距離，表示針與這一平行線的交角（圖2.年那么0 /圖2.12a M：決定了平面上一個矩形 S;同時為了使針與一平行線布x l sin當且僅當X, 滿足不等式圖2.2行線之一相交的次數，由概率的統計定義，2lnm近似等于7 ,于是得于是，我們的問題就等價于在 S中隨機地擲

13、一點, 求此點落在區域 A中的概率（圖2.2）由積分的 幾何意義可知，區域 A的面積是 故所求的概率 投針問題的結果，提供了用實驗方法求 值的理論依據。設n是投針的總次數，m是針與平am在歷史上，有不少人利用上述結果做過實驗1850年，瑞士數學家沃爾夫（Wolfe）在蘇黎世，用一根長 36mm的針，平行線的距離 為45mm投擲了 5000次，得到 的近似值為3.1596。1855 年，英國人史密斯（Smith）投擲 了 3200次，得到 的近似值3.1553。1864 年，英國人福克斯（Fawkes）投關B了 1100次。得到 的近似值為3.1419。1901年，意大利拉澤里尼（Lazzeri

14、ni） 投鄭了 3480次，得到的值準確到第六位小數，但有人對些結果持懷疑態度。蒲豐投針實驗提示了數學方法的多樣性和靈活性，投針問題被認為是數學史上最早的幾何概率的研究成果。由于幾何概率的研究要以有關圖形集合的測度為基礎，因而自然要導 致積分幾何的建立。在現代，由于大型電子計算機的出現，一種新型的數學實驗近似計算 方法一一蒙特卡羅（Monte-Carlo ）方法迅速地發展起來。這種方法以概率和統計的理論、 方法為基礎，將所求的問題同一定的概率模型相聯系，用電子計算機實現統計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。多用于求繁難的積分。解線性方程組、偏微分方程等問題。下面舉 例說明方法的基本思路。y 例如

15、要計算積分0f（x）dx的值。由積分的幾何意1 修），y f（X）知道這就是要求計算圖 2.3中的區域A的面積。即 a 7 由幾何概率的定義，這就相當于“向正方形S中隨枷|因 1 x地擲一點”，求此點落在區域 A中的概率 ，又由概率32.3的統計定義，為求得的近似值，只要求得此點落在區域A中的頻率，即隨機地擲一點于正方形的試驗可以由計算機來做，并且可以由計算機來算出 n次試驗中1落在區域A的頻率一一概率的近似值， 也就是積分0 f （x）dx的近似值。當試驗次數n充分大 時，它與 的誤差可以很大的概率控制在所需要的精確度內。由于大型計算機的運算速度 很快，所以可在很短的時間內求得所要求的結果。

16、人們在學習數學或解決數學問題的過程中，也免不了觀察和實驗。而決定觀察與實驗 的質量的主要條件是目的性、計劃性、全面性以及主體的良好知識結構。深入的觀察和良好的實驗可引起廣泛的聯想和知識遷移，使我們不斷地調整步驟，通過簡單的情形，去理 解和發現研究對象的性質和規律，還可使我們更快地產生頓悟，找到解決問題的關鍵。例如，為了得到“三角形內角之和等于 180°”這個定理，我們可通過下面的兩個實驗：一是用量角器分別測量三個內角的大小，求和；二是在紙上裁下一個三角形(記為ABC)如圖2.4所示，剪下/ A與/B,把它彳門和/ C拼在一起。這時可發現 CD恰好為BC之延長 線。通過實驗，不僅幫助我

17、們建立命題，而且實驗二還指出了這個命題證明方法的啟示。【例3】 如果正整數N (N> 1)的正約數的個數是奇數，求證 N是完全平方數。此題的證明方法并不顯然，我們做一個實驗，觀察n個特殊的正整數，其中包括一些非完全平方數和一些完全平方數，考慮它們的正約數的個數呈現什么規律，這些規律是怎樣 產生的？N正約數正約數的個數非兀 全 平 方 數21,2,231,3,251,5,261,2,3,6,471,7,2121,2,3,4,6,12,6301,2,3,5,6,10,15,30,8兀全平方數41,2,4,391,3,9,3161,2,4,8,16,5251,5,25,3361,2,3,4,6

18、,9,12,18,36,91001,2,4 , 5,10,20,25 ,50,100,91961,2,4,7,14,28,49,98,196,通過上表，我們觀察到：對非完全平方數來說，它們的正約數序列中，距首未兩端等距離的兩個正約數的乘積為 N,如12=1X 12=2X 6=3X4;對完全平方數來說，它們的正約數序列中，除了首未兩端等距離的兩個正約數的乘積為N之外，中間還剩一個正約數，如236=1 X 36=2 X 18=3 X 12=4X9=6以上實驗，也使我們更加確信：正約數的個數是偶數的正整數必為非完全平方數；正約 數的個數是奇數的正整數必為完全平方數。根據實驗中我們所觀察到的正整數的正

19、約數的個數規律的啟示，得到本例的證法如下：N. N MNdi N設di是N的正約數則di必為N的正約數，因為 di 。若、：N不是自然數，則di,di 必有一個小于,另一個大于 尿。因此，N的正約數是成雙出現的。即 N的正約數的 個數必為偶數，這與已知條件相違。由此推出 JN是自然數，即N為完全平方數。4 2.2數學中的比較與分類比較是確定有關事物的共同點和不同點的思維方法。比較的過程是先對有關事物進行 分析，區別每個事物各方面的特征，再將有關事物按其特征進行對比，得出哪些方面具有 共同性，哪些方面又有區別性，從而鑒別這些事物間的異同，比較是概括的基礎，通過抽 象得出的屬性是在比較以后才能認識

20、其共性的。通過比較，可以從思想上把握現實世界對 象的本質特征和非本質特征，反映客觀事物相互對立又相互聯系而存在的實際情況，達到 正確認識事物的目的。正如俄國教育家烏申斯基所說：“比較是一切理解和一切思維的基礎, 我們正是通過比較來了解世界上的一切的”。在人們的社會實踐，特別是在科學研究中，比 較作為一種科學方法普遍地被應用。在數學研究中通過比較方法確定研究對象的共同點和差異點，為開發新的研究領域提 供指導與線索。數學中的許多發現都是應用比較方法完成的。數學中的比較是多方面的， 有量的大小的比較，有形式結構關聯的比較，也有實質方面的比較。比較的目的是把握有 關事物的區別和聯系，達到正確認識事物。

21、例如，數學家們發現，除歐幾里得幾何之外，還存在兩種非歐幾里得幾何，即羅巴切夫斯基幾何和黎曼(B.Riemann)幾何，對于歐幾里得原本第五公設來說，這兩種非歐幾里 得幾何分別對應于下列兩個公理。羅巴切夫斯基幾何已知在一平面內有一條直線l和不在l上的一點P,則過點P至少存在兩條平行于1的直線。黎曼幾何 已知在一平面內有一條直線1和不在1上的一點P,則過點P不存在任何平行 于1的直線。數學家們在關于歐幾里得幾何、羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何的比較研究， 給出了三套迥然相異的命題，為了弄清三者之間的基本差別，普倫諾威茨(Prenowitz )和若爾當(C.Jordan)在幾何學的基本概念一書中列出下面

22、表格加以比較。通過對下表所述的三種幾何學的特征的差別的比較，就可以從思想上把三種幾何區分開來，這將對進一步學習和研究提供“理解和思維的基礎”。事項歐幾里得幾何羅巴切夫斯基幾何黎曼幾何兩條不同直線相交在至多一個至多一個一個(單一橢圓)兩個(二重橢圓)占上占上已知直線1,和1外一點P,存在有且僅有一條直線至少有兩條直線無直線通過P且平行于1一條直線可以可以不可以被一點分為兩部分平行直線是等距的是不等距的不存在如果一條直線 與兩條平行直 線中的一條相 交必然可能或不可能與另一條直線相交止確的薩開里直角銳角鈍角假設假設是兩條垂直于同一直線的不同直線是平行的是平行的相交三角形的內角和等于小于大于1800

23、一個三角形的面積與它的內角和無關的角胭成正比的角盈成正比對應角相等的兩個三角形相似全等全等F面我們再就三種幾何不中的兩個著名的命題，作出比較的結果 (1)勾股定理(畢達哥拉斯定理) 歐幾里得幾何c2 a2 b2c ca a b b羅巴切夫斯基幾何2(ek e k) (ek ek)(ek ek);這里k是某個確定的常數，e=2.718一,2,22黎曼幾何 ds adx 2 dxdy dy這里是正定的。(2)半徑為r的圓的周長C歐幾里得幾何 C 2 rr r羅巴切夫斯基幾何C k(ek ek)黎曼幾何 無法用簡單的式子表示。在數學中，從概念的發展、命題的推演或證明，到數學問題的解決，都滲透著比較方

24、法 的運用。在數學教學中，有經驗的教師通過舊知識引進新知識，讓學生在新舊知識的比較中， 提出疑問，創設問題情境。比較在數學學習中不僅是一種科學的認識方法，而且已發展成為 一種獨立的數學解題方法。數學思維的基本形式是：概念、判斷和推理，其中判斷和推理是以概念為基本要素。判斷是在比較兩個或兩個以上概念的特性之后，對命題作出肯定或否定的思維形式；數學中 推理以歸納和演繹為主要推理形式，其中歸納推理以比較同類事物的特性為前提，演繹推 理則需在比較一般原理與具體事物的性質的基礎上進行。所以在數學教學中對概念(包括相對概念，易混淆概念）或同類事物進行比較；不僅有利于提高學生的認識能力，而且直 接關系到解題

25、能力的形成。不等式的證明方法，因題而異，但是比較法是一種普適性較大的方法。2c求證 a2 b2 > 2。【例1】 設a, b, c為三角形的三邊, 證一：作差法，因為由于a2 b2 2ab，又cb222 c22 a122(2a 2b 2c2).2b 2abeosC代入上式得-1 v CosCX 11+cosC >0,而 a>0,b >0,這就證明了2,2a b2 >0,即 a2 b證二：作商法，因為 a、b、c為三角形的三邊，這就證明了a2 b22 c2【例2】>1, 已知即 a2 b2 > 2P為ABC內的一點求證:ABP BCP CAPcot co

26、t A cot B cot C分析：由圖形的特征上可以聯想有面積關系：比較題中待證式與上式的異同可知，由于兩式結構相同,只需從面積關系入手進行轉化即可，于是思路打開同理有:S BPC222z a y4 cotS CPAo,22b z4 cotS ABC又同理，應用等比定理有:S ABCS APB S BPC2. 22a b c4cota2 sin Bsin C2sin(B C)S CPA(1)2(cotB cotC)2,22a b cS ABC ：二 4（cot A cot B cotC）（ 2）比較（1）、（2）兩式，即得結論。分類是以比較為基礎，按照事物間性質的異同，將相同性質的對象歸為一

27、類，不同性質的對象歸入不同類別的思維方法。分類的目的在于使知識條理化，并進而系統化，促進 認識結構的發展，分類方法雖側重于理性思維，但是條理化、系統化的信息便于檢索和儲 存，對知識的鞏固、理解的深化、后續學習的進行和問題的解決都起著重要的指導作用。當面臨較復雜的對象時，人們往往會考慮將對象按某種特征分成幾個部分，逐一加以研究，再綜合之，以達到認識對象全體的目的。這種分類方法在科學研究中是廣為運用的。生物學家通過直覺歸納、解剖等手段，運用分類方法，編排出動植物的譜系；化學家在分 類的基礎上，根據元素的周期現象，預言新元素的存在及其性狀。在數學中則把分類作為一種揭示概念外延的邏輯方法，當我們要弄清

28、某個數學概念是由哪幾種子概念構成的時候，就提出了概念分類（或稱為概念劃分）的任務。如關于數的概 念可分類如下：上表采用了二分法，即把屬概念（復數）連續地分為兩個互相矛盾的概念，直到適當的 情況為止，用二分法分類，條理清楚，對于從整體上認識種概念也屬概念之間的關系較為 有利。如都是概念的二分法分類的例子。概念的分類必須遵守以下規則，只有這樣，才能在分類過程中防止出現遺漏、重復或者混淆不清的現象。1 .分類所得的各子項外延的總和，應當與被分類的概念的外延相等。如三角形以角的大小為標準，可分為銳角三角形()三角形直角三角形 鈍角三角形因為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的外延的總和，恰好與三角形的

29、外延相等。而 就不是正確的分類，這里，第一，二，三，四象限的角的外延的總和狹于被分類的概念的 外延，遺漏了 “軸線角”這一子項。2 .分類所得的各子項，應當是互相排斥的。就是說，某一概念被分類后，其各子項每兩項都應當是并列關系，而不是交叉關系或從屬關系。如把平行四邊形分為矩形、菱形和正方形，就不僅違反了規則 1,而且也犯了 “交 叉”和“從屬”的毛病。3 .分類應按同一標準進行。在分類前，應當從被分類的概念的屬性中，取出一個屬性作為依據。如三角形以“角的 大小”為標準，得到的分類是（）；如以“邊的相等關系”為標準，得到的分類則是 這里的不等邊三角形是指任何兩條邊都不等的三角形；二等邊三角形是指

30、有且僅有兩條邊 相等的三角形。如果二等邊三角形是指通常的等腰三角形，那么這一分類就違反了規則2。分類方法在數學中有廣泛的運用， 這是因為一切事物都必須分門別類加以研究，才能條理清楚、涇渭分明，區別事物間的千差萬別，明確事物間的聯系，作為反映現實世界各種 現象普遍聯系和制約關系的數學，是以概念為支柱的，沒有分類，數學概念就不復存在， 也就無法建立和發展。分類往往可使復雜的問題化簡單，使隱晦的條件變為明顯，從而有 助于我們分別思考，各個擊破，大到一個數學分支學科，小到某個具體問題，幾乎一切數 學問題都與分類有關。學會在不同的場合把復雜的對象按我們的需要進行分類，是數學研 究中一種很重要的基本功。【

31、例3】 試討論三平面的一切可能的位置關系。分析：空間三平面的位置關系是一個復雜的關系。怎樣分類才能做到既無重復又無遺漏呢？這應抓住分類各個階段的分類標準。首先抓三個平面有無重合，在有二個重合的條件 下再按與第三個平面是相交還是平行進行分類；對三個平面都不重合的情況下再按有幾個 平面平行來分類；對三個平面都不平行的情況再按三條交線是否重合，平行、相交來分類。 這樣逐級進行分類，才可避免重復與遺漏。三個平面的一切可能的位置關系為：1 .三個平面重合；1與第三個平面相交2 .二個平面重合 2與第三個平面平行3 .三個平面平行4 .兩個平面平行1三交線重合2三交線平行5 .三個平面兩兩相交 3三交線相

32、交【例4】 有標有0、1、2、3、4、5、6、7、8的卡片9張，從中選3張，用其數字組成無重復的數字的三位數。 如果卡片6也可以當9用，試問：這樣組成的三位數有多少個？解：由于卡片6的特殊性，按數字6進行分類，分為三類：12(1)不含6,這樣的三位數由0、1、2、3、4、5、7、8、9中選三個數字組成，共有P8 P8 448(2)含6不含零，這樣的三位數由 1、2、3、4、5、7、8中選兩個數字與6組成，因 23而，共有C7P3126個。(3)含6又含零，這樣的三位數由1、2、3、4、5、7、8中選一個數字與6和0組成， 132、因而，共有C7(P3 P2) 28個。綜合(1)、(2)、(3)

33、可知，這樣的三位數總共有【例5】 試證不小于5的質數的平方與1的差必為24的倍數。分析：如何表示不小于5的質數，是解決本題的關鍵，而質數又無簡單的通項公式。因而進一步去考慮將不小于 5的質數擴大為不小于5的自然數，并分為如下六類：6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n-2 , 6n-1。因為不小于5的質數不可能為偶數或 3的倍數，所以不小于 5 的質數只可能落在6n 1之中，若我們能證明：24(6n 1)2 1,則命題也自然得證。事實上，又n(n 1)必為偶數，所以，24(6n 1)2 1。運用分類法解決數學問題的關鍵，就在于分類對象或范圍要選得準，并找到適當的分類標準。為此就必須運

34、用辯證的邏輯思維，具體事物具體分析，在表面上極為相似的事物之 間看出它們本質上的差異點，在表面上差異極大的事物之間看出它們本質上的相同點，發 現事物的本質特征。這樣才能揭示數學對象之間的內有聯系，暴露所涉及范圍的制約關系。【例6】 已知在20個城市之間共辟有172條航線，證明：利用這些航線，可以從其中任何一個城市飛抵其余任何一個城市(包括中轉后抵達)。證：假設其中存在某個城市 A,由它僅能飛抵n個城市，我們將所有的城市分為兩類： 一是將A及由A可以飛抵的n個城市歸入X類；二是將A不能飛抵的19 n個城市歸入Y類。 于是在分屬X類與Y類的任意兩個城市之間都沒有航線連能(否則由A即可以經過中轉而飛

35、抵屬于Y類城市)。這樣一來，航線的總數目就應超過注意到 0 n 18 ，對于這樣的整數n ，顯然n 19 n 119 。于是就有190 n 19 n 1171 條。這與已知的共有172 條航線的事實相矛盾，可見不存在所述城市A ，即是說，由這20 個城市中的任一城市都可飛抵其余任何一個城市。2.3 提出數學猜想的一般方法：歸納與類比猜想是根據某些已知的事實材料和數學知識，通過理論思維的能動性，對未知量及其關系所作出的一種猜測性的推斷。恩格斯說過： “只要自然科學在思維著，它的發展形式就是假說。 ”數學猜想是數學研究的一個科學方法，也是數學發展的一種重要形式。無論是數學家或是正在學習數學的學生，

36、在研究數學、 學習數學時， 令人最感到困惑也是最引人入勝的環節之一，就是如何發現定理以及怎樣才能證明定理。牛頓說過： “沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。 ”波利亞也說過： “對于正積極搞研究的數學家來說，數學也許往往像猜想游戲：在你證明一個數學定理之前，你必須猜想到這個定理，在你搞清楚證明細節之前，你必須先猜想出證明的主導思想。 ” 由于猜想都是對事物的現象和規律的推測，尚未達到確切可靠的認識，因而有待于進一步通過科學實驗來檢驗或證實，作為數學猜想，則應通過嚴格的論證以確認。從詞義上來看，猜想與假說、合情推理視為同義。由于猜想都是對事物的現象和規律的推測， 尚未達到確切可靠的認識， 因而有

37、待于進一步通過科學實驗來檢驗或證實，作為數學猜想，則應通過嚴格的論證以確認。在數學發展的歷史上，曾經有過許多著名的猜想，如哥德巴赫猜想、費馬猜想（費馬大定理） 、歐拉猜想（ 36 名軍官問題） 、黎曼猜想、比勃巴赫猜想、希爾伯特猜想（希爾伯特23 個問題）和四色猜想等等， 這些猜想，有的經過長期努力得到了證明，如哥德巴赫猜想、四色猜想和希爾伯特23 個問題中的第一、第三、第五、第九、第十七、第二十一問題等；有的則給出了否定的解決，如歐拉猜想、希爾伯特23 個問題中的第十、第十四問題等；還有更多的猜想人們正在繼續努力，或有所進展或突破，或接近于解決，或尚未取得重大的成果。眾多的數學家在研究和探索

38、猜想的過程中，不僅極大地豐富了數學本身的內容，而且推動著數學向前發展。“甚至在數學里， 發現真理的主要工具也是歸納和類比。 ” 高斯也說過： “在數論中由于意外的幸運頗為經常，所以用歸納法可萌發出極漂亮的新的真理。 ”歸納法是從個別事實中概括出一般原理的科學方法， 歸納法有全歸納法和不完全歸納法之分。我們這里所論述的主要是不完全歸納法，它是指由個別性前提推出一般性結論的推理。歸納法是由一定數量的單稱陳述出發，通過思維的“頓悟”過渡到全稱陳述，這就是猜想，由歸納法提出的猜想，雖然不具備演繹推理的那種必然性，但它是一種經過若干事例驗證了的猜想，經過驗證的事例越多，猜想的置信度就越高。在數學發展史上

39、，通過歸納法提出的猜想不計其數。著名的哥德巴赫猜想就是一例。1742 年，德國的一位中學數學教師哥德巴赫（ C.Goldbach ）根據奇數77=53+17+7，461=449+7+5=257+199+5等個別例子看出，每次相加的三個數都是素數，于是他提出猜想，所有大于 5 的奇數都可以分解為三個素數之和，他將此猜想告訴歐拉，歐拉肯定了他的想法，并補充提出：所有大于 4 的偶數都可分解為兩個素數之和，這二者后來即稱為哥德巴赫猜想。這個猜想提出至今已有近260 年的歷史，在這漫長的歲月里，也有人對此提出過懷疑，于是不斷有人進行過大量的驗算，至今已驗算到 5X 108以內的偶數都是對的。雖然到目前

40、，哥德巴赫猜想尚未被證明為正確，也沒有人予以否定，但是圍繞這個猜想所作的研究，卻積累了相當多的資料與成果，特別近半個世紀以來，進展迅速，成績顯著，達到 了非常精深的境界，在這些成績中，包括陳景潤，王元等在內的我國數論學派占世界領先 地位。通過歸納方法提出猜想， 爾后又被證明是正確的，這樣的例子當然很多，如關于凸多面體的歐拉定理其中F, V, E分別表示凸多面體的面、頂點和棱，就是著名的一個。又如數論中的“四方定理”，即方程對任何自然數n都有x, y, z,“巴切特猜想。”后來，巴切特自己得到了證明，“猜想”才成為“定理”。不過由于歸納方法得到的結論并非必然，所以由歸納方法產生的猜想以后 被否定

41、的情況亦不鮮見。如法國數學家費馬曾經認為：對于任何非負整數n,形狀如22n 1的數都是素數。這樣的數叫做“費馬數”而用符號'來表示，則 費馬根據對前五個數F0，Fl，F2，F3，F4的觀察，通過歸納，就認為他的結論是正確的，但歐拉在1732年發現F54294967297641 6700417這就是說，費馬的這一猜想是錯誤的，要注意，在費馬數Fn中間，當n>4時，目前人們還_ 2328388608沒有找到一個素數，而其中有些' 卻已經被證明是合數，如 F23 21 21 F23的全部素因數，F23是一個2525223位數字，如果用本書中的字體印出來，就要有5km的長度。在費

42、馬數中，是否有無窮多個素數？或者是否有無窮多個合數？都是沒有解決的問題。當然，通過歸納得到的猜想的過程也并不是一蹴而就的，因為手頭上的經驗材料大多是支離破碎的，不經過一番仔細的分析、研究，將很難發現蘊涵在其中的關系，而這些關系 正是歸納賴以進行的依據。下面我們來看一例。【例1】 證明數列12, 1122, 111222,每項都是相鄰的兩整數之積。分析：下面我們對數列的前幾項進行考察(對含“1”的個數)當n=1時，12=3X4,命題成立。當n=2時，要把1122分解就不容易了，這時我們設定命題成立，即設 1122=n(n+1), 則vn2 < V1122 = Vn(n 1) < V(

43、n 1)2即 n v V1122 v n 1這個信息很重要，它表明 n和n+1可以用開方運算迅速地猜到：1122 33.猜想n 33,于是1122 33 34經驗證果然成立，同法可以分解出：當 n=3 時，111222=333 X 334 X 3334;繼而歸納得出：11 122 2 33 3 (33 3 1)這純粹是猜測，不能算作證明，但猜測到了積的結構，尋找證明就容易多了首先想辦法變出第一個因子333,有利的條件是已經出現了 111,相差不遠!11 122 2 11100 0 22 211 1 10n 2 11 111 1 (10n2)1133333310n 2,一1 3 (為了 出現 3

44、3 3)33 10n 2310n 1, I3 ( 1)(為了出現 1)99 91)333 3 (33 3 1)nr從例1看出，某些數學問題，其結論未直接給出，這就需要我們去探求，恰當地通過歸納，根據一定數量的事實建立猜想，就能較快地找到結論。當面臨一個生疏的或者是非常規的數學問題時，我們適當運用歸納法，建立猜想，也 常是探索解決問題的方法的一個好途徑。【例2】 試把1991表成若干正整數之和，使這些數的積最大。分析：把1991表成若干正整數的和的情形很多，直接一一列舉是很困難的。也是不可 能的，那我們還是回到最簡單的情形進行考查，探求分解的規律，再推廣到一般情形。數2:只能表為1+1,但1 1

45、V2,這說明不如不變，看來從原數中分出1是不合算的，這種分解情況不再予以考慮；數3:不如不變；數4:表為2+2,因2X2=4,故變與不變無區別；數5:表為2+3,因2X3=6,故積的最大值為 6;數6:表為3+3,則3X3=9;表為 2+4,貝2X4=8;表為 2+2+2,則 2X2X2=8;后兩種情況可歸結為一種情況，因為4=2+2,故變與不變無區別，所以積的最大值為9,可見，表成3個2的和不如表為2個3的和；數7:表為2+5, 5應繼續表為2+3,可見積最大為 3X2X2=12;數8:表為2+6, 3+5,應把6, 5繼續表為若干個2的和。此外8表為4+4也可繼續表為若干個2的和。可見積最

46、大為 3X3X2=18;數9:表為2+7, 3+6, 4+5,同樣7、6、5也應繼續表為若干個 2和3的和，這時也發 現積最大為3X3X3=27。經過上述枚舉，可以猜想到：欲得所求，應該把數表為若干個2或3的和。現在我們來證明這個猜想，首先把1991表成若干個正整數的和，欲使其積最大，這些x 4加數均不超過4,否則不妨假設存在某一加數為 x,，那么，x可表為2+ (x-2),但2(x-2)=2 x-4= x+( x-4) >x這就使得其積增大。其次，我們可把4表成兩個2的積，且應把3個2的和表為2個3的和，即加數中2的 個數不宜超過2個。因此，應把1991表為663個3與1個2的積，因此

47、所求積的最大值為 2 3663。上述的結論可推廣到任意大于 1的自然數N ,即當N 3k (k N)時，N可表示為k個3 的和，其所有加數的積最大，此積為 3k;當N =3k+1時，N可表為k-1個3與2個2的和， 其所有加數的積最大，此積為 22 3k 1 ；當N =3k+2時，N可表為k個3與1個2的積，其 所有加數的積最大，所求的積的最大值為 2 3k0在數學教學中，我們也可以像數學研究一樣，引導學生運用歸納等方法，通過猜想去發現新的命題，當然這個命題是有待于證明。【例3】 試由下面一組等式出發，推測并證明一個定理：32+42=52;102+1 12+122=132+142;2 1 2+

48、222+232+242=252+262 +272;362+372+382+392+402=412+422 +432 +442;分析：通過觀察所給等式結構上的特點，欲要找出奇數個連續自然數平方和的性質，其關鍵就在于找到各等式左端的首項構成的數列的性質。我們不難發現：這些等式左端的首 項構成一個二階等差數列：即其中 a1 3, a2 10, a3 21, a, 36,n 1,2,.2且容易求得：an 2n n根據所給的一組等式(不妨再可驗證n=5時的等式)，猜想：an 2n2 n (n 1,2,)命題：若，則有證明：往證，等價命題：類比是指在兩類不同的對象之間，由它們的某些相似的屬性推出另外的屬性

49、也相似的推理，類比方法是由此及彼的過程，是由個別到個別的邏輯推理。由類比方法提出猜想，雖 然也不具備演繹推理的那種必然性，但是它是以兩類對象之間的相似的屬性愈多，其所推 出的另外的屬性也相似的結論的置信度就愈高。在數學發展史上，通過類比方法提出的猜想也不少。例如，§1.3的“自然數平方的倒數和”問題，就是歐拉運用類比方法獲得猜想及精彩的結論的一個范例，又如“自然數的 方募和”問題，即對于任意自然數m1m 2 mnm是否都存在一個求和的方法？自古希臘以來，歐洲人一直對這個問題懷有興趣，但到了 17世紀，他們所知道的也僅 限于m=1, 2, 3這三種情形，阿拉伯人知道得稍多一些，他們得到

50、了，1c14 24 34n4n(n 1)(2n 1)(3n2 3n 1)30那么，進一步如何求自然數的五次方募和、六次方募和？更一般地，自然數的m次方募和又怎樣來求呢？ 1638年，費馬注意到公式：他作了一個類比，得到在證明了上式的正確性之后，費馬進一步通過類比方法獲得n k(k 1) (k p 1)k1 p(p 1) 3 2 1n(n 1) (n p-1)(n p)(p 1)p(p 1) 3 2 1此式可以通過數學歸納法加以證明。由此式費馬得到了求自然數的方募和的公式，如取 p=3,則式可化為n(n 1)(n 2)(n 3)24n k n(n 1)將k1 2 及nk2k 11n(n 61)(

51、2n 1)nk3k 11323n3代入式就可求得n(n 1) 2依此類推，利用求k2k 1k3及k1的公式，根據式可得出求nk4k 1 的公式。這樣,費馬就獲得了根據前(n-1)個自然數方募和公式導出第 n個自然數方募和公式的遞推方法, 解決了求“自然數方募和”的問題。再如，我們知道，一個三角形任意兩邊之和必大于第三邊，后來，人們在反復驗算的基 礎上，受到上述三角形不等式的啟迪，通過類比提出猜想：對于自然數 有 其中(x), (y), (x 丫)分別表示不超過x,y,x y的素數的個數，這個猜想是否正確，至 今尚未得出結論。類比法是提出新問題和作出新發現的一種重要方法，是擴大知識范圍，獲得新知

52、識的 重要手段。天文學家開普勒(Kepler)曾經說過：“我珍惜類比勝于任何別的東西，它是我最 可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密”。波利亞也曾說過：“類比是一個偉大的引路人” “每當理智缺乏可靠的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進。”類比法在求解問題中也有廣泛的應用。波利亞指出：“選出一個類似的，較易的問題，去解決它，改造它的解法，以使它可以用作一個模式。然后，利用剛剛建立的模式，以達 到原來問題的解決。”“這種方法在外人看來似乎是迂回繞圈子，但在數學上或數學以外的 科學研究中是常用的。”【例4】空間中沒有任何二個平行， 沒有任何三個共線，沒有任何四個共點的n個平面 可把空間分成多少區域

53、？分析：這個問題使我們容易聯想到類似的一個平面問題： “平面中沒有任何二條平行， 沒有任何三條共點的n條直線可把平面分為多少個區域？”對于這個“平面問題”運用歸納法，考查 n=1,2,3,4,的個別情形可得：f 12; f 2 f 12 2 2 4.;f 3 f 2 3 4 3 7; f 4 f 3 4 7 4 11L . ;可以推測：當n k時，f k f k 1k(X) 這里f n表示n條處于一般位置的直線將平面分成的區域數。由遞推關系(派)我們可以得到將“立體問題”轉化為“平面問題”,并在“立體問題”與“平面問題”的類比中得到啟發，可利用“平面問題”的結論來解決“立體問題”。設平面k 1

54、與平面1，2， k的交線依次為l1，l2,條平行，無任何三條共點，于是由上述“平面問題”知lk o由題設可知，這k條直線無任何兩k 1被k條直線l1,2， lk分成f(k)11 5 k(k 1)個區域又設k個平面1，2, k將空間分為F k個區域，若增加一個平面k 1,則 被卜條交線l1，l2，lk分成f k個區域，這時空間被分成的區域就增加了f k個即：于是：上面諸式相加，得：【例5】 設r、s、3 x、y、z都是正實數，且滿足條件： 求x y z的最小值。分析：這個問題條件很復雜，直接從給出條件求出x y z的表達式是很困難的，因此我們想到用類比法，從條件（1）的結構形式容易聯想到三角形內角正切的恒等式 這個恒等式可作為條件（1）的類比對象，于是我們可令 r tan A，s tanB，t tanC因r、s、t、 都是正實數，故 A B、C都是銳角，而且 A+B+C=180。由此我們又有 且2A+2B+2c=360o于是條件（2）、（3）、（4）又可化為 從（5）、（6）、（7）的結構形式可以聯想到平面幾何中一個相似的問題：在邊長為1的正三角形中，求到三個頂點距離之和為最