1、第第 2 章章 導數與微分導數與微分導數概念導數概念導數公式與求導法則導數公式與求導法則高階導數高階導數引入導數概念的實例引入導數概念的實例1234導數的定義導數的定義導數的幾何意義導數的幾何意義微分的定義微分的定義函數可導與連續的關系函數可導與連續的關系5微積分學的創始人微積分學的創始人: 德國數學家德國數學家 Leibniz 微分學微分學導數導數描述函數變化快慢描述函數變化快慢微分微分描述函數變化程度描述函數變化程度都是描述物質運動的工具都是描述物質運動的工具 (從微觀上研究函數從微觀上研究函數)導數思想最早由法國導數思想最早由法國數學家數學家 Ferma 在研究在研究極值問題中提出極值問

2、題中提出.英國數學家英國數學家 Newton變速直線運動的瞬時速度曲線在某點處的變速直線運動的瞬時速度曲線在某點處的切線斜率切線斜率在古代就引起了數學家們的興趣。在古代就引起了數學家們的興趣。早在早在1717世紀前期，意大利物理學家世紀前期，意大利物理學家伽利略伽利略就對自由就對自由落體中的瞬時速度進行了研究落體中的瞬時速度進行了研究1717世紀后，世紀后，牛頓牛頓在研究天體運動的速度時系統地在研究天體運動的速度時系統地解決了變速直線運動的瞬時速度問題。解決了變速直線運動的瞬時速度問題。導數概念的產生源于求導數概念的產生源于求:1 1變速直線運動的瞬時速度變速直線運動的瞬時速度 設一物體作變速

3、直線運動，設一物體作變速直線運動，s s表示物體從某個時表示物體從某個時刻開始到時刻刻開始到時刻t t作直線運動所經過的路程作直線運動所經過的路程s s，則，則s s是是時間的函數，現在我們求物體在時刻的瞬時速度。時間的函數，現在我們求物體在時刻的瞬時速度。 假設物體在時刻假設物體在時刻 0t的位置為的位置為 0,s t 00tsttss在在 0tt 時刻的位置時刻的位置 0,s tt 于是在于是在 0t到到 0tt 這段時間內這段時間內, ,物體走過的路物體走過的路程為程為 平均速度平均速度 ttsttstsv00令令0,t 如果這個極限存在，就定義為物體在如果這個極限存在，就定義為物體在

4、時刻時刻 0t的瞬時的瞬時速度，速度，即即 ttsttsvtvtt)()(limlim000002 2切線問題切線問題1717世紀前期，人們就對帶有特殊性質的曲線的切線進世紀前期，人們就對帶有特殊性質的曲線的切線進行了研究，如行了研究，如古希臘數學家古希臘數學家阿基米德阿基米德（Archimedes）對螺旋切線的研究。對螺旋切線的研究。到到1717世紀德國數學家世紀德國數學家萊布尼茲萊布尼茲在前人的研究基礎上在前人的研究基礎上系統的研究了曲線切線的斜率問題。系統的研究了曲線切線的斜率問題。如圖所示，設點如圖所示，設點 )(,(000 xfxM上一定點，上一定點， 為曲線為曲線 )(xfy 取取

5、 )(,(xfxM為曲線上為曲線上 0M附近的一動點，作割線附近的一動點，作割線 MM0T Ty=f(x)x x 0 x0 0 xy y0MM 00tanxxxfxf設其傾角為設其傾角為 , 則割線則割線 MM0的斜率為的斜率為 T Ty=f(x)x x 0 x0 0 xy y0MM時，時，當當 0 xx 動點動點 M將沿曲線趨于定點將沿曲線趨于定點 0,M從而割線從而割線 也隨之變動而趨向于極限位置也隨之變動而趨向于極限位置 直線直線 0.M T稱此稱此直線為直線為曲線在定曲線在定 點點 處的切線。處的切線。 0M割線的極限位置切線位置播放播放割線割線 的斜率的極限：的斜率的極限：MM0 0

6、00limxxxfxfkxx則稱則稱K K為切線為切線 的斜率。的斜率。0.M Ttan ,k 其中其中 是切線是切線 0M T的的傾角傾角。 于是曲線于是曲線 )(xfy 在在 ),(000yxM處的切線方程為處的切線方程為)()(00 xxkxfy00()(),yf xxf x 0000()()limlimxxf xxf xykxx 0=xxx 如果令如果令 是自變量增量，則函數增量為是自變量增量，則函數增量為這時這時即：切線的斜率是函數增量與自變量增量之比的極限即：切線的斜率是函數增量與自變量增量之比的極限 . .兩個問題的共性兩個問題的共性: :瞬時速度瞬時速度 0ttv lim切線斜

7、率切線斜率 lim0 xxk所求量為所求量為函數增量與自變量增量函數增量與自變量增量之比的極限之比的極限 . .)()(0tftf0tt )()(0 xfxf0 xx 類似問題還有類似問題還有: :加速度：加速度：角速度：角速度：線密度：線密度：電流強度：電流強度：速度增量速度增量與與時間增量時間增量之比的極限之比的極限轉角增量轉角增量與與時間增量時間增量之比的極限之比的極限質量增量質量增量與與長度增量長度增量之比的極限之比的極限電量增量電量增量與與時間增量時間增量之比的極限之比的極限變化率問題變化率問題設函數設函數 在在 的鄰域的鄰域 0U()x內有定義，內有定義， 當自變量當自變量x在在0

8、0()xxU x 0 x時時, ,有函數增量有函數增量 如果如果00()(),yf xxf x 0000()()limlimxxf xxf xyxx )(xfy 存在，則稱函數存在，則稱函數 在在 0 x)(xfy 處可導處可導, ,記作記作0()fx000( )|,x xx xx xdydf xydxdx或0 x0 x 處有增量處有增量 且且 并稱這個極限值為并稱這個極限值為在在 處的導數處的導數, , 函數函數)(xfy 0 x定義定義2.1 1 1）若）若 0lim,xyx 處不可導處不可導在在 則說函數則說函數0 x3 3）導數定義的幾種等價形式。）導數定義的幾種等價形式。 xxfxx

9、fxfx)()(lim)(0000 xxfxxfxfx)()(lim)(0000hxfhxfxfh)()(lim)( 0000在在 x 2 2）)( 0 xf在在 就是函數就是函數)(xfy 0 x處的變化率。處的變化率。)(xfy 0 x處隨自變量處隨自變量它反映了函數它反映了函數的變化快慢程度。的變化快慢程度。 為了加深對導數定義的理解，觀察下面極限：為了加深對導數定義的理解，觀察下面極限： 存在，求存在，求)( 0 xf已知已知 hxfhxfh)()3(lim000hxfhxfh)()3(lim000hxfhxfh3)()3(lim) 3(000)( 30 xf例例1解解000)()(l

10、im)( 0 xxxfxfxfxxxfxffx)0()(lim)0( 0 已知已知 3) 1 ( f存在，求存在，求 xfxfx2) 1 ()1 (lim0 已知已知 存在，求存在，求)( 0 xfhhxfhxfh2)()(lim000 由導數的意義可知由導數的意義可知,求函數求函數y=f(x)在點在點x0處的導數處的導數的基本方法是的基本方法是:);()()1(00 xfxxfy 求求函函數數的的增增量量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均變變化化率率.lim)()3(00 xyxfx 取取極極限限，得得導導數數注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上

11、的增量,它可正也可負它可正也可負. 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對應的形式也必須選擇與之相對應的形式.一差、二比、三極限一差、二比、三極限例例1:(1)求函數求函數y=x2在在x=1處的導數處的導數; (2)求函數求函數y=x+1/x在在x=2處的導數處的導數.,)(21)1 () 1 (222xxxy 解解：,2)(22xxxxxy . 2|, 2)2(limlim100 xxxyxxy,)2( 2)212(21)2() 2(xxxxxy ,)2( 211)2( 2xxxxxxy .43|,43411)

12、2( 211 limlim200 xxxyxxy.,21| ,:2000的的值值求求且且處處附附近近有有定定義義在在已已知知函函數數例例xyxxxyxx ,:00 xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211limlim00000 xxxxxyxx . 1,2121,21| 000 xxyxx得得由由.yxy已知，求1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 練習練習:xyxxxxxxDD=+ D-=+ D+解：小結： 1 1求物體運動的瞬時速度：求物體運動的瞬時速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(t)s

13、=s(t+t)-s(t) (2) (2)求平均速度求平均速度（3 3）求極限）求極限;svt00()( ).limlimxxss tts ttt 2由導數的定義可得求導數的一般步驟：由導數的定義可得求導數的一般步驟：（1）求函數的增量）求函數的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2) 求平均變化率求平均變化率（3）求極限）求極限yx00()limxyfxx hxfhxfh)()(lim000和和 hxfhxfh)()(lim000分別被稱為函數分別被稱為函數 在在 0 x點的左導數和右導數，點的左導數和右導數，即即 hxfhxfxfh)()(lim)(0000hxfhxfxfh)()(lim

14、)(0000)(xfy )(0 xf和和 )(0 xf記作記作 )( 0 xf存在的充分必要條件是存在的充分必要條件是 )(0 xf和和 )(0 xf都存在并且都存在并且相等。相等。 討論討論 xxf)(在分段點在分段點 0 x處的可導性。處的可導性。 時，時， 當當 0 x0)0(f，由左、右導數定義，由左、右導數定義 ) 0(/fxfxfx)0()(lim010lim0 xxx)0(/f10lim0 xxx)0(/f)0(/f，故函數在點，故函數在點 0 x不可導。不可導。 左導數和右導數統稱為單側導數。左導數和右導數統稱為單側導數。例例3 3解解 定理若函數若函數 )(xfy 在區間在區

15、間 ),(ba內每一點都可導，內每一點都可導，)(xfy 在在 ),(ba內可導。內可導。,( ),dyyfxdx( )df xdx或或 記作記作 )(xfy 在在 ),(ba內可導，且內可導，且 )(af和和 )(bf都都存在，存在， 則稱則稱 )(xfy 在在 ,ba上可導。上可導。若若則稱則稱 當函數當函數 )(xf 在開區間在開區間I I內可導內可導, ,這時，這時， Ix都有一個都有一個確定的導確定的導數值數值 )( xf與之對應，這樣就產生了在區間與之對應，這樣就產生了在區間)( xf稱這個函數為稱這個函數為 )(xf（簡稱導數）（簡稱導數）上定義的函數上定義的函數 的的導函數導函

16、數,區間上的導數區間上的導數導函數導函數其表達式為其表達式為00y()( )( )limlimxxf xxf xfxxx 顯然，顯然， )( 0 xf就是導函數就是導函數 )( xf在點在點 0 x處的函數值，即處的函數值，即0| )( )( 0 xxxfxf按導數定義求導數舉例。按導數定義求導數舉例。 求函數求函數 CCxf()(為常數）的導數。為常數）的導數。 0lim)()(lim)( 00hCChxfhxfxfhh即即 0)(C 求函數求函數 3)(xxf的導數。的導數。 xxxxxxfxxfxfxx3300)(lim)()(lim)( 22203)()(limxxxxxxxx即即 2

17、33)(xx例例4解解例例5解解請驗證以下常見函數的導數請驗證以下常見函數的導數 21)1(xx1)1(nnxnx練習：練習： ?)1(4x?)1(100 x xx21)( nnmnmxnmx)(練習練習： ?)(23x?)(99100 x一般地，對于冪函數一般地，對于冪函數 (xy 為常數），有為常數），有 1)(xx求函數求函數 353xxxy 的導數。的導數。 化簡得：化簡得： 65353xxxxy6616516565)(xxxy求下列函數的導數求下列函數的導數51xy 100 xy 324xxy 53xxxy 例例6解解求函數求函數 xxfsin)(的導數的導數hxhxhxfhxfxf

18、hhsin)sin(lim)()(lim)( 002sin)2cos(21lim0hhxhh,cos22sin)2cos(lim0 xhhhxh即即 xxcos)(sin類似可得類似可得 xxsin)(cos例例8解解求函數求函數 ) 1, 0()(aaaxfx的導數。的導數。 haahxfhxfxfxhxhh00lim)()(lim)( haahhx1lim0aaxln即即 aaaxxln)(特殊地，特殊地， xxee)(例例9解解 ?)(sin4xx ?)(cos4xx ?)(0 xxe ?)4(sin0 x由導數的定義可知：函數由導數的定義可知：函數 )(xfy 在點在點 處的導數處的導

19、數 )( 0 xf在幾在幾何上表示曲線何上表示曲線 )(xfy 在點在點 )(,(00 xfxM處的切線的斜率處的切線的斜率axftan)( 0其中其中a是切線的傾角。是切線的傾角。oxy)(xfy T0 xM即即)(xfy 在點在點 )(,(00 xfxM處的切線方程為處的切線方程為 )(000 xxxfyy過曲線過曲線 )(xfy 上的點上的點 ),(00yxM而與切線垂直的直線稱為而與切線垂直的直線稱為曲線在該點的法線。曲線在該點的法線。 )(xf在點在點 ),(00yxM處的法線方程為處的法線方程為)()(1000 xxxfyy求拋物線求拋物線 342xxy在點在點 處的切線方程處的切

20、線方程3 , 0和法線方程。和法線方程。 根據導數的幾何意義知道，所求切線的斜率為根據導數的幾何意義知道，所求切線的斜率為 0| xyk由于由于 42xy，于是，于是 4k從而所求切線的斜率為從而所求切線的斜率為 043xy即即 即即 34 xy于是所求法線方程為于是所求法線方程為 0413xy341xy例例9解解曲線曲線 3xy 在哪一點處的切線與直線在哪一點處的切線與直線 131xy平行平行 ?寫出其切線方程。寫出其切線方程。)(3xy32131x解得：解得： ,1x 相應相應 1y則在點則在點(1,1) , (1,1) 處與直線處與直線 131xy平行的切線方程分別為平行的切線方程分別為

21、) 1(311xy) 1(311xy即即 023 yx和和例例10解解 求等邊雙曲線求等邊雙曲線 xy1在點在點 2 ,21處的切線的斜率，處的切線的斜率，并寫出在該點處的切線方程和法線方程。并寫出在該點處的切線方程和法線方程。 求曲線求曲線 23xy 的通過點的通過點 )4, 0( 的切線方程。的切線方程。 若函數若函數 在點在點 處可導，則必在點處可導，則必在點 處連續。處連續。 0 x 由已知由已知 )(xf在點在點 0 x處可導，處可導，即即 000)()(lim)( 0 xxxfxfxfxx存在存在00)()(xxxfxf)()( 0 xxf其中其中 0lim( )0,xxx 因此因

22、此 即即 )()(lim00 xfxfxx)(xfy 故函數故函數 0 x)(xfy 在點在點 處連續。處連續。 )()( )()(000 xxxxxfxfxf0 x從而從而 定理2.1證證可導可導連續連續不連續不連續不可導不可導可導可導連續連續不一定不一定2 2）函數在一點處可導是指在該點處導數值有限）函數在一點處可導是指在該點處導數值有限, ,導數為無窮大和導數不存在都稱為不可導，但函導數為無窮大和導數不存在都稱為不可導，但函數在某點處的導數為無窮大時，該點處的切線是數在某點處的導數為無窮大時，該點處的切線是存在的。存在的。 1）例如，函數例如，函數 3)(xxf在點在點 0 x處連續但不

23、可導。處連續但不可導。 3/203001lim0lim)0()0(limhhhhfhfhhh即導數為無窮大，在圖形中表現為曲線即導數為無窮大，在圖形中表現為曲線 3)(xxf在原點在原點 O具有垂直于具有垂直于 x軸的切線軸的切線 0.x 3 3）判斷函數在特殊點的連續性與可導性，主要用定義）判斷函數在特殊點的連續性與可導性，主要用定義及定義推導出的充要條件：及定義推導出的充要條件： .)(0處連續在xxf)()(lim00 xfxfxx )0(0 xf)0(0 xf)(0 xf處可導在0)(xxf010( )()limxf xf xxx 存存在在)(0 xf0()fx 存存在在討論討論 00

24、01sin)(fxxxxx在點在點 0 x處的連續性與可導性處的連續性與可導性. . (1) (1) 連續性：連續性： f(0)0 ，)(lim0 xfx01lim sin0 xxx ，(2) (2) 可導性：可導性： xxxxfxffxx1sinlim)0()(lim)0(00 xx1sinlim0不存在不存在, , 所以所以不可導不可導. ) ( x f0 x例例11解解0 x ( )f x 在在 連續連續 討論函數討論函數 0,0,)(2xxxxxf在在 0 x處的連續性和可導性處的連續性和可導性 討論討論 0001sin)(f2xxxxx處的連續性和可導性處的連續性和可導性 在在 0

25、x1 1. . 導數的實質導數的實質: : 增量比的極限增量比的極限; ;.)()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxxxxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000 xxfxxfyxxx )()(lim00002. 2. 導數的幾種等價形式導數的幾種等價形式4. 4. 導數的幾何意義導數的幾何意義: : 切線的斜率切線的斜率; ;5. 5. 函數可導一定連續，但連續不一定可導函數可導一定連續，但連續不一定可導; ;6. 6. 求導數最基本的方法求導數最基本的方法: : 由定義求導數由定義求導數. .7. 7. 判斷可導性判斷可導

26、性不連續不連續, ,一定不可導一定不可導. .連續連續直接用定義直接用定義; ;看左右導數是否存在且相等看左右導數是否存在且相等. .思考題思考題思考題解答思考題解答求求在在已知已知 1.1. ( )f x1x連續，且連續，且 1( )lim2,1xf xx ) 1 (f 解解 1111( )( )(1)lim( )lim(1)lim(1) lim011xxxxf xf xff xxxxx 1( )(1)(1)lim1xf xffx 1( )lim21xf xx 2. 2. 設設 0)1ln(0sin)(xbxxaxxf)(xfba,，問當，問當 為何值時，為何值時， 為可導函數？為可導函數？ 備用題備用題1 1填空題填空題)(xf0)0(f設設可導，且可導，且，則，則_)()(lim000hhxfxfh_)()(lim000hhxfxfh_)(lim0ttft_)()(lim000hhxfhxfh(1)(2) (3) (4) 21, 11ff11lim221xxfx2 2設設，求，求- - ,1 xy,3xy ,322xxxyxxy233 3求下列函數的導數求下列函數的導數. . )9()2)(1()(xxxxxf 0f4 4 ，則，則)(