1、0, 導數應用練習題答案 1.1.下列函數在給定區間上是否滿足羅爾定理的所有條件？如滿足，請求出定理中的數值 1 (2)f(x) 2 1 x (1)f (x) 2x2 x 3 1,1.5; 2,2; f(x) X,廠x 0,3; x2 f(x) ex 1 1,1 解：(1)f(x) 2x2 x 1,1.5 該函數在給定閉區間上連續，其導數為 滿足羅爾定理，至少有一點 使f ( ) 4 1 0，解出 f (x) (1,1.5)， 。 4 4x 1，在開區間上可導，而且 f( 1) 0，f (1.5) 解: (2)f(x)宀 1 x 2,2 該函數在給定閉區間上連續, 其導數為f (x) 2x F

2、T2 (1 x ) ，在開區間上可導，而且f( 2) 1 -，f(2) 5 滿足羅爾定理，至少有一點 (2,2)， 2 使f() 0，解出 解：(3)f(x) x.3 x 0,3 該函數在給定閉區間上連續，其導數為 f (x) 一=x ，在開區間上可導，而且 2、x 3 f(0) f (3) 0,滿足羅爾定理，至少有一點 (0,3)， 使 f()2： -0，解出 3 解：(4) f (x) 2 ex 1 1,1 該函數在給定閉區間上連續, 其導數為f (x) 2xex，在開區間上可導，而且f( 1) e 1 ，f(1) e 1， 滿足羅爾定理，至少有一點 ，使 f () 2 2 e 0，解出

3、2.2.下列函數在給定區域上是否滿足拉格朗日定理的所有條件？如滿足，請求出定理中的數值 (1)f(x) x3 0,a (a 0)； f (x) In x 1,2； f(x) x3 5x2 x 2 1,0 解：(1)f (x) 0, a (a 0) 該函數在給定閉區間上連續，其導數為 f (x) 3x2，在開區間上可導，滿足拉格朗日定理條件，至少有 f (x) 3x2 10 x 1,即在開區間上可導，滿足拉格朗日定理條 即 2 ( 9) (3 2 10 1)(0 1)，解出 3.3.不求導數，判斷函數 f(x) (x 1)(x 2)(x 答案：有三個根，分別在 (1,2),(2,3),(3,4)

4、 3)( x 4)的導數有幾個實根及根所在的范圍。 -一占 八、 、 (0,a)，使 f (a) f(0) f ( )(a 0)，即 a3 0 3 2(a 0)，解出 a 3 解：(2)f(x) Inx 1,2 該函數在給定閉區間上連續，其導數為 f (x)-，即在開區間上可導，滿足拉格朗日定理條件，至少有 x -一占 八、 、 1 (1,2)，使 f(2) f(1) f ( )(2 1)，即 In 2 ln1 -(2 1)，解出 1 In 2 解：(3)f(x) x3 5x2 x 2 1,0 件，至少有一點 (1,0)，使 f (0) f( 1) f ( )(0 1), 4 4 證明：當x

5、1時，恒等式2arctanx arcsin- 1 2x 2 x 成立 2x 證：設 F (x) 2arcta nx arcs in 2 1 x 當x 1時，F(x)連續，當x 1時，F (x)可導 且 F(x)1 (1 X2) 2x 2x (1 22 x ) 即當x 1時, F(x) C，即 F(x) x 2arcta n x arcs in 1 x2 5 5 設f(x)在0,1上連續，在(0,1)內可導，且f(0) 0,證明在 使 cf (c) 2f (c) f (c). 故當x 1時, (0,1)內存在一點c , 證明：令F(x) (x 1)2f(x)，則F(x)在0,1上連續，在(0,1

6、)內可導，且因f(0) 0,則F(0) 0 F(1) 即F(x)在0,1上滿足羅爾定理的條件，則至少存在 c (0,1)使F (c) 0 又 F(x) 2(x 1)f (x) (x 1)2f (x)，即 2(c 1)f (c) (c 1)2f (c) 0 而 c (0,1)，得 cf (c) 2f (c) f (c) 該函數在給定閉區間上連續，其導數為 5 .43 3 6.6.已知函數f(x)在0,1上連續，在(0,1)內可導，且f(0) 1,f (1) 0,證明在(0,1)內至少存在一點 ， 使得f ( ) 4. (0,1)內可導，且 F(0) 0 F(1) (0,1)使 F ( ) 0 故

7、f () . 證明：設函數 f(x) si nx, X1,X2 R，不妨設 X2， 該函數在區間“X?上連續，在(XX2)上可導，由拉格朗日中值定理有 9.9.利用洛必達法則求下列極限: X X e e (1)lim0 - ； X X 解：lim ee x 0 x 局 In x 解：lim x 1 x 1 證明：令F(x) xf(x)，則F(x)在0,1上連續，在 即F(x)在0,1上滿足羅爾定理的條件，則至少存在 又 F(x) f (x) xf (x)，即 f( ) f ( ) 7.7.證明不等式: sin x2 sin x X2 X1 f(X2) f (Xi) f ( )(X2 Xj，(捲

8、 x2)即 sin x2 sin 論 cos (X2 xj， 故 sin x2 sin x cos (X2 Xi)，由于 cos 1，所以有 sin x2 sin xi 8.8.證明不等式：nbn 1(a n n b) a b n 1 na (a b) (n 1,a b 0) 證明：設函數f (x) ，在b, a上連續，(b,a)內可導，滿足拉格朗日定理條件，故 n n n 1 / a b n (a b)， 其中Ob 因此bn 1 有 nbn 1(a b) n n 1 n 1 (a b) na (a b) 所以 nbn 1(a b) n 1 # 1 na (a b) X e +e lim x

9、0 1 3 八 2 X 3x 2 lim嚴 2 x 1 X X X 1 解: lim車右 x 1 x x x lim 2 x 13x2 3x2 6x 2x 1 (4) lim x 2 ln(x -)； tanx 解: lim x _ 2 m（x 2） tanx lim x _ 2 x 2 1 2 cos x lim x _ (5) n x xim -x x e (a 0,n為正整數） 解: lim x n x ax e lim x n 1 nx ax e lim x n! n a ax e 2 cos x lim x _ 2 2cosx ( sinx) lim x x 0 m ln (m 0)

10、； 解：lim x x 0 In x lim 0 In x lim x 0 x m mx lim x 0 1)； 1 解：叭 lim x 0e xe xm0 x xe lim 1 x 0 1 (8)lim(1 sin x)x ； 1 解：lim(1 si nx)x 10。（1 1 sin x)喬 sin x (9) lim xsinx x 0 解：lim xsinx x 0 e lim :0 sin xln x ln x lim .1 0 sin x lim ex 0 1 X _ sin 2 x cosx .2 sin x lim x 0 x cosx ex lim匹匹匹匹 0 x cosx

11、ln(1 10.10.設函數f (x) kx) x 1 ，若f （x）在點x 0處可導，求k與f （0）的值。 x 0 解：由于函數在 .ln(1 kx) lim x 0 x 0處可導, kx lim x 0 x 因此函數在該點連續，由連續的概念有 k f (0) 1，即 k 1 按導數定義有 f(0) lim f(x) f(0) x 0 ln(1 x) 1 x x lim ln(1 x) x x 0 2x lim x 02(1 11.11.設函數f(x) 解：函數連續定義, lim x 0 f(x) lim x 0 f(x) lim x 0 1 cosx 2 x k 1 1 x x e 1

12、lim f (x) x 0 (- 1 x x e 1 1 cos x x x ) lim x 0 lim x 0 lim x 0 2 x x 0 ，而 即當 k 1時，函數f (x)在x 2 12.12.求下列函數的單調增減區間: 2 (1)y 3x 6x 0，當k為何值時, f (x)在點x 0處連續。 f(x) f(0)， x(ex 1) f(0) k 0點連續。 lim x 0 x e 1 x x e 1 xe lim f (x) x 0 lim x 0 x x x e e xe lim x 0 解：y 6x 由于當x 由于當x 0，有駐點x 0，此時函數單調減少; 0,此時函數單調增加

13、; y x4 2x2 解：y (3)y 1 解：y 1時，y 1時，y 4x3 4x 4x( x2 1)，令 y 0 ,有 x 0,x 1,x 1 1時，y x 1時， 2 X ；x 2x(1 x) (1 x)2 0 ,此時函數單調較少；當 0,此時函數單調較少；當 c 2 2x x 2，令 y 0，有 (1 x) x 0時, 1時， 0 ,此時函數單調增加; 0,此時函數單調增加 x 0,x 此外有原函數知x 1， 2時，y x 0時, 0，此時函數單調增加；當 y 0，此時函數單調減少；當 x 1時，y 0，此時函數單調減少; 0時，y 0，此時函數單調增加； 13.13.證明函數y x

14、ln(1 x2)單調增加。 j帀明：y 1 2x (1 x)2 0 1 x2 y i 12 x 等號僅在 x 1成立，所以函數 y x ln(1 14.14.證明函數y sin x x單調減少。 解: y cosx 1 0, 等號僅在孤立點 x 2n (n 0, 1, 2L L )成立, 15.15.證明不等式： 2、x 3 1 (x x 0,x 1) 證明：設f(x) 2上 3 ，在 x 1時， f(1) 所以函數y sin x 0，且 f (x) x 2 x)在定義區間上為單調增加。 x在定義域內為單調減少。 1 時，f (x) 0， x 1 時，f (x) 函數單調增加，因此 0 ,函數

15、單調減少，因此 f (x) 所以對一切x 0，且 1，都有 f (x) 0，即 2、二 f(x) f(1) 0 f(1) 3 - x (x 0,x 1) 解： 設 f(x) x e 1 x f (x) ex 1 ，當 x 0, f (x) 0 f (x),所以x 所以x 0,ex 1 x 當x 0, f (x) 0 f (x),所以x 0, f(x) f (0) 所以x 0,ex 1 x x 0,ex 1 x. 17.17.證明：當x 0 時，ln(1 x) 1 x x 解： 設 f(x) ln(1 x X) 1 x f (x) 1 1 x 當當 x 0, f (x) 01 x (1 2 2

16、，當 x) (1 x) 16.16.證明：當x 0時, 0, f(x) 0 f(x) 所以x 0, f(x) f(0) 0，即 x 0 , ln(1 x) 1 x x e f(0) 18.18.證明方程x3 3x 1 0在(0,1)內只有一個實根。 證明：令f(x) x3 3x 由零點定理存在 1，f (x)在0,1上連續，且 f(0) 1,f (1) 1, (0,1)，使f( ) 0,所以 是方程x3 3x 1 0在(0,1)內的一個根。 又因為f (x) 3x2 3 3(x2 1)，當x (0,1)時f (x) 0 ,函數單調遞減， 當x 時，f(x) f() 0,當x 時，f(x) f(

17、 ) 0,所以在(0,1)內只有 一個實根 或用羅爾定理證明只有一個實根 。 19.19.求下列函數的極值: (1)y x3 3x2 7 ； 3x2 6x 3x(x 2) 0，解出駐點為x 0; x 2，函數在定義 域內的單調性與極值見圖表所示: x (,0) 0 (0, 2) 2 (2,) f (x) 0 0 0 0 f(x) 單調增加 極大 7 7 單調減小 極小 3 3 單調增加 解：y 2(1 x)(! 2 X)，駐點為x 1,x 1，函數的單調性與極值見表 (1 x )解：y 3x2 6x 3x(x 2)，令 y x (,1) 1 (1,1) 1 (1,) f (x) 極小 極大 f

18、(x) 單調減小 1 單調增加 1 單調減少 x y 3 3(x 2)2 ； 2 解：y 2一1，函數在X 2處不可導，以此點為界劃分區間并給出函數單調性與極值。 3(x 2)3 2 X x (,2) 2 (2,) f (x) 不存在 f(x) 單調增加 極大 3 3 單調減少 y (x 1)37 ； 解：函數導數為 y 5x 2 ” 、一 y ，解出駐點為x 3x3 -，不可導點為x 0,函數在各個區間的單調性見表格所 5 x (,0) 0 (0,|) 5 2 5 f (x) 不存在 0 0 f(x) 單調增加 極大 0 0 單調減少 極小 25 單調增加 示。 y x3 (x 1)2 解：

19、y X2(x 3) (x 1)3 x (,0) 0 (0,1) (1,3) 3 (3,) f (x) 0 0 ，駐點為x 0,x 3，不可導點為x 1，劃分區間并判斷增減性與極值 f(x) 單調增加 無極 值 單調增加 單調減少 極小 27 單調增加 4 x 0, y 0 , y ，極小值 f (0) 0 1, 需0,解出x x ( ,1) 1 (1,1) 1 1 (1,) y 0 0 + + 0 0 y y 凸 In2In2 凹 In2In2 凸 (1,ln2), ( 1,ln2) 21.21.利用二階導數，判斷下列函數的極值: 2 (1)y (x 3) (x 2)； 解：y (3x 7)(

20、 x 3), y 2 0,因此在 2(3x 8)，駐點：x -， x 3， 3 4 ； ； 27 x I點函數取極大值 0，因此在x 3點函數取極小值 x 2e 解：y 2e2x x e -，y 2ex e x，駐點為x In 2 2 由于y 1|n2 2、2 0,因此在 x 2 - 處函數取得極小值 2、2。 2 20.20.設 ln(1 解：y 2x 1 x2 解出 x 0， x 0, y 0 , y 拐點 x2），求函數的極值，曲線的拐點。 4 2 (1)y x 2x 5 2,2； 3 解：y 4x 4x 4x(x 1)(x 1)，令 y 0, 4 0,函數單調增加，計算端點處函數值為

21、y(0) 0, y(4) 6， 知最大值為y(4) 6 ;最小值為y(0) 0 24.24.已知函數f(x) ax3 6ax2 b (a 0)，在區間1,2上的最大值為3，最小值為 29，求a,b的 值。22.22.曲線 y ax3 bx2 cx d過 :原點，在點 (1,1)處有水平切線，且點 解：因為曲線y ax3 bx2 cx d過原點, 有d 0， 在點(1,1)處有水平切線， f (1) 3a 2b c 0， 點(1,1)是該曲線的拐 f (x) 6ax 2b ，f (1) 6a 2b 0， 又因為點(1,1)在曲線上, a b c d 1 聯立方程組解出a 1,b 3,c 3,d

22、0 23.23.求下列函數在給定區間上的最大值與最小值: (1,1)是該曲線的拐點，求 a,b,c,d (3)y 解：y (x 2)x (x 1)2 ，令y 0 ,得駐點為x 0, x 2，計算出駐點處和區間端點處所有的函數值為 y( 2) 4,y(0) 知最大值為y( 1 2) 0,y( 2) 2 1 y(1) - 2 丄(1)丄，比較上述函數值, 2 2 ；最小值為y(0) 0。 0,x 1,x 1， 計算出駐點處和區間端點處所有的函數值為 比較上述函數值，知最大值為 y( 2) y(2) y( 2) 13 ； y ln(x2 1) 1,2； y( 1) 2x x2 1 ln 2, y(0

23、) o,y(2) ，得駐點為 ln5，比較上述函數值, 4,y(0) 5,y(1) 4, y(2) 13, y( 最小值為y( 1) y(1) 4。 1) 計算出駐點處和區間端點處所有的函數值為 知最大值為 y(2) In 5 ；最小值為y(0) 0 解：y 解：f (x) 3ax2 12ax，令 f (x) 3ax2 12ax 3ax(x 4) 0,解出駐點為 x 0,x 4(舍), 且 f ( 1) b 7a , f (0) b, f (2) b 16a 因為 a 0，所以 f (0) f ( 1) f(2) 故f(0) b 3為最大值，f(2) b 16a為最小值，即f (2) b 16

24、a 29，解出a 2。 25.25.欲做一個底為正方形，容積為 108m3的長方體開口容器，怎樣做所用材料最省? 又體積為V x2h ，有 h V x 4V 2 43dS c 432 c ” 、 得S x x 2x 2 0，解出 x 6， h 3 x x dx x 即取底面邊長為6， 高為3時，做成的容器表面積最大。 26.26.欲用圍墻圍成面積為 選取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省? 216m2的一塊矩形土地，并在正中間一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬 解：所用的建-JI 一 3 dx 18米時所用建筑材料最省。 27.27.某廠生產某種商品，其年銷量為100萬件，每批生產需增加準

25、備費 如果年銷售率是均勻的， 且上批銷售完成后， 立即再生產下一批(此時商品庫存數為批量的一半) 分幾批生產，能使生產準備費及庫存費之和最小？ 解： 1000元，而每件的庫存費為 0.05元, ，問應 設 100100 萬件分x批生產，生產準備費及庫存費之和為 y，則 1 000 000 25 000 0.05 1000 x 2x x 25 000 2 0，解出x 5， x 能使生產準備費及庫存費之和最小。 1000 x 1000 問 5 5 批生產, 28.28.確定下列曲線的凹向與拐點： 2 3 (1)y x x ； 2 1 解：y 2x 3x , y 2 6x，令 y 0,x 3 y l

26、n(1 x2)； x 1 (,3) 1 3 1 (3,) f (x) 0 2 f(x) 凹 27 凸 小 解：設底面正方形的邊長為 x ,高為h，則表面積為S x2 4xh， 2x 1 x2 2 2 2 2x 4x(x 3) 2、2 , y 2、3 (1 x ) (1 x ) 令 y 0,x 0, x .3 X X o o /V f/V f o o o /V f/V f 凸 -3 2亠 凹 o辭 凸 遏2亠 凹 (5)y xex ； x (,2) 2 (2,) f (x) 0 f(x) 凸 凹 200 0.01 50 199.5 , 50 R(50) 200 0.02 50 199 x (,1

27、) 1 (1,1) 1 (1,) f (x) 0 0 f(x) 凸 In 2 拐點 凹 In 2 拐點 凸 令 y 0,x 1 x (,0) 0 (0,) f (x) 不存在 f(x) 凹 Q一凸 2 1 x5， 令y不存在點，x 0 解：y 耳y 令耳， 1 x (1 x ) 1 y x3 ； 解：y ,y 解：y ex(1+x), y ex(2+x),令 y 0, x= 2 解：y 2 2 2e2e 解：y e x, y e x 0, 所以y e x在(，)內是凹的，無拐點。 29.29.某化工廠日產能力最高為 1000噸，每天的生產總成本 C (單位：元)是日產量 x (單位: (1(1

28、)求當日產量為100噸時的邊際成本；(2 2)求當日產量為100噸時的平均單位成本。 25 解：(1 1)邊際成本 C (x) 7 , C (100) 總收益、平均收益和邊際收益。 解：總收益 R(50) 200 50 0.01 平均收益型 200 0.01x , x 邊際收益 R (x) 200 0.02x , 2500 9975 , R(50) 32.32.生產x單位某種商品的利潤是 x的函數：L(x) 5000 x 0.00001X2, 潤最大？ 解: L (x) 1 0.000 02x=0,解出 x 50 000 所以生產50 000個單位時，獲得的利潤最大？ 33.33.某廠每批生產

29、某種商品 x單位的費用為C(x) 5x 200，得到的收益是 R(x) 10 x 0.01 x2，問每批(2)平均單位成本 AC(x) 1000 x x 50 , AC(100)沁 x 100 100 50 22 10 1 2 C(x) 1100 x2，求(1 1)生產900單位時的總 1200 (2)生產900單位到1000單位時的總成本的平均變化率； 30.30.生產x單位某產品的總成本 C為x的函數: 成本和平均單位成本; 單位時的邊際成本。 (3)生產900單位和1000 解:( 1 1) C(900) 1100 -9002 1775, 1200 (2) C(900) 900 C(10

30、00) 1775 900 C(900) 1.97 1000 900 1.58 (3) 邊際成本為C (x) x 600， C (900) 900 600 1.5, C (1000) 1000 1.67 600 3131.設生產x單位某產品, 2 總收益 R為x的函數：R R(x) 200 x 0.01x ，求：生產 5050 單位產品時的 噸)的函數: C C(x) 1000 7x 50 浪 x 0,1000 25 9.5 問生產多少單位時獲得的利 生產多少單位時才能使利潤最大？ 2 解：L(x) R(x) C(x) 5x O.OIx 200 , 令 L (x) 5 0.02x=0 ,解出 x

31、 250 所以每批生產250個單位時才能使利潤最大。 10 Q，求(1 1)求需求量為20及30時的總收益 R 5 平均收益函數 R(Q)旦型 10 Q， Q 5 34.34.某商品的價格P與需求量Q的關系為P 、平均 收益RQ為多少時總收益最大? 解：總收益函數R(Q) PQ (10 Q)Q=10Q 5 Q2 5 邊際收益函數 (1)R(20) 2Q R(Q)=10 5 400 200 =120,R(30) 5 R(20) 900 300 =120 ， 5 R(30) R (20)=10 R(Q)=10 墜勺 10 20 =6,R(30) 20 5 40 60 =2,R (30)=10 =

32、2, 5 5 2Q =0,解出Q=25時總收益最大。 5 日總成本為C元，其中固定成本為 10 30 =4， 5 35.35.某工廠生產某產品， 該商品的需求函數為 Q 50 2P，求Q為多少時，工廠日總利潤 解：成本函數 C C(Q) 200 10Q， 200200 元，每多生產一單位產品， 成本增加 L最大？ 1010 元。 L(Q) PQ C(Q) 5-QQ (200 10Q) 15Q 200， 2 2 令 L (Q) 15 Q=0，解得 Q=15， 所以Q=15，總利潤L最大。 高二數學(文)選修 1-1 導數及其應用 回扣練習 一、選擇題 1.下列求導運算正確的是( ) 1 1 A、 (x 2) 1 3 B x x (log 2 x)色 1 xln 2 C (x2 cosx)色-2xsin x (3x)色 3x log 3 e x 2、 已知函數f(x)二二ax + c,且f(i)=2,則a的值為( ) A. 0 B . 2 C 1 D . 1 3. 函數y= x3+ x的遞增區間是( ) A. (0, ) B . ( ,1) C . ( , ) D . (1,) 4 . (2009 年廣東卷文)函數f(x) (x 3)ex的單調遞增區間是 () A. ( ,2) B.(0,3) C.(1