1、實數與向量的積（ 1）教學目的：1. 掌握實數與向量積的定義，理解實數與向量積的幾何意義；2. 掌握實數與向量的積的運算律；3. 理解兩個向量共線的充要條件，能夠運用共線條件判定兩向量是否平行教學重點： 掌握實數與向量的積的定義、運算律、理解向量共線的充要條件教學難點： 對向量共線的充要條件的理解授課類型： 新授課課時安排： 1 課時教具：多媒體、實物投影儀.教學過程 ：一、復習引入：1. 向量的概念： 既有大小又有方向的量叫向量 , 有二個要素 ：大小、方向 .2. 向量的表示方法： 用有向線段表示；用字母 、等表示；3. 零向量、單位向量概念： 長度為 0 的向量叫零向量，長度為1 個單位

2、長度的向量，叫單位向量.4. 平行向量定義： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規定0 與任一向量平行. 向量 、 、 平行，記作 .5. 相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.6. 共線向量與平行向量關系： 平行向量就是共線向量 .7. 向量的加法： 求兩個向量和的運算，叫做向量的加法向量加法的 三角形法則 和平行四邊形法則8向量加法的交換律：a +b = b + a9向量加法的結合律：(a + b ) + c = a+ (b + c )10 向量的減法 向量a加上的b相反向量，叫做a 與b 的差即：ab =a + (b)11差向量的意義：OA =a,OB=b,則BA=ab

3、即 ab 可以表示為從向量b 的終點指向向量a 的終點的向量二、講解新課：1示例：已知非零向量a ，作出a + a + a 和 (a )+(a )+(a )OC=OAABBC = a + a +a =3 aPN= PQQMMN=(a )+(a )+(a )=3 a（ 1） 3 a 與 a 方向相同且 |3 a |=3|2實數與向量的積：實數 與向量a | ；（2）3 a 與 a 方向相反且a 的積是一個向量，記作： a|3 a |=3|a |（ 1） | a |=| |a |（ 2） >0 時 a 與 a 方向相同； <0 時 a 與 a 方向相反； =0 時 a = 03運算定律

4、結合律： ( a )=( ) a第一分配律： ( + ) a = a + a第二分配律： (a + b)= a + b結合律證明：如果 =0， =0， a =0 至少有一個成立，則式成立如果 0，0， a0 有： | ( a )|=| | a |=| | |a |( ) a |=| |a |=| | | a | ( a )|=|( ) a |如果 、 同號，則式兩端向量的方向都與a 同向；如果 、 異號，則式兩端向量的方向都與a 反向從而 ( a )=( ) a第一分配律證明：如果 =0，a =0 至少有一個成立，則式顯然成立=0如果 0，0， a0當 、 同號時，則 a 和 a 同向，|(

5、+ ) a |=| +|a |=(| |+| |)|a | a + a |=| a |+| a |=| |a |+| | a |=(| |+| |)|a | 、 同號 兩邊向量方向都與a 同向即 |( + ) a |=| a + a |當 、 異號，當 > 時兩邊向量的方向都與 a 同向；當 < 時 兩邊向量的方向都與 a 同向，且|( + ) a |=| a + a |式成立第二分配律證明：如果 a = 0 ， b = 0 中至少有一個成立，或 =0， =1 則式顯然成立當 a0 ， b0 且 0， 1 時（ 1）當 >0 且 1 時在平面內任取一點O，作 OAaABbOA

6、1 aA1B1 b則 OBa +bOB1 a + b由作法知，ABA1 B11 1AB |= | A1 B1 |有 OAB= OAB | |OA1 | A1B1 | OAB OA1B1|OA |AB|OB1 |AOB=A 1OB1|OB |因此， O， B， B1 在同一直線上， | OB1 |=| OB |OB1 與 OB 方向也相同 ( a + b )= a + b當 <0 時 可類似證明：( a + b )= a + b 式成立4向量共線的充要條件若有向量 a ( a0 ) 、 b ，實數 ，使 b = a ，則 a 與 b 為共線向量若 a 與 b 共 線 ( a0 ) 且 |

7、b | ： | a |= ， 則 當 a 與 b 同 向 時 b = a ；當 a 與 b 反向時 b = a 從而得向量共線定理向量 b 與非零向量 a 共線的 充要條件 是：有且只有一個非零實數 ，使 b =a三、講解范例：例 1 若 3 2， 3 ，其中 ， 是已知向量，求 ，.分析：此題可把已知條件看作向量、 的方程，通過方程組的求解獲得 、.解：記 3 2 3×得 得11 . 13 將代入有： 3112111111評述：在此題求解過程中，利用了實數與向量的積以及它所滿足的交換律、結合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實數的二元一次方程組的方法一致.例 2 凸四邊形的邊

8、、的中點分別為、 ，求證EF 1(AB+DC ).ABCDAD BCE F2解法一：構造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決.過點C在平面內作CGAB，則四邊形ABGC是平行四邊形，故F為 AG中點 . EF是 ADG的中位線， EF = 1 DG , EF1DG.22而DGDC CGDC AB， EF 1（ABDC）.2解法二：創造相同起點，以建立向量間關系如圖，連 EB， EC，則有 EB EA AB ，ECEDDC ，又 E 是 AD之中點，有EA ED 0.即有EBECABDC ；以 EB 與 EC 為鄰邊作平行四邊形EBGC，則由 F 是 BC之中點，可得F 也

9、是 EG之中點 . EF 1 EG1（EBEC） 1（ABDC ）222四、課堂練習：1. 錯例分析判斷向量 e 與 e 是否共線 ? 對此題，有同學解答如下：解： e， e， ， 與 共線 .分析：乍看上述解答，真是簡單明快. 然而，仔細研究題目已知，卻發現其解答存有問題，這是因為，原題已知中對向量e 并無任何限制，那么就應允許e 0，而當e 0 時，顯然 0， 0，此時， 不符合定理中的條件，且使 成立的 值也不惟一 ( 如 ， ， 等均可使 成立 ) ，故不能應用定理來判斷它們是否共線 . 可見，對 e 0 的情況應另法判斷才妥 .綜上分析，此題應解答如下：解： (1) 當 e 0 時，

10、則 e 0由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”，所以，此時與共線 .(2) 當 e 0 時，則 e 0， e0 ( 這時滿足定理中的 0，及有且只有一個實數 （ ），使得 成立 )與 共線 .綜合 (1) 、 (2) 可知， 與 共線 .2. 用向量法解決幾何問題向量是數學中重要概念之一，是解決數學問題的得力工具，它簡潔明快，許多幾何里的命題，如果用向量知識來解決就顯得格外簡練.如圖， MN是 ABC的中位線，求證：MN 1 BC，且 MN BC.21證明： M、N 分別是 AB、 AC邊上的中點，所以AM =AB ，2AN =1 AC，MN=ANAM =1 AC-1AB =

11、1（AC- AB）22221= BC .2因此， 1 且 BC.2五、小結 : 通過本節學習，要求大家掌握實數與向量的積的定義，掌握實數與向量的積的運算律，理解兩個向量共線的充要條件，并能在解題中加以運用.六、課后作業：1當 Z 時，驗證： (a + b)= a + b證：當 =0 時，左邊=0?(a +b)=0右邊 =0? a +0? b= 0分配律成立當 為正整數時，令 =n,則有：n(a +b)=(a + b )+(a + b )+ +(a + b)= a + a + +a + b + b +b + + b =n a +n b即 為正整數時，分配律成立當為負整數時，令 = n（n 為正整

12、數），有n( a +b )=n( a + b )=n(a )+(b )=n(a )+n(b )= n a +( n b )= n a n b分配律仍成立綜上所述，當 為整數時， ( a + b )= a + b 恒成立A2如圖，在 ABC中， AB = a ,BC = b， AD 為邊 BC的a中線，G為 ABC的重心，求向量 AGb DCB解法一： AB = a ,BC =b則BD=1 BC=1 bA22a AD = AB + BD = a+ 1 b 而 AG = 2 ADEGF23AG=2a + 1 bBbCD33解法二：過 G作 BC的平行線，交AB、 AC于 E、 F AEF ABC，

13、AE = 2 AB = 2 aEF = 2 BC = 2 bEG = 1 EF = 1 b333323 AG = AE + EG = 2 a + 1 b 3 33在ABCD中，設對角線AC =a ， BD =b 試用 a ,b 表示 AB ， BC解法一： AO =OC = 1aBO=1 BD=1 b222 AB=AO+OB=AOBO = 1 a 1 b22BC =BO+OC =OC +BO=1 a + 1 b22解二：設 AB = x ， BC = y則 AB+BC=AC ，即x + y = a； ADAB = BD ，即 x y =b x = 1 ( a b ) ，y = 1 ( a +b )22即 AB = 1 ( a b )BC = 1 ( a +b )224 設 e1 , e2 是兩個不共線向量， 已知 AB =2 e1 +k e2 , CB = e1 +3 e2, CD =2 e1e2 , 若三點 A,B,D共線，求 k 的值解： BD =CDCB =(2 e1 e2 ) ( e1 +3 e2 )= e1 4 e2A, B, D共線