1、專題 10 圖形的性質(zhì)之解答題參考答案與試題解析一解答題（共 23 小題）1（2019舟山）如圖，在矩形 ABCD 中，點(diǎn) E，F(xiàn) 在對角線 BD請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得結(jié)論“AECF”成立，并加以證明【答案】解：添加的條件是 BEDF（答案不唯一）證明：四邊形 ABCD 是矩形，ABCD，ABCD，ABDBDC，又BEDF（添加），ABECDF（SAS），AECF【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考常考題型

2、2（2019溫州）如圖，在ABC 中，AD 是 BC 邊上的中線，E 是 AB 邊上一點(diǎn)，過點(diǎn) C 作 CFAB 交 ED的延長線于點(diǎn) F（）求證：BDECDF（2）當(dāng) ADBC，AE1，CF2 時(shí)，求 AC 的長【答案】（1）證明：CFAB，BFCD，BEDF，AD 是 BC 邊上的中線，BDCD，BDECDF（AAS）；（）解：BDECDF，BECF2，ABAE+BE1+23，ADBC，BDC

3、D，ACAB3【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵3（2019杭州）如圖，在ABC 中，ACABBC（1）已知線段 AB 的垂直平分線與 BC 邊交于點(diǎn) P，連接 AP，求證：APC2B（2）以點(diǎn) B 為圓心，線段 AB 的長為半徑畫弧，與 BC 邊交于點(diǎn) Q，連接 AQ若AQC3B，求B的度數(shù)【答案】解：（1）證明：線段 AB 的垂直平分線與 BC

4、60;邊交于點(diǎn) P，PAPB，BBAP，APCB+BAP，APC2B；（2）根據(jù)題意可知 BABQ，BAQBQA，AQC3B，AQCB+BAQ，BQA2B，BAQ+BQA+B180°，5B180°，B36°【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，難度適中（4 2019衢州）已知：如圖，在菱形 ABCD 中，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在邊 BC，CD 上，且 BEDF，連結(jié) AE，AF求證：AEAF【答案】證明：四邊形 

5、ABCD 是菱形，ABAD，BD，BEDF，ABEADF（SAS），AECF【點(diǎn)睛】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答5（2019湖州）如圖，已知在ABC 中，D，E，F(xiàn) 分別是 AB，BC，AC 的中點(diǎn)，連結(jié) DF，EF，BF（1）求證：四邊形 BEFD 是平行四邊形；（2）若AFB90°，AB6，求四邊形 BEFD 的周長【答案】（1）證明：D，E，F(xiàn) 分別是 AB，BC，AC 的中點(diǎn)，DFBC，EFAB，DFBE，E

6、FBD，四邊形 BEFD 是平行四邊形；（2）解：AFB90°，D 是 AB 的中點(diǎn)，AB6，DFDBDAAB3，四邊形 BEFD 是平行四邊形，四邊形 BEFD 是菱形，DB3，四邊形 BEFD 的周長為 12【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵6（2019杭州）如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為 1，正方形 CEFG 的面積為&#

7、160;S1，點(diǎn) E 在 DC 邊上，點(diǎn) G在 BC 的延長線上，設(shè)以線段 AD 和 DE 為鄰邊的矩形的面積為 S2，且 S1S2（1）求線段 CE 的長；（2）若點(diǎn) H 為 BC 邊的中點(diǎn)，連接 HD，求證：HDHG【答案】解：（1）設(shè)正方形 CEFG 的邊長為 a，正方形 ABCD 的邊長為 1，DE1a，S1S2，a21×

8、;（1a），解得，（舍去），即線段 CE 的長是；（2）證明：點(diǎn) H 為 BC 邊的中點(diǎn)，BC1，CH0.5，DH，CH0.5，CG，HG，HDHG【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答（7 2019寧波）如圖，矩形 EFGH 的頂點(diǎn) E，G 分別在菱形 ABCD 的邊 AD，BC 上，頂點(diǎn) F，H 在菱形 ABCD的對角線 BD 上（1）求證：

9、BGDE；（2）若 E 為 AD 中點(diǎn)，F(xiàn)H2，求菱形 ABCD 的周長【答案】解：（1）四邊形 EFGH 是矩形，EHFG，EHFG，GFHEHF，BFG180°GFH，DHE180°EHF，BFGDHE，四邊形 ABCD 是菱形，ADBC，GBFEDH，BGFDEH（AAS），BGDE；（2）連接 EG，四邊形 ABCD 是菱形，ADBC，ADBC，E 為 AD 中點(diǎn)，AEED，BGDE，AEBG，AEBG，四邊

10、形 ABGE 是平行四邊形，ABEG，EGFH2，AB2，菱形 ABCD 的周長8【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別作圖是解題的關(guān)鍵8（2019舟山）在 6×6 的方格紙中，點(diǎn) A，B，C 都在格點(diǎn)上，按要求畫圖：（1）在圖 1 中找一個(gè)格點(diǎn) D，使以點(diǎn) A，B，C，D 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形（2）在圖 2 中僅用無刻度的直尺，把線段 AB 三等分（保留畫圖痕跡，不寫畫法

11、）【答案】解：（1）由勾股定理得：CDABCD'AD'BCAD''，BDACBD''；，畫出圖形如圖 1 所示；（2）如圖 2 所示【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理；熟練掌握勾股定理好平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵9（2019溫州）如圖，在 7×5 的方格紙 ABCD 中，請按要求畫圖，且所畫格點(diǎn)三角形與格點(diǎn)四邊形的頂點(diǎn)均不與點(diǎn) A，B，C，D 重合（1）在圖 1 中畫一個(gè)

12、格點(diǎn)EFG，使點(diǎn) E，F(xiàn)，G 分別落在邊 AB，BC，CD 上，且EFG90°（2）在圖 2 中畫一個(gè)格點(diǎn)四邊形 MNPQ，使點(diǎn) M，N，P，Q 分別落在邊 AB，BC，CD，DA 上，且 MPNQ【答案】解：（）滿足條件的EFG，如圖 1，2 所示（2）滿足條件的四邊形 MNPQ 如圖所示【點(diǎn)睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型10（

13、2019衢州）如圖，在 4×4 的方格子中，ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（1）在圖 1 中畫出線段 CD，使 CDCB，其中 D 是格點(diǎn)（2）在圖 2 中畫出平行四邊形 ABEC，其中 E 是格點(diǎn)【答案】解：（1）線段 CD 即為所求（2）平行四邊形 ABEC 即為所求【點(diǎn)睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)，平行四邊形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型11（2019金華）如圖

14、，在 7×6 的方格中，ABC 的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上試按要求畫出線段 EF（E，F(xiàn) 均為格點(diǎn)），各畫出一條即可【答案】解：如圖：從圖中可得到 AC 邊的中點(diǎn)在格點(diǎn)上設(shè)為 E，過 E 作 AB 的平行線即可在格點(diǎn)上找到 F，則 EG 平分 BC；EC，EF，F(xiàn)C，借助勾股定理確定 F 點(diǎn)，則 EFAC；借助圓規(guī)作 AB 的垂直平分線即可；【點(diǎn)睛】本題考查三角形作圖；在格點(diǎn)中利用勾股定

15、理，三角形的性質(zhì)作平行、垂直、中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵12（2019紹興）有一塊形狀如圖的五邊形余料 ABCDE，ABAE6，BC5，AB90°，C135°，E90°，要在這塊余料中截取一塊矩形材料，其中一條邊在 AE 上，并使所截矩形材料的面積盡可能大（1）若所截矩形材料的一條邊是 BC 或 AE，求矩形材料的面積（2）能否截出比（1）中更大面積的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最大值；如果不能，說明理由【答案】解：（1）若所截矩形材料的一條邊是 BC，如圖 1 所示：過點(diǎn)

16、 C 作 CFAE 于 F，S1ABBC6×530；若所截矩形材料的一條邊是 AE，如圖 2 所示：過點(diǎn) E 作 EFAB 交 CD 于 F，F(xiàn)GAB 于 G，過點(diǎn) C 作 CHFG 于 H，則四邊形 AEFG 為矩形，四邊形 BCHG 為矩形，C135°，F(xiàn)CH45°，CHF 為等腰直角三角形，A

17、EFG6，HGBC5，BGCHFH，BGCHFHFGHG651，AGABBG615，S2AEAG6×530；（2）能；理由如下：在 CD 上取點(diǎn) F，過點(diǎn) F 作 FMAB 于 M，F(xiàn)NAE 于 N，過點(diǎn) C 作 CGFM 于 G，則四邊形 ANFM 為矩形，四邊形 BCGM 為矩形，C135°，F(xiàn)CG45°，CGF 為等腰直角三角形，MGBC5，BMCG，F(xiàn)GDG，

18、設(shè) AMx，則 BM6x，F(xiàn)MGM+FGGM+CGBC+BM11x，SAM×FMx（11x）x2+11x（x5.5）2+30.25，當(dāng) x5.5 時(shí)，S 的最大值為 30.25【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、矩形面積公式以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵13（2019寧波）定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線（1）如圖 ，在ABC 中，ABAC，AD 是ABC 的角平分線，E

19、，F(xiàn) 分別是 BD，AD 上的點(diǎn)求證：四邊形 ABEF 是鄰余四邊形（2）如圖 2，在 5×4 的方格紙中，A，B 在格點(diǎn)上，請畫出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形 ABEF，使 AB是鄰余線，E，F(xiàn) 在格點(diǎn)上（3）如圖 3，在（1）的條件下，取 EF 中點(diǎn) M，連結(jié) DM 并延長交 AB 于點(diǎn) Q，延長 EF 交 AC 于點(diǎn) N若N&

20、#160;為 AC 的中點(diǎn)，DE2BE，QB3，求鄰余線 AB 的長【答案】解：（1）ABAC，AD 是ABC 的角平分線，ADBC，ADB90°，DAB+DBA90°，F(xiàn)AB 與EBA 互余，四邊形 ABEF 是鄰余四邊形；（2）如圖所示（答案不唯一），四邊形 AFEB 為所求；（3）ABAC，AD 是ABC 的角平分線，BDCD，DE2BE，BDCD3BE，CECD+DE5BE，EDF90°，點(diǎn) M 是

21、 EF 的中點(diǎn)，DMME，MDEMED，ABAC，BC，DBQECN，QB3，NC5，ANCN，AC2CN10，ABAC10【點(diǎn)睛】本題為四邊形綜合題，涉及到直角三角形中線定理、三角形相似等知識點(diǎn)，這種新定義類題目，通常按照題設(shè)順序逐次求解，較為容易14（2019臺州）我們知道，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形對一個(gè)各條邊都相等的凸多邊形（邊數(shù)大于 3），可以由若干條對角線相等判定它是正多邊形例如，各條邊都相等的凸四邊形，若兩條對角線相等，則這個(gè)四邊形是正方形（1）已知凸五邊形 ABCDE 的各條邊都相等如圖 1，若&#

22、160;ACADBEBDCE，求證：五邊形 ABCDE 是正五邊形；如圖 2，若 ACBECE，請判斷五邊形 ABCDE 是不是正五邊形，并說明理由：（2）判斷下列命題的真假（在括號內(nèi)填寫“真”或“假”）如圖 3，已知凸六邊形 ABCDEF 的各條邊都相等若 ACCEEA，則六邊形 ABCDEF 是正六邊形；（假）若 ADBECF，則六邊形 ABCDEF 是正六邊形 （假）【答案】（1）證明：凸五邊形 ABCDE 的

23、各條邊都相等，ABBCCDDEEA，在ABC、BCD、CDE、DEA、EAB 中，ABCBCDCDEDEAEAB（SSS），ABCBCDCDEDEAEAB，五邊形 ABCDE 是正五邊形；解：若 ACBECE，五邊形 ABCDE 是正五邊形，理由如下：在ABE、BCA 和DEC 中，ABEBCADEC（SSS），BAECBAEDC，AEBABEBACBCADCEDEC，在ACE 和BEC 中，ACEBEC（SSS），ACECEB，CEACAEEBCECB，四邊形 ABCE 內(nèi)

24、角和為 360°，ABC+ECB180°，ABCE，ABEBEC，BACACE，CAECEA2ABE，BAE3ABE，同理：CBADAEDBCD3ABEBAE，五邊形 ABCDE 是正五邊形；（2）解：若 ACCEEA，如圖 3 所示：則六邊形 ABCDEF 是正六邊形；假命題；理由如下：凸六邊形 ABCDEF 的各條邊都相等，ABBCCDDEEFFA，在AEF、CAB 和ECD 中，AEFCABECD（SSS），如果AEF、CAB、ECD 都為

25、相同的等腰直角三角形，則FDB90°，而正六邊形的各個(gè)內(nèi)角都為 120°，六邊形 ABCDEF 不是正六邊形；故答案為：假；若 ADBECF，則六邊形 ABCDEF 是正六邊形；假命題；理由如下：如圖 4 所示：連接 AE、AC、CE、BF，在BFE 和FBC 中，BFEFBC（SSS），BFEFBC，ABAF，AFBABF，AFEABC，在FAE 和BCA 中，F(xiàn)AEBCA（SAS），AECA，同理：AECE，AECACE，由得：AEF、CAB

26、、ECD 都為相同的等腰直角三角形，則FDB90°，而正六邊形的各個(gè)內(nèi)角都為 120°，六邊形 ABCDEF 不是正六邊形；故答案為：假【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正多邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵15（2019嘉興）小波在復(fù)習(xí)時(shí)，遇到一個(gè)課本上的問題，溫故后進(jìn)行了操作、推理與拓展（1）溫故：如圖 ，在ABC 中，ADBC 于點(diǎn) D，正方形 PQMN 的邊 Q

27、M 在 BC 上，頂點(diǎn) P，N 分別在 AB，AC 上，若 BC6，AD4，求正方形 PQMN 的邊長（2）操作：能畫出這類正方形嗎？小波按數(shù)學(xué)家波利亞在怎樣解題中的方法進(jìn)行操作：如圖2，任意畫ABC，在 AB 上任取一點(diǎn) P'，畫正方形 P'Q'M'N'，使 Q'，M'在 BC 邊上，N在ABC 內(nèi)，連結(jié) BN'，并延長交 AC&#

28、160;于點(diǎn) N，畫 NMBC 于點(diǎn) M，NPNM 交 AB 于點(diǎn) P PQBC 于點(diǎn) Q，得到四邊形 PPQMN小波把線段 BN 稱為“波利亞線”（3）推理：證明圖 2 中的四邊形 PQMN 是正方形（4）拓展：在（2）的條件下，在射線 BN 上截取 NENM，連結(jié) EQ，EM（如圖 3）當(dāng) tanNBM時(shí)，猜想QEM 的度數(shù)，并嘗試證明請幫助小

29、波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問題【答案】（1）解：如圖 1 中，PNBC，APNABC，即，解得 PN（2）能畫出這樣的正方形，如圖 2 中，正方形 PNMQ 即為所求（3）證明：如圖 2 中，由畫圖可知：QMNPQMNPQBMN90°，四邊形 PNMQ 是矩形，MNMN，BNM，同理可得：，MNPN，MNPN，四邊形 PQMN 是正方形（4）解：如圖 3 中，結(jié)論：QEM90°理由：由 tanNBM，可以

30、假設(shè) MN3k，BM4k，則 BN5k，BQk，BE2k，QBEEBM，BQEBEM，BEQBME，NENM，NEMNME，BME+EMN90°，BEQ+NEM90°，QEM90°【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題16（2019舟山）小波在復(fù)習(xí)時(shí)，遇到一個(gè)課本上的問題，溫故后進(jìn)行了操作、推理與拓展（1）溫故：如圖 ，在ABC 中，ADBC 于點(diǎn) D，正方形 PQMN 的邊&

31、#160;QM 在 BC 上，頂點(diǎn) P，N 分別在 AB，AC 上，若 BCa，ADh，求正方形 PQMN 的邊長（用 a，h 表示）（2）操作：如何畫出這個(gè)正方形 PQMN 呢？如圖 2，小波畫出了圖 1 的ABC，然后按數(shù)學(xué)家波利亞在怎樣解題中的方法進(jìn)行操作：先在AB 上任取一點(diǎn) P'，畫正方形 P'Q'M'N'，使點(diǎn) Q'，M'

32、;在 BC 邊上，點(diǎn) N在ABC 內(nèi)，然后連結(jié) BN'，并延長交AC 于點(diǎn) N，畫 NMBC 于點(diǎn) M，NPNM 交 AB 于點(diǎn) P，PQBC 于點(diǎn) Q，得到四邊形 PQMN（3）推理：證明圖 2 中的四邊形 PQMN 是正方形（4）拓展：小波把圖 2 中的線段 BN 稱為“波利亞線”，在該線上截取 NENM，連結(jié) EQ

33、，EM（如圖 3），當(dāng)QEM90°時(shí)，求“波利亞線”BN 的長（用 a，h 表示）請幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問題【答案】（1）解：如圖 1 中，PNBC，APNABC，即，解得 PN（2）能畫出這樣的正方形，如圖 2 中，正方形 PNMQ 即為所求（3）證明：如圖 2 中，由畫圖可知：QMNPQMNPQBMN90°，四邊形 PNMQ 是矩形，MNMN，BNM，同理可得：，MNPN，MNPN，四邊形 

34、;PQMN 是正方形（4）如圖，過點(diǎn) N 作 NDME 于點(diǎn) DMNEN，NDME，NEMMNE，EDDMBMNQEM90°EQM+EMQ90°，EMQ+EMN90°EMNEQM，且 MNQN，QEMNDM90°QEMMDN（AAS）EQDMEM，BMNQEM90°BEQ+NEM90°，BME+NME90°BEQBME，且MBEMBEBEQBME，BM2BE，BE2BQBM4BQQM3BQMN，BN5BQBNMN（）【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方

35、形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題17（2019衢州）如圖，在等腰ABC 中，ABAC，以 AC 為直徑作O 交 BC 于點(diǎn) D，過點(diǎn) D 作 DEAB，垂足為 E（1）求證：DE 是O 的切線（2）若 DE，C30°，求的長【答案】（1）證明：連接 OD；ODOC，CODC，ABAC，BC，BODC，ODAB，ODEDEB；DEAB，DEB90°，OD

36、E90°，即 DEOD，DE 是O 的切線（2）解：連接 AD，AC 是直徑，ADC90°，ABAC，BC30°，BDCD，OAD60°，OAOD，AOD 是等邊三角形，AOD60°，DE，B30°，BED90°，CDBD2DE2，ODADtan30°CD22，的長為：【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可（18 2019金華）如圖，在 OABC 中，以&#

37、160;O 為圓心，OA 為半徑的圓與 BC 相切于點(diǎn) B，與 OC 相交于點(diǎn) D（1）求的度數(shù)（2）如圖，點(diǎn) E 在O 上，連結(jié) CE 與O 交于點(diǎn) F，若 EFAB，求OCE 的度數(shù)【答案】解：（1）連接 OB，BC 是圓的切線，OBBC，四邊形 OABC 是平行四邊形，OABC，OBOA，AOB 是等腰直角三角形，ABO45°，的度數(shù)為 45°

38、;；（2）連接 OE，過點(diǎn) O 作 OHEC 于點(diǎn) H，設(shè) EHt，OHEC，EF2HE2t，四邊形 OABC 是平行四邊形，ABCOEF2t，AOB 是等腰直角三角形，OAt，則 HOt，OC2OH，OCE30°【點(diǎn)睛】本題主要利用了切線和平行四邊形的性質(zhì)，其中（2），要利用（1）中AOB 是等腰直角三角形結(jié)論19（2019溫州）如圖，在ABC 中，BAC90°，點(diǎn) E 在 BC 邊上，且 CA

39、CE，過 A，C，E 三點(diǎn)的O 交 AB 于另一點(diǎn) F，作直徑 AD，連結(jié) DE 并延長交 AB 于點(diǎn) G，連結(jié) CD，CF（1）求證：四邊形 DCFG 是平行四邊形（2）當(dāng) BE4，CDAB 時(shí)，求O 的直徑長【答案】（1）證明：連接 AE，BAC90°，CF 是O 的直徑，ACEC，CFAE，AD 是O 的直徑，AED90°，即 GD

40、AE，CFDG，AD 是O 的直徑，ACD90°，ACD+BAC180°，ABCD，四邊形 DCFG 是平行四邊形；（2）解：由 CDAB，設(shè) CD3x，AB8x，CDFG3x，AOFCOD，AFCD3x，BG8x3x3x2x，GECF，BE4，ACCE6，BC6+410，AB88x，x1，在 ACF 中，AF10，AC6，CF3，即O 的直徑長為 3【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵

41、20（2019紹興）在屏幕上有如下內(nèi)容：如圖，ABC 內(nèi)接于O，直徑 AB 的長為 2，過點(diǎn) C 的切線交 AB 的延長線于點(diǎn) D張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解答（1）在屏幕內(nèi)容中添加條件D30°，求 AD 的長請你解答（2）以下是小明、小聰?shù)膶υ挘盒∶鳎何壹拥臈l件是 BD1，就可以求出 AD 的長小聰：你這樣太簡單了，我加的是A30°，連結(jié) ，就可以證明ACB 與DCO 全等參考此對話，在屏幕內(nèi)

42、容中添加條件，編制一道題目（可以添線添字母） 并解答【答案】解：（1）連接 OC，如圖，CD 為切線，OCCD，OCD90°，D30°，OD2OC2，ADAO+OD1+23；（2）添加DCB30°，求 AC 的長，解：AB 為直徑，ACB90°，ACO+OCB90°，OCB+DCB90°，ACODCB，ACOA，ADCB30°，在 ACB 中，BCACBCAB1，【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)

43、的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系也考查了圓周角定理21（2019杭州）如圖，已知銳角三角形 ABC 內(nèi)接于圓 O，ODBC 于點(diǎn) D，連接 OA（1）若BAC60°，求證：ODOA當(dāng) OA1 時(shí)，求ABC 面積的最大值（2）點(diǎn) E 在線段 OA 上，OEOD，連接 DE，設(shè)ABCmOED，ACBnOED（m，n 是正數(shù)），若ABCACB，求證：mn+20【答案】解：（1）連接 OB、OC，則BODBOCBAC60°，

44、OBC30°，ODOBOA；BC 長度為定值，ABC 面積的最大值，要求 BC 邊上的高最大，當(dāng) AD 過點(diǎn) O 時(shí)，AD 最大，即：ADAO+OD，ABC 面積的最大值（2）如圖 2，連接 OC，BC×AD     2OBsin60°         ；設(shè)：OEDx，則ABCmx，ACBnx，則BAC180

45、°ABCACB180°mxnxBOCDOC，AOC2ABC2mx，AODCOD+AOC180°mxnx+2mx180°+mxnx，OEOD，AOD180°2x，即：180°+mxnx180°2x，化簡得：mn+20【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合運(yùn)用題，涉及到解直角三角形、三角形內(nèi)角和公式，其中（2），AODCOD+AOC 是本題容易忽視的地方，本題難度適中22（2019寧波）如圖 1，O 經(jīng)過等邊ABC 的頂點(diǎn) A，C（圓心 O 在ABC 內(nèi)），分別與&

46、#160;AB，CB 的延長線交于點(diǎn) D，E，連結(jié) DE，BFEC 交 AE 于點(diǎn) F（1）求證：BDBE（2）當(dāng) AF：EF3：2，AC6 時(shí)，求 AE 的長（3）設(shè)x，tanDAEy求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)表達(dá)式；如圖 2，連結(jié) OF，若AEC 的面積是OFB 面積的 10 倍，求 y 的值【答案】證明：（）ABC 是等邊三角形，BACC60°，DEBBAC60°，DC60°，DEBD，BDBE；（2）如圖 1，過點(diǎn) A 作 AGBC 于點(diǎn) G，ABC 是等邊三角形，AC6，BG，在 ABG 中，AGBFEC，BFAG，AF：EF3：2，BEBG2，EGBE+BG3+25，BG3  ，在 AEG 中，AE（3）如圖 1，過點(diǎn)